固体物理-黄昆-题库(试题及详细解答)

固体物理_黄昆_题库_20050404 PART ONE 填空问题 Q01_01_001 原胞中有 p个原子。那么在晶体中有 3支声学波和3 3p − 支光学波？ Q01_01_002 按结构划分，晶体可分为 7大晶系, 共 14布喇菲格子? Q01_01_004 面心立方原胞的体积为 31 4 aΩ = ；其第一布里渊区的体积为 3 3 4(2 )* a πΩ = Q01_01_005 体心立方原胞的体积为 3 2 aΩ = ；第一布里渊区的体积为 3 3 2(2 )* a πΩ = Q01_01_006 对于立方晶系，有简单立方、体心立方和面心立方三种布喇菲格子。 Q01_01_007 金刚石晶体是复式格子，由两个面心立方结构的子晶格沿空间对角线位移 1／4 的长 度套构而成，晶胞中有 8个碳原子。 Q01_01_008 原胞是最小的晶格重复单元。对于布喇菲格子，原胞只包含 1个原子； Q01_01_009 晶面有规则、对称配置的固体，具有长程有序特点的固体称为晶体；在凝结过程中不 经过结晶（即有序化）的阶段，原子的排列为长程无序的固体称为非晶体。由晶粒组成的固体，称 为多晶。 Q01_01_010 由完全相同的一种原子构成的格子，格子中只有一个原子，称为布喇菲格子。满足 ijji ba πδ2=⋅ GG ⎩⎨ ⎧ ≠= == )(0 )(2 ji jiπ 关系的 1b G , 2b G , 3b G 为基矢，由 322211 bhbhbhGh KKKK ++= 构成的格子， 称作倒格子。 由若干个布喇菲格子相套而成的格子，叫做复式格子。其原胞中有两个以上的原子。 Q01_03_001 由 N个原胞构成的晶体，原胞中有 l个原子，晶体共有 3lN个独立振动的正则频率。 Q01_03_002 声子的角频率为ω，声子的能量和动量表示为 ω= 和 qK= 。 Q01_03_003 光学波声子又可以分为纵光学波声子和横光学波声子，它们分别被称为极化声子和电 磁声子 Q01_03_004 一维复式原子链振动中，在布里渊区中心和边界，声学波的频率为 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ → ±== 0,0 2 ,)2( 2 1 1 q a q M πβ ω ；光学波的频率 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ±= → = a q m q 2 )2( 0)2( 2 1 2 1 2 πβ µ β ω Q01_04_001 金属的线度为 L，一维运动的自由电子波MATCH_ word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 _1713971322575_0 ikxe L x 1)( =ψ ；能量 m kE 2 22== ； REVISED TIME: 05-9-16 - 1 - CREATED BY XCH luzhijian 高亮 固体物理_黄昆_题库_20050404 波矢的取值 L nk π2= Q01_04_002 电子在三维周期性晶格中波函数方程的解具有 ( ) ( )ik rk r e u rkψ ⋅= K K K KK K 形式？式中 ( )ku rK K 在 晶格平移下保持不变。 Q01_04_003 如果一些能量区域中，波动方程不存在具有布洛赫函数形式的解，这些能量区域称为 禁带，即带隙；能带的表示有扩展能区图式法 、简约布里渊区图式法、周期性能区图式法三种图式。 Q01_04_004 在能量标度下，费米自由电子气系统的态密度 2 1 )( CEEN = 。 Q01_04_005 在动量标度下，费米自由电子气系统的态密度 3( ) 4 cVN k π= K 。 Q01_04_006 电子占据了一个能带中所有的状态，称该能带为满带；没有任何电子占据（填充）的 能带，称为空带；导带以下的第一个满带，或者最上面的一个满带称为价带；最下面的一个空带称 为导带；两个能带之间，不允许存在的能级宽度，称为带隙。 Q01_04_007 能带顶部电子的有效质量为 负 （填写正，或负）；能带底部电子的效质量为 正 （填 写正，或负）。 Q01_06_001 温度升高，金属的导电率减小，半导体的导电率增大。对于金属，温度越高，金属中 的晶格振动对电子的散射作用越大。而在半导体中则是有更多的电子从价带激发到导带中。 Q01_06_002 自由电子气系统的费米能级为 , 空间费米半径0FE k = 02 F F mE k = ； 电子的平均能量 0 5 3 FKin EE = Q01_06_003 温度为 时，K0 N 个自由电子构成的三维自由电子气，体系的能量 00 5 3 FNEE = Q01_07_001 N型半导体主要含有一种施主，如果施主的能级是 ，施主浓度为 ，在足够低的 温度下，载流子主要是从施主能级 DE DN 激发到导带的电子。当温度很低时，只有很少的施主被电离。当 温度足够高时，施主几乎全部被电离，导带中的电子数接近于施主数。 REVISED TIME: 05-9-16 - 2 - CREATED BY XCH 固体物理_黄昆_题库_20050404 PART TWO 简述问题 Q02_02_001 原子结合成晶体时，原子的价电子产生重新分布，从而产生不同的结合力，分析离子 性、共价性、金属性和范德瓦耳斯性结合力的特点。 