推理与っaspan class=ml10 gray2013-10-16span class=download2mobile search-download2mobile data-docid=e70f044d9b6648d7c0c7460da href=javascriptvoid(0); style=displaynone;免费下载到手机

推理与っaspan class=ml10 gray2013-10-16span class=download2mobile search-download2mobile data-docid=e70f044d9b6648d7c0c7460da href=javascriptvoid(0); style=displaynone;免费下载到手机 金陵中学2012-2013学年高二上 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 教案 中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载 2(1合情推理与演绎推理 第一课时 归纳推理 教学目标 1(能利用不完全归纳的方法进行简单的推理; 2(体会归纳推理在数学发现中的重要作用( 重点难点 教学重点:归纳推理的特点和它的作用( 教学难点:通过实例的分析和讲解提高学生的数学思维能力( 教学过程 (一)问题情境 从一个或几个已知的命题得出另一个新命题的思维过程称为推理(任何推理都包含前提 和结论两部分，前提是推理所依据的命题，他告诉我们已知的知识是什么;结论是根据前提 推得的命题，他告诉我们推出的知识是什么(考察下面一些前提，你会导出什么结论, 前提: 4,2，2 6,3，3 8,3，5 10,3，7,5，5 12,5，7 14,3，11,7，7 16,3，13,5，11 18,5，13,7，11 20,3，17,7，13， …… 结论: 任何大于2的偶数可以表示为两个素数之和(简称“1，1”) ( 这就是著名的“哥德巴赫猜想” ( (二)学生活动 请具体分析一下上述推理的具体过程吗, 1(首先，注意到上述前提中的某些相似性( 4，6，8，10，12，14，16，20都是偶数; 2，3，5，7，11，13，17都是素数; 每一个等式之间也有彼此类似的地方; 2(其次，进行概括、推广( 从4，6，8，10，12，14，16，20这些偶数的实例扩大到大于2的偶数; 从2，3，5，7，11，13，17这些素数的实例扩大到所有素数; 继续推广得到一个可能的一般关系式:大于2的偶数,素数，素数; (三)数学理论 上述思维过程，可以表示为 实验、观察 概括、推广 猜测一般结论 这种从个别事实中推出一般性结论的推理通常称为归纳推理，简称归纳法( 归纳法是一种非常重要的推理方法，在我们日常生活中和科学发现中人们大量使用，例如 1 金陵中学2012-2013学年高二上 数学教案 数学教案七年级下册六年级下册数学教案七年级下册数学教案九年级下册数学教案四年级下册数学教案 (1)“瑞雪兆丰年”; (2)“三角形的内角和是180?，凸四边形的内角和是360?，凸四边形的内角和是540?”，…… 猜想:凸n边形的内角和是(n,2)×180?; (3)费马数猜想 1640年，法国数学家费马发现数列5，17，257，65537都是素数，于是他猜想，任何 n2形如2，1(n?N)的数(通常称为费马数，记作F)都是素数; n (4)四色猜想 1852年，弗南西斯?格思里搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象:“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。” [学生活动]列举几个归纳推理的例子( [注意]必须注意从上述归纳过程得出的一个结论还仅仅是一个猜想，也就是说，这个命题决没有被证明，也没有资格作为真理( 例如:从一个袋子中摸出第一个球是红球，第二个球也是红球，第三个、第四个、第五个都是红球时，我们的猜想:“袋子中的球都是红球”是不可靠的( 刚才举的一些例子中， (i)有些已经得到了验证，如 三角形的内角和; 四色猜想(1976年～美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上～用了1200个小时～作了100亿判断～终于完成了四色定理的证明) (ii)有些已经被否定，如 52费马数都是素数(1732年欧拉发现F,2，1,641×6700417不是素数) 5 (iii)有些问题至今也没有解决，如哥德巴赫猜想 哥德巴赫猜想的内容其实是这样的:“任何一个大于等于6的偶数～都可以表示成两个奇素数的和, 任何一个大于等于9的奇数～都可以表示成三个奇素数的和(” 从1742年开始200年过去了～没有人证明它(哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”(到了20世纪20年代～才有人开始向它靠近(在此过程中做出重大贡献的是我国数学家陈景润～1966年他证明了“每一个充分大的偶数都能够表示为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”,简称“1，2”, ( 