轨迹方程的教学

轨迹方程的教学 2008/11 韦辉梁 一. 概念 1. 甚么是轨迹 -- 动点留痕。 2. 轨迹研究的主要任务 数学上所研究的轨迹都是在一定几何结构中的动点的轨迹。即这些动点的运动是受它所处的几何结构的制约。由于几何结构是可描述的，因此，该轨迹也是可描述的。数学上研究轨迹的主要任务就是用数学方法(语言)去描述这条轨迹 -- 找出轨迹方程。 初中平面几何研究轨迹与高中解析几何研究轨迹的要求不同，初中平几只要求定性(语言)陈述轨迹是甚么，高中解几则要求定量(方程)描述轨迹是甚么 - 给出轨迹方程。 3. 轨迹研究的主要方法 (1) 首先是几何结构的描述 方法1. 用语言描述某种几何结构，例如: "到两点距离相等的点的轨迹"。 方法2. 用图形表达某种几何结构，例如: 右图。 显然，无论几何结构或轨迹本身，都是一种几何图形，显然，用图形表达轨迹是必须的，特别是对作为初学者的学生更需要用图形来表达。但是，轨迹是动点留痕，印刷载体上的图形是静态的，教师在黑板上也只能画出静态的图形，都难以表达动态的点及其留痕。这正是轨迹教学的困难之处。要使学生(初学者)能更好地理解轨迹问题，必须借助能方便地表达动态点及其留痕的IT工具，例如DM_Lab。 (2) 描述动点运动的要点 一般地，动点运动的轨迹类似于人在地面步行时留下的脚印。首先，轨迹是由许多脚印连接而成。每一步脚印包含3个要素: 起始位置，方向和步长。 因此，描述动点轨迹的要点包括: 点位置的描述，方向的描述和步长的描述。 1°. 点位置的描述 -- 用座标 (x, y) 2°. 方向的描述 -- 用向量 (△x, △y) 3°. 步长的描述 -- 用距离 座标、向量、距离，是用数学描述轨迹的三个要素。 二. 点位置的描述 -- 举例如下 1. 平面上任意一点的座标 A(x,y) 2. 直线 ax + by + c = 0 (b≠0) 上任意一点的座标 A 3. 直线 x = a 上任意一点的座标 A(a, k) 4. 曲线 y = f(x) 上任意一点的座标 A(x, f(x)) 5. 若C为以O(0, 0)为心，R为半径的一个圆，A爲圆周上任一点，则A = R(cosθ, sinθ) 6. 若C为以Q(x0, y0)为心，R为半径的一个圆，A爲圆周上任一点，则 7. 线段AB中点的座标，其中，A(x1, y1)，B(x2, y2)，中点为C， 8. 线段AB上任意一点C的座标， 假设: A(x1, y1)，B(x2, y2)，C为AB上任意一点。 由C在AB上 ==> AC = kAB ==> C = A + kAB ， 例: 若C，D是线段AB的3分点，其中，A(x1, y1)，B(x2, y2)，则 ； 9. 若A(x1, y1)，B(x, y)是沿方向 V(△x, △y)，与A距离为d的一点，则 三. 方向的描述 1. 用向量表示方向: V(△x, △y) 2. V(△x, △y)的单位向量 3. 若已知方向角(与x轴正向的夹角)为α，则方向矢量为: V = (cos α, sin α) 4. 若A(x1, y1)，B(x2, y2)，则AB = B - A = (x2 - x1, y2 - y1) AB的单位向量: 或 5. 已知: V1 = (x1, y1) (1) 若V2 // V1，则 V2(x2, y2) = kV1 = k(x1, y1) (2) 若V2 ⊥V1，则 V2(x2, y2) = (-y1, x1) -- V2由V1逆时针旋转90°得到。 或 V2(x2, y2) = (y1, -x1) -- V2由V1顺时针旋转90°得到。 6. 已知: 直线 ax + by + c = 0 ，则直线的方向: V = (-b , a) 或 V = (b , -a) 7. 