离子性结合：正、负离子之间靠库仑吸引力作用而相互靠近，当靠近到一定程度时，由于泡利不 相容原理，两个离子的闭合壳层的电子云的交迭会产生强大的排斥力。当排斥力和吸引力相互平衡 时，形成稳定的离子晶体； 共价性结合：靠两个原子各贡献一个电子，形成所谓的共价键； 金属性结合：组成晶体时每个原子的最外层电子为所有原子所共有，因此在结合成金属晶体时， 失去了最外层（价）电子的原子实“沉浸”在由价电子组成的“电子云”中。在这种情况下，电子 云和原子实之间存在库仑作用，体积越小电子云密度越高，库仑相互作用的库仑能愈低，表现为原 子聚合起来的作用。 范德瓦耳斯性结合：惰性元素最外层的电子为 8个，具有球对称的稳定封闭结构。但在某一瞬时 由于正、负电中心不重合而使原子呈现出瞬时偶极矩，这就会使其它原子产生感应极矩。非极性分 子晶体就是依靠这瞬时偶极矩的互作用而结合的。 Q02_03_001 什么是声子？ 晶格振动的能量量子。在晶体中存在不同频率振动的模式，称为晶格振动，晶格振动能量可以用 声子来描述，声子可以被激发，也可以湮灭。 Q02_03_002 什么是固体比热的德拜模型？并简述计算结果的意义。 德拜提出以连续介质的弹性波来代 表格 关于规范使用各类表格的通知入职表格免费下载关于主播时间做一个表格详细英语字母大小写表格下载简历表格模板下载 波，将布喇菲晶格看作是各向同性的连续介质，有 1个纵 波和 2个独立的横波。 计算结果表明低温极限下： 3 4 )( 15 12)/( D DV TRTC Θ=Θ π —与温度的 3次方成正比。 温度愈低，德拜近似愈好，说明在温度很低时，只有长波格波的激发是主要的。 Q02_03_003 什么是固体比热的爱因斯坦模型？并简述计算结果的意义。 对于有N个原子构成的晶体，晶体中所有的原子以相同的频率ω0振动。 计算结果表明温度较高时： —— 与杜隆－珀替定律一致。 BV NkC 3≅ 温度非常低时： Tk B BV Be Tk NkC 0 20 )(3 ωω == −= ——按温度的指数形式降低，与实验结果 不符。 3ATCV = 爱因斯坦模型忽略了各格波的频率差别。 Q02_04_001 根据能带理论简述金属、半导体和绝缘体的导电性； REVISED TIME: 05-9-16 - 3 - CREATED BY XCH luzhijian 高亮 luzhijian 高亮 luzhijian 高亮 luzhijian 高亮 luzhijian 高亮 luzhijian 高亮 固体物理_黄昆_题库_20050404 对于金属：电子在能带中的填充可以形成不满带，即导带，因此它们一般是导体。对于半导体： 从能带结构来看与绝缘体的相似，但半导体禁带宽度较绝缘体的窄，依靠热激发即可以将满带中的 电子激发到导带中，因而具有导电能力。 对于绝缘体：价电子刚好填满了许可的能带，形成满带。导带和价带之间存在一个很宽的禁带， 所以在电场的作用下没有电流产生。 Q02_04_002 简述近自由电子近似模型、方法和所得到的主要结论。 考虑金属中电子受到粒子周期性势场的作用，假定周期性势场的起伏较小。作为零级近似，可以 用势场的平均值代替离子产生的势场： )(rVV K= 。周期性势场的起伏量 VVrV ∆=−)(K 作为微扰来 处理。当两个由相互自由的矩阵元状态 k K 和 nGkk KKK +=' 的零级能量相等时，一级修正波函数和二级 能量修正趋于无穷大。 即： 22 nGkk KKK += ，或者 0) 2 1( =+⋅ nn GkG KKK ，在布里渊区的边界处，能量发出突变，形成一系列 的能带。 Q02_04_003 简述紧束缚近似模型的思想和主要结论。 紧束缚近似方法的思想：电子在一个原子（格点）附近时，主要受到该原子势场的作用，而将其 它原子（格点）势场的作用看作是微扰，将晶体中电子的波函数近似看成原子轨道波函数的线性组 合，这样可以得到原子能级和晶体中能带之间的关系。 一个原子能级εi对应一个能带，不同的原子能级对应不同的能带。当原子形成固体后，形成了一系列 的能带。 能量较低的能级对应内层电子，其轨道较小，原子之间内层电子的波函数相互重叠较少，所以对应 的能带较窄。 能量较高的能级对应外层电子，其轨道较大，原子之间外层电子的波函数相互重叠较多，所以对应 的能带较宽。 Q02_05_001 什么是空穴？ 一个空的 1k K 状态的近满带中所有电子运动形成的电流和一个带正电荷 ，以e 1k K 状态电子速度 )( 1kve KK 运动的粒子所产生的电流相同。这个空状态称为空穴。 Q02_05_002 将粒子看作是经典粒子时，它的速度和运动方程是什么？ 电子状态变化基本 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ： F dt kd KK= =)( ; 电子的速度： Ev kk ∇= = K 1 Q02_05_003 简述导带中的电子在外场作用下产生电流的原因。 导带中只有部分状态被电子填充，外场的作用会使布里渊区的状态分布发生变化。所有的电子状 态以相同的速度沿着电场的反方向运动，但由于能带是不满带，逆电场方向上运动的电子较多，因 此产生电流。 REVISED TIME: 05-9-16 - 4 - CREATED BY XCH luzhijian 高亮 luzhijian 高亮 luzhijian 高亮 luzhijian 高亮 luzhijian 高亮 固体物理_黄昆_题库_20050404 Q02_05_004 简述满带中的电子在外场作用下不产生电流的原因。 