数学通讯一 2009年第l2期(下半月) ·同步参考·
《圆锥曲线的一个统一定值性质》的简证
胡寅年 陈庆生
(福建省龙岩第一中学，364000)
《数学通讯}2009年第 7期刊登的彭世金老师
《圆锥曲线的一个统一定值性质》，本质上是圆锥曲
线一个统一几何性质的推广，读后很受启发．但性质
1的证明过程篇幅很大，计算也十分繁琐．以下介绍
一 种非常简单明了的证明方法，供读者参考．
一 2 ．．2
性质 1 设 AB是椭圆 十 =1(n>b>0)
a — D
过焦点 F的弦，P是椭圆上异于A、B的任一点，直
线PA、PB分别交相应于焦点F的准线z于M、N
两点，记焦点 F到相应准线z的距离为P，则M、N
两点的纵坐标之积为定值一P ．
证 如图 l，设
z 轴、直线 PF分别
与准线 相交于H、
G，过 A、尸分别作
准线 z的垂线 ，垂足
分别为 D、Q，根据
椭圆第 二定 义，得
I P 一I l一
}尸QI—IAD J一
(e是椭圆的离心
率)，又 PQ／／AD，
y—
l
D
，— n
一 ／ p
，— ～ I／} ～
＼ G
fv
一
I AMI—lADI’
图 I
．
·
． = = 洇 呲 FM ~ZAFPAM AD IAF — I l—l l— I， 儿
的外角平分线；同理 FN 为 BFP的外角平分线，
由于三点 A、F、B在同一直线上，因此 MFN=
90。，即 MF-1．NF，又 FH上 MN，根据 射影定理，
IFHl =JMH1．1Nill，于是 M、N 两点的纵坐标
之积为定值 一P ．
～ 2 2
性质 2 设 AB是双曲线 一 ：1(n>0，b
n — D一
>0)过焦点 F的弦，P是双曲线上异于A、B的任
一 点，直线PA、PB分别交相应于焦点F的准线z于
M、N两点，记焦点 F到相应准线z的距离为 P，则
M、N两点的纵坐标之积为定值一P0．
注 性质 2的证明方法与上面性质 1的证明方
法相同，请读者 自己进行证明．
启示 凡涉及圆锥曲线焦点、准线的圆锥曲线
统一几何性质的探究，当圆锥曲线的定义、平面几何
的知识等运用得比较娴熟时，往往能省时省力．
参考文献：
[1] 胡寅年，陈庆生．巧用平面几何知识证明椭圆
的几何性质．中学数学，2009(4)．
(收稿日期：2009—08—24)
椭 圆 的 长 轴 长 最 长 的 简 洁 证 法
段志强
(云南大理宾川三中，671600)
在讲授椭圆后，经常有学生问这样的问题：椭圆
的最大弦长是否是椭圆的长轴长?问题看起来非常
显然，但如何证明，教材及教参上没有说明，许多资
料上也没有这方面的记录。笔者曾对这个问题作了
些探索也得出过几种证法，其中用向量证明这个问
题尤为简单，下面写出来供参考．
设 FII F2是椭 圆的焦点，o是椭圆的中心，椭
圆的长轴长为 2n，A，B是椭圆上的任意两点，则
f磕 f：l 十 f≤i i十f蔬 f=f f+
l l=了1 l + I+ 1 I B-~,+ l≤
告(I I+l I)+ (I菌I+l赢1)---2
不等式①处取等号的条件是 与 同方向，
不等式②处取等号的条件是 与 同方向且
百 与 同方向同时成立．
这样不难得出I J取得最大值 2 时，AB必
为椭圆的长轴．
(收稿 日期 ：2009—06—18)
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