归纳推理的特点: (1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象; (2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需要经过逻辑证明和实践检验(因此他不能作为数学证明的工具( (3)归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，班主任们发现问题和提出问题( (四)数学应用 an例1已知数列{a}的第1项a,1，且a,(n,1，2，…)，试归纳出这个数列的通，n1n1 a，1n 项公式( 2 金陵中学2012-2013学年高二上数学教案 1111解:观察:a,1，a,，a,，a,，a,， 123452345 1归纳猜想:a,( nn ，1a11n证明:因为,,1，， aaa，nnn1 1所以数列{}是首项为1，公差是1的等差数列， an 11所以,1，(n,1),n，即a,( nann 例2.如图，在圆内画一条线段,将圆分成两部分;画两条线段,彼此最多分割成4条线段，同时将圆分割成4部分;画三条线段,彼此最多分割成9条线段,同时将圆分割成7部分(那么 (1)在圆内画四条线段，彼此最多分割成多少条线段?同时将圆分割成多少部分? (2)猜想:圆内两两相交的n(n?2)条线段，彼此最多分割成多少条线段?同时将圆分割成多少部分? 解:(1)在圆内画四条线段，彼此最多分割成16条线段，同时将圆分割成11部分( 2(2)猜想:圆内两两相交的n(n?2)条线段，彼此最多分割成n条线段，同时将圆分割12成( n，n，2)部分( 2 证明:设圆内两两相交的n(n?2)条线段，彼此最多将圆分割成f (n)部分( f (2),f (1),2， f (3),f (2),3， f (4),f (3),4， … f (n),f (n,1),n( 叠加得 f (n),f (1),2，3，4，…，n( 12即 f (n),( n，n，2) ( 2 例3数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E，然后用归纳法推理得出它们之间的关系( 3 金陵中学2012-2013学年高二上数学教案 解:观察: 顶点数,V，多面体 面数(F) 棱数(E) ,V，(V) 三棱锥 4 4 6 四棱锥 5 4 8 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6 8 12 正八面体 8 6 12 五棱柱 7 10 15 截角正方7 10 15 体 尖顶塔 9 9 16 猜想:凸多面体中，F，V,E,2(欧拉公式) (五)小结 1(什么是归纳推理, 2(归纳推理的特点和步骤是什么, (六)小结 P:习题2(1 1，2，5，10 81 补充: 1(根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图形中点的个数( (1) (2) (3) (5) (4) 4 金陵中学2012-2013学年高二上数学教案 2(设平面内有n条直线(n?3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一 点(若用f(n)表示这n条直线交点的个数，求f(4)，f(n)(用n?N，n,4)( 第二课时 类比推理 教学目标 1(能利用类比的方法进行简单的推理; 2(体会类比推理在数学发现中的重要作用( 3(了解合情推理的含义( 重点难点 教学重点:类比推理的特点和它的作用( 教学难点:通过实例的分析和讲解提高学生的数学思维能力( 教学过程 (一)问题情境 春秋时代鲁国的公输班(后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师)一次去林中砍树时被一 株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子( 他的思路是这样的: 茅草是齿形的, 茅草能割破手( 我需要一种能割断木头的工具; 它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗, 不是归纳推理，因为归纳推理一般是从部分到整体，从特殊到一般.而上述推理是从功能上的类似性，推得形状上的类似性. 下面再举几个用这种方法进行推理的例子. (二)学生活动 例1 科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征: (1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星; (2)有大气层,在一年中也有季节变更; (3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等.. 科学家猜想:火星上也可能有生命存在. 例2 试根据等式的性质猜想不等式的性质. 