有外场 E时，所有的电子状态以相同的速度沿着电场的反方向运动。在满带的情形中，电子的运 动不改变布里渊区中电子的分布。所以在有外场作用的情形时，满带中的电子不产生宏观的电流。 Q02_06_001 从电子热容量子理论简述金属中的电子对固体热容的贡献。 在量子理论中，大多数电子的能量远远低于费密能量 ，由于受到泡利原理的限制不能参与热 激发，只有在 附近约 范围内电子参与热激发，对金属的热容量有贡献。计算结果表明电子 的热容量与温度一次方成正比。 0 FE 0 FE TkB~ Q02_06_002 为什么温度较高时可以不考虑电子对固体热容量的贡献？ 在量子理论中，大多数电子的能量远远低于费密能量 ，由于受到泡利原理的限制不能参与热 激发，只有在 附近约 范围内电子参与热激发，对金属的热容量有贡献。在一般温度下，晶 格振动的热容量要比电子的热容量大得多；在温度较高下，热容量基本是一个常数。 0 FE 0 FE TkB~ Q02_06_003 为什么温度较低时可以必须考虑电子对固体热容量的贡献？ 在低温范围下，晶格振动的热容量按温度的 3次方趋于零，而电子的热容量与温度 1次方成正比， 随温度下降变化比较缓慢，此时电子的热容量可以和晶格振动的热容量相比较，不能忽略。 Q02_06_004 为什么在绝对零度时，金属中的电子仍然具有较高的能量？ 温度 时：电子的平均能量（平均动能）：0=T 03 5Kin F E = E ，电子仍具有相当大的平均能量。因 为电子必须满足泡利不相容原理，每个能量状态上只能容许两个自旋相反的电子。这样所有的电子 不可能都填充在最低能量状态。 Q02_06_005 简述研究金属热容量的意义，并以过渡元素Mn、Fe、Co和 Ni具有较高的电子热容量 为例说明费密能级附近能态密度的情况。 许多金属的基本性质取决于能量在 附近的电子，电子的热容量FE BBFV kTkENC )])((3 [ 0 2π= 与 成正比，由电子的热容量可以获得费米面附近能态密度的信息。 )( 0FEN 过渡元素Mn、Fe、Co和 Ni具有较高的电子热容量，反映了它们在费米面附近具有较大的能态密度。 过渡元素的特征是 d壳层电子填充不满，从能带理论来分析，有未被电子填充满的 d能带。由于原 子的 d 态是比较靠内的轨道，在形成晶体时相互重叠较小，因而产生较窄的能带，加上的轨道是 5 重简并的，所以形成的 5 个能带发生一定的重叠，使得 d能带具有特别大的能态密度。过渡金属只 是部分填充 d能带，所以费密能级位于 d能带内。 Q02_06_006 简述金属接触电势差的形成？ 两块不同的金属 A 和 B 相互接触，由于两块金属的费米能级不同，当相互接触时可以发生电子 交换，电子从费米能级较高的金属流向费米能级较低的金属，使一块金属的接触面带正电（电子流 REVISED TIME: 05-9-16 - 5 - CREATED BY XCH luzhijian 高亮 luzhijian 高亮 luzhijian 高亮 luzhijian 高亮 luzhijian 高亮 luzhijian 高亮 luzhijian 高亮 固体物理_黄昆_题库_20050404 出的金属），使另一块金属的接触面带负电（电子流入的金属），当两块金属达到平衡后，具有相同 的费米能级，电子不再流动交换。因此在两块金属中产生了接触电势差。 Q02_07_001 以对 Si掺入 As后形成的 N型半导体为例，简述掺杂对半导体导电能力的影响。 对纯的半导体 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 掺入适当的杂质，也能提供载流子。在 Si掺入 As后形成的 N型半导体，杂质 在带隙中提供带有电子的能级，能级略低于导带底的能量，和价带中的电子相比较，很容易激发到 导带中形成电子载流子。 Q02_07_002 如图 XCH007_018_02所示, 简述 N沟道晶体管的工作原理。 栅极电压很小时，源区 S和漏区 D 被 P 型区隔开， 即使在 SD之间施加一定的电压，但由于 SP和 DP区构 成两个反向 PN结，因此只有微弱的 PN反向结电流。 如果栅极电压达到或超过一定的阈值，在 P型半导体和 氧化物表面处形成反型层——电子的浓度大于体内空穴 的浓度，反型层将源区 S和漏区 D连接起来，此时在 SD 施加一个电压，则会有明显的电流产生。 通过控制栅极电压的极性和数值，使 MOS 晶体管处于 导通和截止状态，源区 S和漏区 D之间的电流受到栅极 电压的调制——集成电路应用。 Q02_07_003 半导体本征边吸收光的波长为多少？ 本征光吸收光子的能量满足： gE≥ω= ， λ πω c2= ， gEc ≥λ π=2 , 长波极限： gE c=πλ 20 = —— 本征吸收边。 Q02_07_004 简述半导体本征激发的特点。 在足够高的温度时，由满带到导带的电子激发（本征激发）将是主要的。本征激发的特点是每产 生一个电子同时将产生一个空穴: 有： pn ≈ 由 Tk EE BeNNnp +− −− +−= ， Tk E B g eNNpn 2 − +−=≈ ，其中 +− −= EEEg 为带隙宽度。 因为： ，因此本征激发随温度变化更为陡峭。在这个范围里，测量和分析载流子随温度的 变化关系，可以确定带隙宽度。 