若C是以O(0, 0)为心，R为半径的一个圆， 则: 圆周上任一点A的座标是 A= R(cosθ, sinθ)； 圆心到A的方向是: OA = (cosθ, sinθ)； 过A的圆的切线方向是: τ=(sinθ, -cosθ) 或 τ=(-sinθ, cosθ) 8. 若C为以Q(x0, y0)为心，R为半径的一个圆， 则 圆周上任一点A的座标是 ； 过A的圆的切线方向是: τ=(sinθ, -cosθ) 或 τ=(-sinθ, cosθ) 9. 已知: V1 = (x1, y1)， V2(x, y) 为V1沿逆时针绕原点旋转θ角的向量， 则 掌握了上述一些表示座标和向量的数学方法，求轨迹方程也就不难了。 四. 轨迹问题举例 轨迹常用参数方程表达，例如， 例1. 已知 A(-3, 2)，B(1, -2)，求到A、B距离相等的点的轨迹。 解: 平几中已说明该轨迹是AB线段的中垂线。本题要给出该中垂线的方程。 解1: 设 C(x, y)，由AC = BC ==> (x +3)2 +(y - 2)2 = (x - 1)2 +(y + 2)2 ==> 6x - 4y + 13 = -2x + 4y +5 ==> 8x -8y + 8 =0 ==> x - y + 1 = 0 解2: 如图，自C向AB作垂线，垂足为D，由平几知D为AB中点。 (1) 中点 (2) AB的方向: VAB = (4, -4) = 4(1,-1) (3) 由DC⊥AB， VDC = (1, 1) (4) 过D，沿方向VDC 的点C的座标: C: (参数方程) 消去参数k得C点的轨迹方程: x - y + 1 = 0 用DM_Lab演示轨迹的生成过程 作图 1. 用，作线段AB，A(-3,2)，B(1,-2)； 2. 用，过A、B作圆C； 3. 用点击C, 设C爲轨迹点； 4. 用鼠标移动C滑动，得C的轨迹。 用DM_Lab检验轨迹方程 在函数输入栏中输入函数: fy => x+1 发现轨迹图线与函数图象重合，检验得方程是正确的。 例2. 如图，圆O(0,0)的半径 R = 5，A是圆周上一点，自A向x轴作垂线，垂足为B，沿OA方向截取OC = AB， (这是几何结构的描述) 求: C点轨迹方程。 解: (1) OA = 5 (cosθ, sinθ) (2) |OC| = |AB| = 5|sinθ| (3) OC = 5|sinθ| (cosθ, sinθ) (4) 轨迹方程: 用DM_Lab演示轨迹的生成过程 作图 1. 用，作 "以O为心半径为5的圆O"， 2. 用，在圆周上任取一点A； 3. 用，连结OA； 4. 用，自A向x轴作垂线，垂足为B； 5. 用，自O沿OA方向截取OC=AB； 6. 用点击C, 设C爲轨迹点， 7. 用鼠标移动A沿圆周滑动，得C的轨迹。 用DM_Lab检验轨迹方程 在函数输入栏中输入参数函数: tf1=> x=5*abs(sin(t))*cos(t), y=5*abs(sin(t))*sin(t) 发现轨迹图线与函数图象重合，检验得方程是正确的。 例3. 已知 : 原点O(0,0)，圆O半径为 4， 点A在x轴上: A(5,0) 点B在圆周上， CD为AB中垂线，CD长为 4 求: D点的轨迹方程 1. 解: (1) 写出A、B、C各点座标: A = (5, 0) B =( 4cosθ, 4sinθ) (2) 写出向量 由CD⊥CB，|CD| = 4得: (3) 写出D点座标 -- D点轨迹的参数方程: 由 得: …… (1) 用DM_Lab演示轨迹的生成过程 作图 1. 用，作 "以O为心半径为4的圆O"， 2. 用，在x轴上作一点A(5, 0)； 3. 用，在圆周上任取一点B； 4. 用，连结AB； 5. 用，作AB中点C； 6. 用，自C作CD⊥AB； 7. 用测量值表，测量CD长度； 8. 用鼠标移动C点，监视测量值表上CD长度的变化，直到CD=4为止； 9. 用点击D, 设D爲轨迹点， 10. 