解:等式的性质: 不等式的性质 (1) a,b,a，c,b，c; (1) a,b,a，c,b，c; (2) a,b, ac,bc; (2) a,b, ac,bc; 2222(3) a,b,a,b;等等. (3) a,b,a,b;等等. 说明:这样猜想出的结论是否一定正确, (三)数学理论 根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，象这样的推理称为类比推理，简称类比法，类比推理的大致过程如图所示( 5 金陵中学2012-2013学年高二上数学教案 观察、比较 联想、类推 猜测新的结论 类比推理的几个特点: 1(类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果( 2(类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性( 3(类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能( (四)数学应用 通过类比研究是数学研究的重要方法，我们前面的学习中经常遇到，例如:研究等比数列时与等差数列类比，研究空间向量时与平面向量类比等( 例3试将平面上的圆与空间的球进行类比( 解:圆与球在它们的生成，形状、定义等方面都具有相似的性质: 圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合( 球的定义:到一个定点的距离等于定长的点的集合( 圆 球 弦 截面圆 直径 大圆 周长 表面积 圆面积 体积 圆的性质 球的性质 球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦 于截面圆 与圆心距离相等的两弦相等; 与球心距离相等的两截面圆相等; 与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较 较长 近的截面圆较大 圆的切线垂直于过切点的半径;经过圆心且垂球的切面垂直于过切点的半径;经过球心且 直于切线的直线必经过切点 垂直于切面的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 经过切点且垂直于切面的直线必经过球心 例4(1)你认为平面几何中哪一类图形可以作为四面体的类比对象, (2)类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想( (3)类比三角形面积和周长的关系，试给出四面体中类似的关系( 解:(1)构成几何体的元素数目:四面体 三角形( (2) 6 金陵中学2012-2013学年高二上数学教案 直角三角形 3个面两两垂直的四面体 ?C,90? ?PDF,?PDE,?EDF,90? 三条边的长度a，b，c 四个面的面积S，S，S和S 123 两条直角边a，b和一条斜边c 三个“直角面” S，S，S和一个“斜面” S 1232222222c,a，b S,S，S，S 123 11(3)S,(a，b，c)r V,(S，S，S，S)r 12323 例5 阅读:在平面上，设h，h，h是三角形ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，abc P到相应三边的距离分别为p，p，p，我们可以得到结论: abc pppabc，，,1 hhhabc 试通过类比,写出在空间中的类似结论( 观察、分析、比较、联想 提出猜想 从具体问题出发 归纳、类比 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理. (五)小结 1(什么是类比推理, 2(你能复述出我们接触过的类比推理的例子吗, (六)作业 P 2，3 68 第三课时 演绎推理 教学目标 1(结合已经学过的数学实例和生活实例，了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理; 2(通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异( 重点难点 教学重点:演绎推理的主要形式:三段论( 教学难点:通过实例的分析和讲解提高学生的数学思维能力( 教学过程 (一)问题情境 下面的推理是合情推理吗,为什么, 1(所有的金属都能导电， 因为铜是金属， 所以铜能够导电( 2(一切奇数都不能被2整除， 100因为(2，1)是奇数， 7 金陵中学2012-2013学年高二上数学教案 100所以(2，1) 不能被2整除( 3(全等的三角形面积相等， 如果三角形ABC与三角形ABC全等， 111 所以三角形ABC与三角形ABC面积相等( 111 (二)学生活动 归纳推理:从特殊到一般; 类比推理:从特殊到特殊( 上述推理则都是从一般性结论到该结论的特殊实例，因此不是合情推理( (三)数学理论 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理( 1(演绎推理是由一般到特殊的推理; 2(“三段论”是演绎推理的一般模式;包括: ?