ig EE >> Q02_07_005 什么是非平衡载流子？ 在热平衡下，半导体中的杂质电子，或价带中的电子通过吸收热能，激发到导带中（载流子的产 生），同时电子又可以回落到价带中和空穴发生复合（载流子的复合），最后达到平衡时，载流子的 产生率和复合率相等，电子和空穴的浓度有了一定的分布。 REVISED TIME: 05-9-16 - 6 - CREATED BY XCH luzhijian 高亮 luzhijian 高亮 luzhijian 高亮 luzhijian 高亮 luzhijian 高亮 固体物理_黄昆_题库_20050404 电子和空穴的浓度满足： Tk E B g eNNpn − +−=00 在外界的影响作用下，电子和空穴浓度可能偏离平衡值。如本征光吸收将产生电子—空穴对。 即有： 00 ppp,nnn −=−= ∆∆ ——称为非平衡载流子 Q02_07_006 以在 P型材料形成的 PN结为例，简述光生伏特效应? 利用扩散掺杂的方法，在 P型半导体的表面形成一个薄的 N型层，在光的照射下，在 PN结及其 附近产生大量的电子和空穴对，在 PN 结附近一个扩散长度内，电子－空穴对还没有复合就有可能 通过扩散达到 PN结的强电场区域（PN结自建电场），电子将运动到 N型区，空穴将运动到 P型区， 使 N区带负电、P区带正电，在上下电极产生电压 —— 光生伏特效应。 Q02_07_007 什么是异质结的窗口效应？ 光子能量小于宽带隙的 N型层，即 NgEh )(<ν ，可以透过 N型层，在带隙较窄的 P型层被吸收。 用同质 PN 结制作光电池，入射光的大部分在表面一层被吸收，由于表面缺陷引起的表面复合和高 掺杂层中载流子寿命低等因素，使得一些电子－空穴对不能到达强电场以前，就发生了复合，降低 了太阳能电池的效率。利用异质结的窗口效应，可以有效地减小电子－空穴的复合率，提高太阳能 电池的光电转换效率。 Q02_07_008 对于掺杂的 N 型半导体在热平衡下，为什么导带中电子的浓度越高，价带中空穴的浓 度越低？ 半导体中的电子和金属中的电子一样服从费密——狄拉克统计。 导带中电子浓度： Tk EE B F eNn −− − − = 和价带中空穴浓度： Tk EE B F eNp +−− += ， Tk EE BeNNnp +− −− +−= 在 N型半导体中，施主越多，激发到导带中的电子越多，电子跃迁与价带中空穴发生复合的几率越 大，因此满带中的空穴越少。 Q02_07_009 什么是本征光吸收跃迁和电子－空穴复合发光？ 本征光吸收：光照可以将价带中的电子激发到导带中，形成电子—空穴对，这一过程称为本征光 吸收。电子－空穴对复合发光是本征光吸收的逆过程，即导带底部的电子跃迁到价带顶部的空能级， 发出能量约为带隙宽度的光子。 Q02_07_010 为什么半导体掺杂可以提高其导电能力？ 理想的半导体材料是没有缺陷或没有杂质，半导体中的载流子只能是激发到导带中的电子和价带 中的空穴。对纯的半导体材料掺入适当的杂质，也能提供载流子。因此实际的半导体中除了与能带 对应的电子共有化状态以外，还有一些电子可以为杂质或者缺陷原子所束缚，束缚电子具有确定的 能级，杂质能级位于带隙中接近导带的位置，在一般温度下即可被激发到导带中，从而对半导体的 导电能力产生大的影响。 Q02_07_011 什么是 P型和 N型半导体？ REVISED TIME: 05-9-16 - 7 - CREATED BY XCH luzhijian 高亮 luzhijian 高亮 luzhijian 高亮 luzhijian 高亮 luzhijian 高亮 luzhijian 高亮 固体物理_黄昆_题库_20050404 根据掺杂元素对导电的不同影响，杂质态可分为两种类型。 杂质在带隙中提供带有电子的能级，能级略低于导带底的能量，和价带中的电子相比较，很容易激 发到导带中，称为电子载流子。主要含有施主杂质的半导体，主要依靠施主热激发到导带的电子导 电——N型半导体。 杂质提供带隙中空的能级，电子由价带激发到受主能级要比激发到导带容易的多。主要含有受主杂 质的半导体，因价带中的一些电子被激发到施主能级，而在价带中产生许多空穴，主要依靠这些空 穴导电——P型半导体。 Q02_07_012 半导体中掺入深能级杂质，对半导体的导电有何影响？ 1) 可以成为有效复合中心，大大降低载流子的寿命；2) 可以成为非辐射复合中心，影响半导体 的发光效率；3) 可以作为补偿杂质，大大提高半导体材料的电阻率。 Q02_07_013 以在 Ge半导体掺入 As为例，简述为什么类氢杂质能级的施主能级位于导带附近？ 一个第IV族元素Ge（4价元素）被一个第V族元素As（5价元素）所取代的情形，As原子和近邻 的Ge原子形成共价键后尚剩余一个电子。因为共价键是一种相当强的化学键，束缚在共价键上的电 子能量很低，从能带的角度来说，就是处于价带中的电子。多余一个电子受到As+离子静电吸引，其 束缚作用是相当微弱的，在能带图中，它位于带隙之中，且非常接近导带底。这个电子只要吸收很 小的能量，就可以从带隙跃迁到导带中成为电子载流子。 