动态法测杨氏模量实验报告
动态法测量杨氏模量
一、 实验目的
1. 理解动态法测量杨氏模量的基本原理。
2. 掌握动态法测量杨氏模量的基本
方法
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，学会用动态法测量杨氏模量。 3. 了解压电陶瓷换能器的功能，熟悉信号源和示波器的使用。学会用示波器观
察判断样品共振的方法。
4. 培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。
二、 实验原理:
在一定条件下，试样振动的固有频率取决于它的几何形状、尺寸、质量以及它的杨氏模量。如果在实验中测出试样在不同温度下的固有频率，就可以计算出试样在不同温度下的杨氏模量。
根据杆的横振动方程式
42,yS,y,，,0 (1) 42EJ,x,t
2J,ydS式中为杆的密度，S为杆的截面积， 称为惯量矩(取决于截面的形状)，E,,s
即为杨氏模量。
如图1所示，长度L远远大于直径d(L>>d)的一细长棒，作微小横振动(弯曲振动)时满足的动力学方程(横振动方程)为
y y 42L ,yS,y,，,0 (1) x 42,xEJ,tO x x x 棒的轴线沿x方向，式中y为棒上距左端x处截面的y方向位 图1 细长棒的弯曲振动 2 移，E为杨氏模量，单位为Pa或N/m;ρ为材料密度;S为 2 J,yds截面积;J为某一截面的转动惯量，。 ,, s 横振动方程的边界条件为:棒的两端(x=0、L)是自由端，端点既不受正应力也不受切向力。 用分离变量法求解方程(1)，令y(x,t),X(x)T(t)，则有 421dX,S1dT ,,, (2) 42XEJTdxdt 由于等式两边分别是两个变量x和t的函数，所以只有当等式两边都等于同一个常数时等式才 4 成立。假设此常数为K，则可得到下列两个方程 4 dX 4,KX,0 (3) 4 dx 24 dTKEJ ，T,0 (4) 2 ,Sdt 如果棒中每点都作简谐振动，则上述两方程的通解分别为
(),，，cos，sinXxachKxashKxaKxaKx,1234 (5) ,T(t),bcos(,t，,),
于是可以得出
(6) y(x,t),(achKx，ashKx，acosKx，asinKx),bcos(,t，,)1234
式中
142，，KEJ, (7) ,,,,S,,，，
式(7)称为频率公式，适用于不同边界条件任意形状截面的试样。如果试样的悬挂点(或支撑点)在试样的节点，则根据边界条件可以得到
cosKL,chKL,1 (8)
采用数值解法可以得出本征值K和棒长L应满足如下关系
KL=0，4.730，7.853，10.996，14.137，…… (9) n
其中第一个根KL=0对应试样静止状态;第二个根记为KL=4.730，所对应的试样振动频率称01
为基振频率(基频)或称固有频率，此时的振动状态如图2(a)所示;第三个根KL=7.8532所对应的振动状态如图2(b)所示，称为一次谐波。由此可知，试样在作基频振动时存在两个节点，它们的位置分别距端面0.224L和0.776L。将基频对应的K值代入频率公式，可得到1
(a) n=1 (b) n=2
图2 两端自由的棒作基频振动波形和一次谐波振动波形 杨氏模量为
43,LSLm,32,22E,1.9978，10,,7.8870，10f (10) JJ
4,d,J如果试样为圆棒(d<
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