大前提---已知的一般原理; ?小前提---所研究的特殊情况; ?结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断( 上面例子的推理中就应用了三段论: 1(所有的金属都能导电， (大前提) 因为铜是金属， (小前提) 所以铜能够导电( (结 论) 2(一切奇数都不能被2整除， (大前提) 100因为(2，1)是奇数， (小前提) 100所以(2，1) 不能被2整除( (结 论) 3(全等的三角形面积相等， (大前提) 因为三角形ABC与三角形ABC全等， (小前提) 111 所以三角形ABC与三角形ABC面积相等( (结 论) 111 三段论的常见格式: M—P(M是P) S—M(S是M) S—P(S是P) 请举出日常生活中应用三段论进行推理的例子( (四)数学应用 为了方便，在运用三段论时，常常省略大前提或小前提的表述方式，例如前面的三个 100100推理，可以分别写成“因为铜是金属，所以铜能够导电”，“ 因为(2，1)是奇数，所以(2 ，1) 不能被2整除”，“ 因为三角形ABC与三角形ABC全等，所以三角形ABC与三角形111ABC面积相等”( 111 2例1 把“函数y,x，x，1的图象是抛物线”还原成三段论( 解:二次函数的图象是一条抛物线 (大前提) 2因为函数y,x，x，1是二次函数 (小前提) 2所以函数y,x，x，1的图象是抛物线 (结 论) 例2 如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，?BFD,?A，DE//BA，求证:ED,AF， 并指出每一步推理的大前提和小前提( 8 金陵中学2012-2013学年高二上数学教案 解:因为?BFD,?A，所以DF//EA( 又DE//BA，所以四边形AFDE是平行四边形， 所以ED,AF( 其详细推理过程是: (1) 同位角相等，两条直线平行 (大前提) A ?BFD和?A是同位角，且?BFD,?A， (小前提) 所以DF//EA( (结 论) F E (2)两组对边平行的四边形是平行四边形， (大前提) DF//EA且DE//BA， (小前提) D 所以，四边形AFDE是平行四边形， (结 论) B C (3)平行四边形对边相等， (大前提) ED和AF为平行四边形的对边， (小前提) 所以，ED,AF( (结 论) b，mbb，m均为正实数，b,a，求证:,( 例3 已知a，aa，m证明:因为b,a，m,0，所以bm,am， 所以ab，bm,ab，am，即b(a，m),a(b，m)( b(a，m)a(b，m)又a(a，m),0，所以,， a(a，m)a(a，m) b，mb所以,( aa，m 其详细推理过程是: (1)不等式两边同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提) 因为b,a，m,0， (小前提) 所以bm,am， (结 论) (2)不等式两边同加一个实数，不等号不改变方向，(大前提) 因为bm,am，ab?R， (小前提) 所以ab，bm,ab，am， (结 论) (3)乘法关于加法满足分配 ， (大前提) ab，bm,ab，am， (小前提) 所以b(a，m),a(b，m)， (结 论) (4)不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，(大前提) 因为 a(a，m),0 ，b(a，m),a(b，m)， (小前提) b(a，m)a(b，m) 所以,， (结 论) a(a，m)a(a，m) (5)分子分母同约去一个实数，分数值不变， (大前提) a，m?R，a?R， (小前提) 9 金陵中学2012-2013学年高二上数学教案 b，mb所以,( aa，m 课堂练习: 1(P练习3，4 72 说明:演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，演绎推理具有以下特点: (1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊的事实，结论完全蕴涵于前提中( (2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系(只要前提是真实的，推理形式是正确的，那么结论也必定是正确的，因而演绎推理是数学中严格证明的工具( (3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有利于科学的理论化和系统化( 23(证明函数f (x),,x，2x在(,?，1]上是增函数(并指出推理中的三段论( 提示:可以用定义证明，也可以用导数证明( (五)小结 1(合情推理与演绎推理的区别, 2(演绎推理的一般模式是什么, (六)作业 P 5 ，P 7 7281 10 金陵中学2012-2013学年高二上数学教案 2(2 直接证明与间接证明 第一课时 直接证明 教学目标 1(结合已经学过的教学实例，了解直接证明的两种基本方法—分析法和综合法; 2(了解分析法和综合法的思考过程和特点( 重点难点 1(重点:理解直接法证明的思考过程( 2(难点:通过实例的分析和讲解提高学生的数学思维能力( 教学过程 一、学生活动 11【问题1】 若a，b,0，求证(a，b)(，)?4( ab 11211证法1:因为a，b,0，所以a，b?2ab，，?