REVISED TIME: 05-9-16 - 8 - CREATED BY XCH luzhijian 高亮 luzhijian 高亮 固体物理_黄昆_题库_20050404 PART THREE 计算题 Q03_01_001 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方 由倒格子定义： 321 32 1 2 aaa aab GGG GGG ×⋅ ×= π ； 321 13 2 2 aaa aab GGG GGG ×⋅ ×= π ； 321 21 3 2 aaa aab GGG GGG ×⋅ ×= π 体心立方晶格原胞基矢： 1 2 3( ), ( ), (2 2 2 a a aa i j k a i j k a i j k= − + + = − + = − + )K K KK K K K K KK K K 体心立方晶格原胞体积： 3 2 1 a=Ω 倒格子基矢： 2 3 1 1 2 3 2 22 ( ) ( 2 2 2 ( ) ( ) 4 a a a ab i j k a a a a i j k i j k )i j kππ π ×= = ⋅ − + × +⋅ × Ω = ⋅ − + × + −Ω − G G KK KK K K K G G G K KK K K K 1 2 ( )b j k a π= +K KK 同理： 3 12 1 2 3 22 ( )a ab i k a a a a ππ ×= = +⋅ × K KK KK G G G ； 1 23 1 2 3 22 ( )a ab i j a a a a ππ ×= = +⋅ × K KK K K G G G 可见由 321 ,, bbb KKK 为基矢构成的格子为面心立方格子。 面心立方格子原胞基矢： 1 2 3( ), ( ), (2 2 2 a a aa j k a k i a i= + = + = +K KK KK K K )jK K 面心立方格子原胞体积： 3 4 1 a=Ω 倒格子基矢： 321 32 1 2 aaa aab GGG GGG ×⋅ ×= π ， 1 2 ( )b i j ka π= − + +K KK K 同理 2 2 ( )b i j k a π= − +K KK K ， 3 2 ( )b i j ka π= − +K KK K 可见由 321 ,, bbb KKK 为基矢构成的格子为体心立方格子。 Q03_01_002 证明倒格子原胞体积为 cv 3)2( π ，其中 为正格子原胞的体积。 cv 倒格子基矢 321 32 1 2 aaa aab GGG GGG ×⋅ ×= π ； 321 13 2 2 aaa aab GGG GGG ×⋅ ×= π ； 321 21 3 2 aaa aab GGG GGG ×⋅ ×= π REVISED TIME: 05-9-16 - 9 - CREATED BY XCH luzhijian 高亮 luzhijian 高亮 luzhijian 高亮 固体物理_黄昆_题库_20050404 倒格子体积： )()()()2()( 2113323 3 321 * aaaaaa v bbbv c c KKKKKKKKK ×××⋅×=×⋅= π CBABCACBA KKKKKKKKK )()( ⋅−⋅=×× [ ] [ ] 1211312132113 )())()()( aaaaaaaaaaaaa KKKKKKKKKKKKK Ω=⋅×−⋅×=××× 3 3 * 2 3 1* (2 ) (2 )( )c c c v a a a v v π π= × ⋅ =K K K Q03_01_003 证明：倒格子矢量 332211 bhbhbhG KKKK ++= 垂直于密勒指数为 ( 的晶面系 )321 hhh KK 因为 ，ijji ba πδ2=⋅ 332211 bhbhbhG KKKK ++= 如图 XCH_001_047所示。 3 3 2 2 3 3 1 1 , h a h aCB h a h aCA KKKK −=−= 很容易证明： 0,0 321321 =⋅=⋅ CBGCAG hhhhhh KK 即G K 与晶面系 正交。 )( 321 hhh Q03_01_004 如果基矢 c,b,a KKK 构成简单正交系，证明晶面族 的面间距为： )(hkl 222 )()()( 1 c l b k a h d ++ = 并说明面指数简单的晶面，其面密度比较大，容易解理。 对于简单正交系： cba KKK ⊥⊥ , 原胞的基矢：a kcajbaia KKKKKK === 321 ,, 倒格子基矢： 321 32 1 2 aaa aab GGG GGG ×⋅ ×= π ； 321 13 2 2 aaa aab GGG GGG ×⋅ ×= π ； 321 21 3 2 aaa aab GGG GGG ×⋅ ×= π 将 kcajbaiaa KKKKKK === 321 ,, 代入倒格子的定义式得： kcbjbbiab KKKKKK πππ 2,2,2 321 === 倒格子矢量 321 blbkbhG KKKK ++= ， k c lj b ki a hG KKKK πππ 222 ++= 晶面族 的面间距：)(hkl 1 2 2 2d G hb kb lb3 π π= = + +K K K K ， 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) d h k l a b c = + + REVISED TIME: 05-9-16 - 10 - CREATED BY XCH luzhijian 高亮 luzhijian 高亮 固体物理_黄昆_题库_20050404 面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，这样的晶面越容易解理。 