用鼠标移动B沿圆周滑动，得D的轨迹。 用DM_Lab检验轨迹方程 在函数输入栏中输入参数函数: tf=> x=(5+4*cos(t))/2+16*sin(t)/sqrt(5-4*cos(t))^2+(4*sin(t)^2), y=2*sin(t)+4*(5-4*cos(t))/sqrt(5-4*cos(t))^2+(4*sin(t)^2) 发现轨迹图线与函数图象重合，检验得方程是正确的。 例4. 以变换观点进一步探究例3. 在例3的几何结构中，记A(d, 0)，B(Bx, By) (1) 当B沿圆周运动时，産生D的轨迹，这一过程以“变换观点”来看，就是上面所得D点轨迹的参数方程其实是一种变换(用f表示)，它将圆变换成曲线(1)： 。 (2) 注意到 B = (Bx , By) = (Rcosθ , Rsinθ)，可将 ( f ) 改写如下： …………… (f ) 这是一个由B到D的变换: 。如果B沿圆周运动，则就是变换： 。如果B沿其它路线运动，则结果可能不再是“眼眉”曲线，而是其他形态的图形。 (3) 如果将B点安装在 y = sin(x) 曲线上，A点放在(1,0)处，CD长度取2，这时 d=1，L=2。 拖动B点沿正弦曲线移动，D点画出的轨迹如下图红线所示。 这时B点的座标是 ( t, sin t )，即 Bx = t，By = sin t。 代入变换(f)， 得D点轨迹的参数方程是： …………… (2) 用DM_Lab演示轨迹的生成过程 作图 1. 在函数输入栏中输入参数函数: fy=> sin(x)； 2. 用，在x轴上作一点A(1, 0)； 3. 用，在函数曲线上任取一点B； 4. 用，连结AB； 5. 用，作AB中点C； 6. 用，自C作CD⊥AB； 7. 用测量值表，测量CD长度； 8. 用鼠标移动C点，监视测量值表上CD长度的变化，直到CD=2为止； 9. 用点击D, 设D爲轨迹点， 10. 用鼠标移动B沿函数曲线滑动，得D的轨迹。 用DM_Lab检验轨迹方程 在函数输入栏中输入参数函数: d=>1 L=>2 tf=>x=(d+t)/2+L*sin(t)/sqrt((d-t)^2+sin(t)*sin(t)), y=sin(t)/2+L*(d-t)/sqrt((d-t)^2+sin(t)*sin(t)) 发现轨迹图线与函数图象重合，检验得方程是正确的。 其中红线是当B沿正弦曲线移动时，所得D点的轨迹。 蓝线是参数方程(2)的图线。两线重合，说明D点轨迹的参数方程就是方程(2)。 从变换观点看：变换( f )可以将圆变换到曲线(1)，也可以将正弦曲线变换到曲线(2)。 - 1 - _1234567897.unknown _1234567905.unknown _1234567909.unknown _1234567911.unknown _1234567913.unknown _1234567914.unknown _1234567915.unknown _1234567912.unknown _1234567910.unknown _1234567907.unknown _1234567908.unknown _1234567906.unknown _1234567901.unknown _1234567903.unknown _1234567904.unknown _1234567902.unknown _1234567899.unknown _1234567900.unknown _1234567898.unknown _1234567893.unknown _1234567895.unknown _1234567896.unknown _1234567894.unknown _1234567891.unknown _1234567892.unknown _1234567890.unknown