，所以(a，b)(，)?4( ababab 11ba证法2:(a，b)(，),1，1，，?1，1，2,4( abab 二、数学理论(1) 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法( 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论( 综合法用框图表示为: PQ?Q,Q?Q,Q?„?Q,Q 11223n 综合法的特点:“由因导果” 三、数学应用(1) 【问题2】 求证:2，7,3，6( 11分析1:要证明2，7,3，6，只要证明7,6,3,2，即证明,( 7，63，2 11 由于7，6,3，2，所以,成立，原命题得证( 7，63，2 22分析2:要证明2，7,3，6，只要证明(2，7),(3，6)，即证明9，214,9 22，218，由于14,18，所以(2，7),(3，6)成立，所以原命题得证( 四、数学理论(2) 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明的方法叫做分析法( 用框图表示分析法的思考过程、特点: ,,,QQPPPP„得到一个明显成立的结论 1,12,23,, 分析法的特点:“执果索因” ( 11 金陵中学2012-2013学年高二上数学教案 a，b回顾基本不等式?ab(a,0，b,0)的证明: 2 分析法寻找思路: a，b要证 ?ab， 2 只要证 a，b?2ab， 只要证 a，b,2ab?0， 2只要证 (a,b)?0， a，b因为最后一个等式成立，所以?ab成立( 2 综合法书写证明: 2对于正数a，b，有(a,b)?0， 所以a，b,2ab?0， 所以a，b?2ab， a，b所以?ab( 2 五、数学应用(2) 例1 已知AB，CD相交于点O，?ACO??BDO，AE,BF，求证:CE,DF( 证(分析法):要证明CE,DF，只需要证明?ECO??FDO，为此只需要证明 C CO,DO，,,?EOC,?FOD，, ,,EO,FO(F B O A 为了证明CO,DO，只要?ACO??BDO( E 为了证明EO,FO，只要证明AO,BO(因为已知AE,BF)， 也只需?ACO??BDO( D 由于?ACO??BDO是已知的，又因为?EOC和?FOD是对顶角，所以它们相等，从而?ECO??FDO成立，因此原命题成立( 证(综合法):因为?ACO??BDO，所以 CO,DO，AO,BO(全等三角形对应边相等)( 因为AE,BF(已知)，所以EO,FO， 在?ECO和?FDO中， CO,DO，,,?EOC,?FOD，, ,,EO,FO( 所以?ECO??FDO(SAS)，所以CE,DF(全等三角形对应边相等)( 说明:分析法解题方向明确，利于寻找解题思路，综合法条理清晰，易于表达(因此，在实际问题解题时，通常以分析法为主寻找思路，再用综合法有条理地表述解题过程( 例2 如图，SA?平面ABC，AB?BC，过A作SB的垂线，垂足为N，过N作SC的垂线，垂足为M，求证:AM?SC( 证(分析法):要证AM?SC， 只需证:SC?平面ANM， 12 金陵中学2012-2013学年高二上数学教案 只需证:AN?SC， 只需证:AN?平面SBC， 只需证:AN?BC， 只需证:BC?平面SAB， 只需证:BC?SA， 只需证:SA?平面ABC( 因为SA?平面ABC成立，所以 AM?SC成立( 证(综合法):因为SA?平面ABC，所以SA?BC， 又AB?BC，SA?AB,A，所以BC?平面SAB( 所以BC?AN， 因为AN?SB，SB?BC,B， 所以AN?平面SBC，所以AN?SC( 因为MN?SC，MN?AN,N， 所以SC?平面ANM，所以AM?SC( 【课堂练习】 22221(已知a,0，b,0，求证a(b，c)，b(c，a)?4abc( 2α1,tanπ22(已知α，β?2kπ，(k?Z)，且sinθ，cosθ,2sinα ，sinθ?cosθ,sinβ，求证:,221，tanα 21,tanβ( 22(1，tanβ) 六、小结 对综合法和分析法作比较，说明它们的特点( 七、作业 课本P87 1，2，5，6 第二课时 间接证明 教学目标 1(结合已经学过的教学实例，了解间接证明的基本方法—反证法; 2(了解反证法证明的基本步骤( 重点难点 1(重点:反证法证明的基本步骤( 2(难点:通过实例的分析和讲解提高学生的数学思维能力( 教学过程 一、问题情境 古时候有个人叫王戎，7岁那年的某一天和小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实 多得把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动。