Q03_01_005 指出立方晶格（111）面与（100）面，（111）面与（110）面的交线的晶向。 如图 XCH_001_051_01所示（111）面与（100）面的交线的晶向为 AB JJJG JJJG 将 平移，A点到原点 O，B点的位矢：AB BR aj ak= − + KK K 因此，（111）面与（100）面的交线的晶向： AB aj ak= − +JJJG KK —— [0 1 1] AB JJJG 如图 XCH_001_051_02所示（111）面与（110）面的交线的晶向 将 平移，A点到原点 O，B点的位矢：AB JJJG BR ai aj= − + K K K 因此，（111）面与（110）面的交线的晶向： AB ai aj= − +JJJG K K —— [1 1 0] Q03_01_006试做出简单立方晶格、面心立方晶格和体心立 方晶格的维格纳—塞茨原胞(Wingner-Seitz)。 维格纳—塞茨原胞：由某一个格点为中心，做出最近各点 和次近各点连线的中垂面，这些所包围的空间为维格纳— 塞茨原胞。如图所示为一种二维格子的维格纳—塞茨原胞。 简单立方、面心立方晶格和体心立方晶格如图 XCH001_002、007和 003所示。 简单立方格子的维格纳—塞茨原胞为原点和 6个近邻格点连线的垂直平分面围成的立正方体。 REVISED TIME: 05-9-16 - 11 - CREATED BY XCH luzhijian 高亮 luzhijian 高亮 固体物理_黄昆_题库_20050404 如图 XCH001_058所示。 面心立方格子的维格纳—塞茨原胞为原点和 12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体。如 图 XCH001_059所示。 体心立方格子的维格纳—塞茨原胞为原点和 8 个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，和沿 立方轴的 6个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的 14面体。八个面是正六边 形，六个面是正四边形。如图 XCH001_060所示。 Q03_02_001 证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为： 2ln2=α 马德隆常数： ∑ ++−−= ++ 321 321 ,, 2/12 3 2 2 2 1 )( )1(' nnn nnn nnn α 对于一维一价离子： ∑ −−= n n n )1('α ，选定某一个离子为参考离子，假定离子数目很大，参考离子 左右两边各有一个异号离子。 ])1( 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1[2 N N−++−+−+−−= "α ，当 ∞→N 时： 2ln 2α = Q03_02_002 若一晶体中两个离子间的相互作用能表示为： ( ) mu r r rn α β= − + 。计算： 1）平衡间距 0r 2）结合能 （单个原子的） W 3）体弹性模量 4）若取 eVWnmrnm 4,3.0,10,2 0 ==== ，计算 βα , 的值。 晶体总的内能： ( ) ( ) 2 m n NU r r r α β= − + —— N为原子的总数 1）令 0 0 r r dU dr = = ， 01 0 1 0 =+− ++ nm r n r m βα —— 平衡时原子的间距： 1 0 ( )n m nr m β α −= REVISED TIME: 05-9-16 - 12 - CREATED BY XCH luzhijian 高亮 luzhijian 高亮 固体物理_黄昆_题库_20050404 2）单个原子的结合能： 0 0 0 1 1( ) ( ) 2 2 m n W u r r r α β= − = − − + 将 mn m nr −= 1 0 )( α β 代入得到 1 (1 )( ) 2 n mm nW n m α β α −= − 3）体弹性模量； 02 2 0 )( V V UK V ⋅∂ ∂= V r r U V U ∂ ∂ ∂ ∂=∂ ∂ ，晶体的体积： —— 其中 为一常数，3NArV = A N 为原子的总数。 211 3 1)( NArr n r m V U nm ++ −=∂ ∂ βα 00 ] 3 1)[( 2112 2 VV nm VV NArr n r m rV r V U = ++ = −∂ ∂ ∂ ∂=∂ ∂ βα , ][ 9 1 000 2 0 2 2 0 2 2 0 nmnm VV r n r m r n r m VV U βαβα +−+−=∂ ∂ = 因为 0 3 1)( 2 0 1 0 1 00 =−=∂ ∂ ++ = NArr n r m V U nm VV βα —— 平衡位置满足的条件 即： nm r n r m 00 βα = ，代入上面的表达式得到： ][ 9 1 0 2 0 2 2 0 2 2 0 nm VV r n r m VV U βα +−=∂ ∂ = ][ 9 ][ 9 1][ 9 1 00 2 000 2 000 2 0 2 2 0 nmmnnm VV rrV nm r mn r nm