第 1期 彭世金：圆锥曲线的又一个统一定值性质 ·19·
圆 锥 曲 线 的 又 一 个 统 一 定 值 性 质
●彭世金 (常德市第六中学 湖南常德 415003)
文献[1]介绍了圆锥曲线的一个统一定值性
质．笔者通过研究，又得到了圆锥曲线的另一个统
一 定值性质．
性质 1 如图 l，已知椭圆
2
，
2
+各=1(0>b>o)，F是椭圆
Ⅱ U
的一个焦点，点 是椭圆在
轴上的一个顶点，P是相应于
焦点，的准线z上任一点，椭圆
M
P
图 1
的 2条切线 ，朋 与椭 圆在 J贝点 E处的切线分别
相交于点 ， 记点 F与顶点 E的距离为 d，则点
，Ⅳ的纵坐标之积为定值 一d ．
证明 不妨设焦点 F(c，0)，顶点 E(0，0)，相
应于焦点F的准线z上任一点Pf a_2，t1， ，PB-9 ’ ，
椭圆相切于点A(x ，Y )，B( ，Y )，则切线 ，船
的方程分别为 + ：1， + ：1．由点 P在
n D 口 D
切线 ，P 上 ，可得
+等 等+
从而切点弦A 的方程为詈+ =1．由
f 寺 ；
l詈+ ：1，
消去 得
((t2b +t2c )Y 一2b c ty—b =0．
由根与系数的关系得
(0一c) 口。b
Ⅱ b +t c ‘
将椭圆在顶点 E处的切线方程 =a与切线 PA，
PB的方程联立，可得点 ，Ⅳ的纵坐标分别为
b (口一戈1) b (0一 2)
)， — 一 ，YN — ■一，
从而 · =
b (口一 1)(口一 2)
口 YlY2 一
b r(0一c) 口 b／ 一6 1
‘【 丽 J
一 (口一C) =一d ．
类似地，双曲线与抛物线亦有如下定值性质．
．，
2
． ，2
性质2 如图2，已知双曲线 一鲁=1(0>0，
b>0)，F是双曲线的一个焦点，点E是双曲线的一
个顶点，P是相应于焦点 F的准线 z上任一点，双
曲线的2条切线 PA，船 与双曲线在顶点 E处的切
线分别相交于点 ，Ⅳ．记焦点F与顶点 E的距离
为d，则点 ，Ⅳ的纵坐标之积为定值 一d ．
性质 3 如图3，已知抛物线Y =2 (P>0)，
F是抛物线的焦点，点 E是抛物线的顶点，P是抛
物线 Z的准线上任一点，抛物线的2条切线 PA，PB
与抛物线在顶点 E处的切线分别相交于点 ，Ⅳ．
记焦点 F与顶点 E的距离为 d，则点 ，Ⅳ的纵坐
标之积为定值 一d ．
2b c t —b。
Yl+Y2 丽 ，Y·Y2 丽 ，
于是 (口一 )(口一 )=
[a-c(1一 · c(·一铷=
为 + (y )+(口一 ) ：
~2t2· + ·瓣2b2c~t
+t2c2 _c) = + 、
J
p?
、 ’
P ＼
O ＼
Ⅳ
图 2 图 3
参 考 文 献
彭世金．圆锥曲线的一个统一定值性质[J]．
数学通讯：教师版，2009(7)：24-25．
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