他说:“李子是苦的,我不 吃(”小伙伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃( 小伙伴问王戎:“这就怪了!你又没有吃,怎么知道李子是苦的啊?”王戎说:“如果李子是 甜的，树长在路边，李子早就没了～李子现在还那么多，所以啊，肯定李子是苦的，不好吃!” 13 金陵中学2012-2013学年高二上数学教案 其实，王戎的证明方法，数学中也经常使用，例如: 求证:平面内一点与平面外一点的连线～和平面内不经过该点的直线是异面直线( 已知:a,α ，Aα ，B?α，Ba( ,, 求证:直线AB与a是异面直线( A 证明:假设直线AB与a在同一平面内，则这个平面一定经过点B与直线a( 因为B,a，所以经过B与直线a只能有一个个平面α ， B a 所以直线AB与a应在平面α内， α 所以A?α这与已知A,α矛盾( 所以假设不成立，即直线AB与a是异面直线( 二、学生活动 试分析以上两个问题证明的基本步骤( 三、数学理论 当我们直接从正面考虑不易解决问题时，于是就要改变思维方向，从结论入手，反面 思考(这种从“正面难解决就从反面思考”的思维方式就是我们通常所说的间接证明中 的一种——反证法。 反证法是肯定题设而否定结论，从而导出矛盾的推理方法(反证法也是补集思想的运用( 用反证法完成一个命题的证明，一般有以下三步步骤: (1)反设，假设命题的结论不成立，即假定原结论的方面为真; (2)归谬，从反设和已知条件出发，经过一系列的逻辑推理，得出矛盾的结果; (3)结论，由矛盾的结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立( 四、数学应用 【练习1】写出用“反证法”证明下列命题的第一步“假设” ( (1)互补的两个角不能都大于90?( (2)?ABC中,最多有一个钝角( 例1 求证:正弦函数没有比2π小的正周期( 证明:假设T是正弦函数的周期，且0,T,2π，则对于任意实数x，都有sin(x，T),sinx成立(令x,0，得sinT,0，即T,kπ，k?Z， 因为0,T,2π，所以T,π，从而对于任意实数x，都有sin(x，π),sinx成立，这与 ππsin(，π)?sin矛盾( 22 所以，正弦函数没有比2π小的正周期( 说明:一般来讲，反证法常用来证明的题型有:命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题;或者否定结论更明显(具体、简单的命题;或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆( A 例2 用反证法证明:圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分( D 已知:如图，在?O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径. O 求证:弦AB、CD不被P平分( 证明一:假设弦AB、CD被P平分， P C B 14 金陵中学2012-2013学年高二上数学教案 连结 AD、BD、BC、AC, 因为弦AB、CD被P点平分，所以四边形ABCD是平行四边形 所以 ?DAC,?CBD，?ACB,?BDA( 因为 ABCD为圆内接四边形， 所以 ?DAC，?ACB,180?，?CBD，?BDA,180?， 所以 ?ACB,90?，?DAC,90?( A 所以，对角线AB、CD均为直径， O D 这与已知条件矛盾，即假设不成立( 所以，弦AB、CD不被P平分( P 证明二:假设弦AB、CD被P平分， C 由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径定理的推论， B 有OP?AB，OP?CD， 即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾，即假设不成立( 【练习2】 1(求证:两条相交直线有且只有一个交点( 注:1)结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,是唯一性问题,常用反证法( 2)有且只有的反面包含(1)不存在;(2)至少两个(用反证法去证明唯一性命题，反设的书写要严格规范( 2(求证:一元二次方程至多有两个不相等的实根( 3(阅读:教材例2( 五、小结 1(用反证法证明命题的一般步骤是什么? 2(用反证法证题，矛盾的主要类型有哪些? 六、作业 课本P83 3，4，5 15 金陵中学2012-2013学年高二上数学教案 2(3 数学归纳法 教学目标 探索数学归纳法的发现，理解数学归纳法原理( 重点难点 1(重点:数学归纳法的步骤( 2(难点:数学归纳法的原理( 第一课时 教学过程 一、问题情境 【情境一】 通过归纳推理的方法可以发现正整数平方和公式: (n，1)(2n，1)n2222*1，2，3，…，n,，n?N( 6【问题一】正整数立方和有没有公式, 观察下列等式，并从中归纳出一般结论: 22×213 1,， 4 22×3233 1，2,， 4 223×4333 1，2，3,， 4 334×53333 1，2，3，4,， 4 335×633333 1，2，3，4，5,， 4 … 22×(n，1)n3333*猜想:1，2，3，…，n,( ，n?N4 【问题二】这个猜想正确吗? 