Vr nn r mm VV U βααββα +−−=+−=+−=∂ ∂ = 又 nm rr U 00 0 βα +−= ， )( 9 020 2 2 0 U V mn V U VV −=∂ ∂ = 02 2 0 )( V V UK V ⋅∂ ∂= ， 0 09 mnK U V = 4） eVWnmrnm 4,3.0,10,2 0 ==== 由 mn m nr −= 1 0 )( α β 和 mn m n n mW −−= 1 ))(1( α βα 10 04 rW=β ， -96 105.9 10 eV mβ = × ⋅ ][ 10 0 2 0 Wr r += βα ， 19 24.5 10 eV mα −= × ⋅ REVISED TIME: 05-9-16 - 13 - CREATED BY XCH 固体物理_黄昆_题库_20050404 Q03_02_003 已知有 N个离子组成的 NaCl晶体，其结合能为 ) 4 ( 2 )( 0 2 nrr eNrU βπε α +−= ，现以 ρ r ce − 来代替排斥项 nr β ，且当晶体处于平衡时，这两者对互作用势能的贡献相同，试求 和n ρ 的关系。 将结合能在平衡位置 处展开：0rr = "+−∂ ∂+= = )()( 2 1)()( 00 0 rr r UrUrU rr 选取结合能形式： ) 4 ( 2 )( 0 2 nrr eNrU βπε α +−= "+−∂ ∂+= = )()( 2 1)()( 00 0 rr r UrUrU rr 以 ρ r ce − 代替 n 0r β 后， ) 4 ( 2 )(' 0 2 ρ πε α rce r eNrU −+−= "+−∂ ∂+= = )()'( 2 1)(')(' 00 0 rr r UrUrU rr 根据题意： ，)(')( 00 rUrU = ρβ 0 0 r n cer −= 在平衡位置： 0)'()( 00 =∂ ∂=∂ ∂ == rrrr r U r U ， ρρ β 020 1 0 r n e rc r n − − = 由 ρβ 0 0 r n cer −= ， ρβ 0 0 lnlnln rcrn −=− 由 ρρ β 020 1 0 r n e rc r n − − = ， ρρβ lnln2lnln)1(lnln 0 00 −−+=−−+ rrcrnn ρρβ lnlnlnlnlnln 0 00 −−=+−− rcnrrn 所以 ρlnlnln 0 =− nr ， ρnr =0 将 ρnr =0 代入 ρβ 0 0 r n cer −= nn e c n = )( ρ β , 1 ( )ne c n ρ β= REVISED TIME: 05-9-16 - 14 - CREATED BY XCH luzhijian 高亮 固体物理_黄昆_题库_20050404 Q03_03_001 讨论 N 个原胞的一维双原子链 （相邻原子间距为 a），其 2N 格波解，当 M m= 时与一维单原子链的结果一一对应。 如图 XCH003_005所示，质量为 M的原 子位于 2n-1， 2n+1， 2n+3 …… 质量为 m的原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 …… 牛顿运动方程： )2( )2( 2221212 121222 nnnn nnnn M m µµµβµ µµµβµ −−−= −−−= +++ −+ �� �� —— 体系 N个原胞，有 2N个独立的方程 方程解的形式： ])12([ 12 ])2([ 2 aqnti n qnati n Be Ae +− + − = = ω ω µ µ 将 带回到运动方程得到： ])12([ 12 ])2([ 2 aqnti n qnati n Be Ae +− + − = = ω ω µ µ ⎭⎬ ⎫ =−+− =−−⇒ ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ −+=− −+=− − − 0)2()cos2( 0)cos2()2( 2)( 2)( 2 2 2 2 BMAaq BaqAm BAeeBM ABeeAm iaqiaq iaqiaq ωββ βωβ ββω ββω 若 A、B有非零的解，系数行列式满足： 0 2cos2 cos22 2 2 =−− −− ωββ βωβ Maq aqm 1 2 2 2 2 ( ) 4{1 [1 sin ] } ( ) m M mM aq mM m M ω β += ± − + 两种不同的格波的色散关系： 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 ( ) 4{1 [1 sin ] } ( ) ( ) 4{1 [1 sin ] } ( ) m M mM aq mM m M m M mM aq mM m M ω β ω β + − += + − + += − − + a q a 22 ππ ≤<− —— 第一布里渊区 —— 第一布里渊区允许 q的数目： / N a Na π π = 对应一个 q有两支格波：一支声学波和一支光学波。总的格波数目为 2N。 