微积分-不定积分

null第六章 不定积分第六章 不定积分§6.1 不定积分的概念和性质§6.2 积分基本 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 §6.3 换元积分法§6.4 分部积分法§6.1 不定积分的概念和性质§6.1 不定积分的概念和性质1、原 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 原函数举例所以sin x是cos x的原函数. 因为(sin x)cos x , 提问：定义设f(x)是定义在某一个区间上的函数，如果存在一个函数F (x)，使得对已知区间上任意一点x都有 F (x)f(x)或d F (x)f(x) dx 则称函数F (x)是函数f(x)在该区间上的一个原函数。cos x还有其它原函数吗？ 因为(sin x+C)cos x , 所以sin x+C都是cos x的原函数. null原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间I上存在 可导函数F(x), 使对任一xI 都有 F (x)f(x). 简单地说就是: 连续函数一定有原函数. 原函数族定理 如果函数F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数, 那么 （1）对任意常数C， F(x)C都是f(x)的原函数； （2） 函数 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数, 即：如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数, 则 (x)F(x)C (C为某个常数). null不定积分中各部分的名称：  ------ 称为积分号, f(x) ------ 称为被积函数, f(x)dx ------ 称为被积表达式, x ------ 称为积分变量. 2.不定积分 若函数f(x)在某区间上存在原函数，则f(x)的所有原函数的全体称为f(x)在该区间上的不定积分, 记作 定义 根据定义, 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数, 那么F(x)C就是f(x)的不定积分, 即null 例1 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以 如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则null合并上面两式, 得到 解 如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则null微分与积分的关系 从不定积分的定义可知又由于F(x)是F (x)的原函数, 所以 由此可见, 如果不计任意常数, 则微分运算与求 不定积分的运算是互逆的. null 不定积分表示的是一族函数,从几何上看,代表一族曲线, 称为积分曲线族.3.不定积分的几何意义null例4. 设曲线通过点（1，2），且其上任意点处的切线斜率等 于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解，由 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 意知又曲线通过点（1，2），此曲线的方程为设所求曲线方程为：4.不定积分的性质4.不定积分的性质性质1性质2性质3一、基本积分表一、基本积分表§6.2 积分基本公式二、直接积分法解解二、直接积分法null解解 例5 null 例6 例7 null例8 null二、第二类换元法一、第一类换元法6.3 换元积分法null例1例2基本思路 基本思路 设可导,则有第二类换元法第一类换元法一、第一类换元法一、第一类换元法则有换元公式(也称配元法即, 凑微分法)定理1nullnullnull常用凑微分公式null例6. 求例6. 求解:想到公式例7. 求例7. 求解:例8. 求例8. 求解:∴ 原式 =nullnull常用的几种配元形式: 常用的几种配元形式: 万能凑幂法null例11. 求例11. 求解:类似例12. 求例12. 求解法1 解法 2 解法 2 同样可证或null例13. 求解: 原式 =例14 . 求例14 . 求解:例14 . 求例14 . 求被积函数中含有弦函数的偶次幂,利用半角公式降次.null被积函数中含有弦函数的奇次幂,拿出一次凑微分.nullnull例17. 求例17. 求解:∴原式 =例18 求例18 求解法1解法2 两法结果一样例19. 求例19. 求解: 原式= 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 : 思考与练习思考与练习1. 下列各题求积 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 有何不同?2. 求2. 求提示:法1法2法33. 求3. 求法1法2二、第二类换元法二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求则得第二类换元积分法 .难求设设是单调可导函数 , 且具有原函数则的一个原函数。即有换元积分公式定理2证明的原函数null第二换元法的步骤对于被积函数含有根式的不定积分,常用第二换元法, 引入适当的代换,以去掉根号.说明null1.根式代换例1 求解 nullnull解 null2.三角代换例3. 求例3. 求解: 令则∴ 原式例4. 求例4. 求解: 令则∴ 原式例5. 求例5. 求解:令则∴ 原式null令于是例6. 求例6. 求解: 令则∴ 原式例6. 求例6. 求又解: 原式 =例7. 求2.倒代换 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 例7. 求解一: 用三角代换。令 （略）解二: 用倒代换。令则null原式当 x < 0 时, 类似可得同样结果 .null解法1解法2null解法3 令解法4小结:小结:1. 第二类换元法常见类型: 令令令令令2. 常用基本积分公式的补充 2. 常用基本积分公式的补充 (7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 令nullnull例9. 求解:例10. 求解: 原式思考与练习思考与练习1. 下列积分应如何换元才使积分简便 ?令令令2. 已知2. 已知求解: 两边求导, 得则(代回原变量) §6.4 分部积分法分部积分公式 设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数. 那么, (uv)uvuv, 移项得 uv(uv)uv. 对这个等式两边求不定积分, 得 分部积分过程 这两个公式称为分部积分公式. §6.4 分部积分法nullnull 例1 x sin xcos xC . 例2 ex(x22x2 )C. 分部积分过程： 解于是 令xt2, 则dx2tdt. null当被积函数为幂函数与三角函数之积时,如:要用分部积分公式.说明对某些不定积分来说,有时需用连续用若干次分部积分公式.当被积函数为幂函数与指数函数之积时,如:要用分部积分公式.null 例4 例5 分部积分过程： null 例6 分部积分过程： null当被积函数为幂函数与对数函数、反三角函数之积时,如:要用分部积分公式.说明当被积函数单纯为对数函数,反三角函数时,也用分部积分公式在用分部积分法求不定积分时,常出现如下情形:null 解 分部积分过程： null当被积函数为指数函数与三角函数之积时,如:要用分部积分公式.说明连续两次积分，后解方程得出null分部积分过程： 解 因为 null 解 当n1时, 用分部积分法, 有null例10null例11null注： 在后者中u(x)不是以v(x)为中间变量的复合函数 故用分部积分法 在前者中f[(x)]是以(x)为中间变量的复合函数 故用换元积分法 第一步都是凑微分第一换积分元法与分部积分法的比较 null 第一步都是凑微分第一换积分元法与分部积分法的比较 提问： 下列积分已经过凑微分 下一步该用什么方法？提示：null可用分部积分法的积分小结 (1)被积函数为幂函数与三角函数或指数函数的积: (2)被积函数为幂函数与对数函数或反三角函数的积: (3)被积函数为指数函数与三角函数的积: (4)其它情况null解 答null解 答null解 答