可以通过代入验证的方法证明对于一个确定的正整数k，猜想都是正确的( 22×(n，1)n3333【问题三】如何证明这个猜想，即:等式1，2，3，…，n,对于一切正整数均4 成立, 【情境二】 观看多米诺骨牌录像( 【问题四】使所有的骨牌全都倒下的条件是什么, 二、学生活动 【活动一】探索骨牌全都倒下的两个条件( 22×(n，1)n3333【活动二】结合骨牌全都倒下的两个条件探索等式1，2，3，…，n,对于一切4 正整数均成立的证明方法( 16 金陵中学2012-2013学年高二上数学教案 三、建构数学 【问题五】能否用上述的方法证明正整数平方和公式, 许多与正整数有关的命题都可以用该方法进行证明，证明过程分两个步骤完成( 四、数学理论 从具体问题的解决中归纳抽象出数学归纳法公理: 如果 (1)当n取缔一个值n(例如n,1，2等)时结论正确; 00* (2)假设当n,k(k?N，且k?n)时结论正确，证明当n,k，1时结论也正确( 0 那么，命题对于从n开始的所有正整数n都成立( 0 结合正整数立方和公式证明过程理解数学归纳法公理(讨论要点: (1)n是否一定取1, 0 (2)第二步证明过程中的条件和结论分别是什么, (3)两个步骤中是否可以省略其一,为什么, 五、数学运用 *2例1(1)用数学归纳法证明:当n?N时，1，3，5，…，(2n,1),n( 分析下列证明过程中的错误: *2证明:当n?N时，1，3，5，…，(2n,1),n( 证明:?当n,1时，左边,1，右边,1，等式成立( ?假设当n,k时等式成立，即 2 1，3，5，…，(2k,1),k， 那么，当n,k，1时，有 1，3，5，…，(2k,1)，[2(k，1),1] (1，2k，1),(k，1)2 ,,(k，1)， 2 *2因此，对于当n?N时，1，3，5，…，(2n,1),n( *2(2)设n?N，求证:2，4，6，…，2n,n，n，1( 证明:假设当n,k时等式成立，即 2 2，4，6，…，2k,k，k，1， 那么，当n,k，1时，有 2，4，6，…，2k，2(k，1) 2 ,k，k，1，2(k，1) 2 ,(k，1)，(k，1)，1， *因此，对于任何n?N，等式都成立( 六、回顾小结 数学归纳法是一种重要的数学证明方法，它通常用于证明和正整数有关的命题，证明 的过程分两个步骤完成，两个步骤缺一不可( 七、作业 课本P94 1，2 17 金陵中学2012-2013学年高二上数学教案 第二课时 教学过程 【例题选讲】 11111111*例2 求证:1,，,，…，,,，，…，，n?N( 2342n2n2n,1n，1n，2 11证明:(1)当n,1时，等式左边,，右边,，等式成立( 22 (2)假设当n,k时等式成立，即 111111111,，,，…，,,，，…，， 2342k2k2k,1k，1k，2 11111111要证明n,k，1时，1,，,，…，,，,,，…，2342k2k,12(k，1),12(k，1)k，2111111，，(即证明,,，这显然成立( 2k2k，12(k，1)k，12(k，1)2(k，1) 11111111*(1)和(2)可知对任何n?N，1,，,，…，,,，，…，( 由2342n2n2n,1n，1n，2说明:在使用数学归纳法时，从k到k，1，要明确已知什么，要证明什么(即在第二步证明过程中，不要简单地写成“假设n,k时等式成立”，而是要把n,k时的结论明确地写出来，作为证明的条件(同样要明确n,k，1时要证明什么等式成立( ,*nn1例3 设n?N，f(n),5，2×3，1( (1)当n,1，2，3，4时，计算f(n)的值; (2)你对f(n)的值有何猜想,用数学归纳法证明你的猜想( 解:(1)当n,1时，f(1),5，2，1,8,8×1; 2 当n,2时，f(2),5，2×3，1,32,8×1; 32 当n,3时，f(3),5，2×3，1,144,8×18; 43 当n,4时，f(4),5，2×3，1,680,8×85; ,n n1 (2)猜想:当n?N*时，f(n),5，2×3，1能被8整除( ?当n,1时，有f(1),5，2，1,8， 能被8整除，命题成立; ?