当M m= ： 1 2 2 22 {1 [1 sin ] }aq m ω β= ± − REVISED TIME: 05-9-16 - 15 - CREATED BY XCH luzhijian 高亮 固体物理_黄昆_题库_20050404 2 2 (1 cos )aq m βω = ± 4 cos 2 4 sin 2 aq m aq m βω βω + − = = —— 两种色散关系如图 XCH003_017所示 在长波极限 ),0( aq >>→ λ 情况下：当 q ，0→ 2 ) 2 sin( qaqa ≈ ， (2 )q m βω− = —— 与一维单原子晶格格波的色散关系一致。 Q03_03_002 质量相同两种原子形成一维双原子链，最近邻原子间的力常数交错等于 1 cβ = 和 2 10cβ = ，并且最近邻的间距 。 / 2a 1） 求出色散关系和分析计算 0,q q a π= = 处格波的频率值； 2） 大致画出色散关系图。 如图 XCH003_018所示，设蓝色标记的原子位 于 2n-1， 2n+1， 2n+3 ……。 红色标记原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 ……。 第 2n个原子和第 2n＋1个原子的运动方程： 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 ( ) ( ) n n n n n n m m 1n n µ β β µ β µ β µ µ β β µ β µ β µ + − + + + = − + + + = − + + + �� �� —— 体系 N个原胞，有 2N个独立的方程 方程解的形式： 1[ (2 ) ] 2 2 1[ (2 1) 2 2 1 i t n aq n i t n aq n Ae Be ω ω µ µ − − + + = = ] ，将其带回到运动方程得到： 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 ( ) ( 2( ) ( i aq i aq i aq i aq m A e e B A m B e e A B ω β β β β ω β β β β − − − = + − + − = + − + ) ) ，令 2 21 21 2,m m β βω ω= = 1 1 2 2 2 2 22 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 22 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( i aq i aq i aq i aq A e e B e e A B ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω − − + − − + = + − + − 0 ) 0= REVISED TIME: 05-9-16 - 16 - CREATED BY XCH luzhijian 高亮 固体物理_黄昆_题库_20050404 若 A、B有非零的解，系数行列式满足： 1 1 2 2 2 2 22 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 22 2 1 2 1 2 ( ), ( ( ), ( 0 i aq i aq i aq i aq e e e e ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω − − + − − + + + − = − ) ) 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 0( ) i aq i aq i aq i aq e e e eω ω ω ω ω ω ω− −+ − − + =+ 将 1 cβ = 和 2 10cβ = ， 2 2 20 1 2 10,c cm m 2 010ω ω ω= = = = ω 代入得到 2 2 2 4 4 0 0 0(11 ) 20(10 c 01 ) osaqω ω ω ω− − = 解得： 2 20 (11 20cos 101)qaω ω= ± + —— 两种色散关系 0q = ： 2 20 (11 121)ω ω= ± ： 022 0 ω ω ω + − = = q a π= ： 2 20 (11 81)ω ω= ± ： 0 0 20 2 ω ω ω ω + − = = 色散关系如图 XCH003_019所示。 Q03_03_003 计算一维单原子链的频率分布函数 )(ωρ 设单原子链长度 NaL = 波矢取值 h Na q ×= π2 ，每个波矢的宽度： Na q π2= ，状态密度 π2 Na dq间隔内的状态数： dqNaπ2 ，对应± ，q ω取相同值 因此 dqNad πωωρ 22)( ×= 一维单原子链色散关系： ) 2 (sin4 22 aq m βω = 令 m βω 40 = ， )2sin(0 aqωω = 两边微分得到 dqaqad ) 2 cos( 20 ωω = REVISED TIME: 05-9-16 - 17 - CREATED BY XCH luzhijian 高亮 固体物理_黄昆_题库_20050404 将 2 0 2 1) 2 cos( ω ω−=aq 代入 dqaqad ) 2 cos( 20 ωω = dqad 2202 ωωω −= ， 22 0 2 ωω ω −= d a dq ωωωππ da NadqNa 22 0 12 2 2 2