假设当n,k时，命题成立，即f (k)能被8整除，那么当n,k，1时，有 ，,k1 kk k` f (k，1),5，2×3，1,5×5，6×3，1 ,,k k1k k1 ,(5，2×3，1)，4(5，3) ,k k1 ,f (k)，4(5，3)( ,,,k k1k k1k k1这里5和3均为奇数，它们的和(5，3)必为偶数，从而4(5，3)能被8整除(又依归纳假设，f (k)能被8整除，所以f (k，1)能被8整除(这就是说，当n,k，1时，命题也成立( 根据(1)和(2)，可知命题对任何n?N*都成立( 说明:整除问题的证明中，从k到k，1，要注意分离归纳假设，体会在第二步的证明中条件是当n,k时的结论( 【练习】 ，，4n22n1*1(用数学归纳法证明:3，5能被14整除，n?N( 18 金陵中学2012-2013学年高二上数学教案 ，，，，4n22n14n22n1证明:(1)当n,1时，3，5,729，125,854,14×61，所以3，5能被14整除，结论成立( ，，4k22k14(k(2)假设当n,k时，结论成立，即3，5能被14整除，要证明当n,k，1时，3，，，，，，，，，，，，1)22(k1)14(k1)22(k1)14k62k344k22k142k，5能被14整除(因为3，5,3，5,3(3，5),3×5，，，，，，，，，，12k344k22k12k14244k22k12k144k22k1，5,3(3，5),5(3,5),3(3，5),56×5,3(3，5), ，2k14×14×5，所以当n,k，1时结论也成立( ，，*4n22n1根据(1)和(2)可知对于一切n?N，都有3，5能被14整除( ，，n22n12*2(求证:x，(x，1)能被x，x，1整除(n?N)( 33233证明:(1)当n,1时，即证明x，(x，1)能被x，x，1整除(因为x，(x，1),(2x， 221)(x，x，1)能被x，x，1整除，所以当n,1时结论成立( ，，k22k12(2)假设当n,k时结论成立，即x+(x，1)能被x，x，1整除，要证明当n,k，1 ，，，，，，，，，，(k1)21)12(k1)12(k1)22(kk32k时，x，(x，1)能被x，x，1整除(因为x，(x，1),x，(x，1) ，，，，，，，3k22k12k12k3k22k12k12,x[x，(x，1)],x(x，1)，(x，1),x[x，(x，1)],(x，1)[x,x,2x, ，，，，，，，k22k12k12(k1)22(k1)121],x[x，(x，1)]，(x，1)(x，x，1)，所以x，(x，1)能被x，x，1整除( ，，n22n12根据(1)和(2)可知x+(x，1)能被x，x，1整除( 【小结】 数学归纳法证明等式、数学归纳法证明整除问题( 【作业】 课本P94 3，6，8 第三课时 教学过程 【例题选讲】 例4平面内有n(n?2)个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点，求证:这 2n个圆将平面分成n,n，2个部分( 证明:(1)当n,2时，这两个圆将平面分成4个部分，命题成立( 2(2)假设当n,k时，k个适合题设条件的圆将平面分成k,k，2个部分( 当n,k，1时，第k，1个圆交原来的k个圆于2k个点，这2k个点将第k，1个圆分成2k段弧，每段弧将各自所在的区域一分为二，于是增加了2k个区域，所以这k，1个圆 22将平面分成k,k，2，2k个部分，即(k，1),(k，1)，2个部分( 所以当n,k，1时，命题也成立( 根据(1)和(2)可知命题成立( 说明:用数学归纳法证明几何问题的过程中一定要弄清几何事实(上例中，增加了第k，1个圆，平面增加了2k个部分，从而得到一个递推关系f(k，1),f(k)，2k(根据几何事实建立了递推关系后，利用递推关系再进行证明( 【练习】在平面上画n条直线，且任何两条直线都相交，其中任何三条直线不共点(问:这n条直线将平面分成多少个部分, 19 金陵中学2012-2013学年高二上数学教案 例5用数学归纳法证明: 1112* (1，2，3，…，n)(1，，，…，)?n(n?N)( 23n 9证明:(1)当n,1时，左边,1，右边,1，不等式成立(当n,2时，左边,，右边,4，2不等式成立( 1112(2)假设当n,k(k?2)时不等式成立，即(1，2，3，…，k)(1，，，…，)?k， 23k那么 1111[1，2，3，…，k，(k，1)],(1，，，…，，) 23kk，1 1111,(1，2，3，…，k)(1，，，…，)，(1，2，3，…，k), 23kk，1 111，(1，k)(1，，，…，)，1 23k k(k，1)112?k，,，(1，k)(1，)，1 22k，1 k3k3222,k，(1，k)，1,k，，k，1,(k，1)( 2222 所以当n,k，1时不等式也成立( *根据(1)和(2)可知对于任意的n?N，不等式成立( 说明:有些问题的证明过程中，第一步要验证当n取第一个和第二个值时，结论成立，这是因为在第二步的证明过程中要以此为基础(本题中是为了保证“?”的成立( ，222nnn【练习】设a，b，c?R，且a，b,c，求证:n?3时，a，b,c( 333332证明:(1)当n,3时，要证明a，b,c(由已知得0,a,c，0,b,c，所以a，b,a,a 2223，b,b,c(a，b),c，不等式成立( ，，kkkk1k1k(2)假设当n,k时，不等式成立，即a，b,c，要证明当n,k，1时，a，b,c，，，，1k1k1kkkkk1(因为a，b,a,a，b,b,c(a，b),c，所以当n,k，1时不等式也成立( nnn根据(1)和(2)，当n?3时，a，b,c( 说明:从k到k，1时，证明的方法有时和第一步中是类似的( 【小结】 数学归纳法证明几何问题，不等式( 【作业】 P94 4，5，7 20