首页 圆锥曲线中关于定值的十个重要结论.pdf

圆锥曲线中关于定值的十个重要结论.pdf

圆锥曲线中关于定值的十个重要结论.pdf

上传者: in9door 2013-01-09 评分1 评论0 下载203 收藏0 阅读量421 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《圆锥曲线中关于定值的十个重要结论pdf》,可适用于高中教育领域,主题内容包含年第期中学数学研究圆锥曲线中关于定值的十个重要结论广东广雅中学(广州)徐广华定值问题是中学数学研究的重点之一.笔者经过研究后发现圆锥曲线中有不少关于符等。

年第期中学数学研究圆锥曲线中关于定值的十个重要结论广东广雅中学(广州)徐广华定值问题是中学数学研究的重点之一.笔者经过研究后发现圆锥曲线中有不少关于定值的有趣结论下面列出其中重要的十个并给出证明.全文中椭圆:/口y/b=(a>b>)双曲线:a一y/b=(a>b>)抛物线W:Y=px(p>)圆锥曲线包括。、和.F。(一C)、F(c)为、的左、右焦点为中心e为离心率.定理椭圆W。的长轴上异于A、的任意一点为广APFF的内心PI的延长线\、交FIF于Q设PFt图IPFl.PFllOPI=ab为定值.:(。):(。)::。。:(一tan号tan譬)/(tan詈tan譬)jtan(a/)kesk刖):=(ayo)/(x一a)=(一APF。中由中线长公式得IPFIlJPl=IoPlIDI配方得(PFlIIPI)=lOPlcIPFJllJPI且plPFJllPIIOPl=a一c=ab得证说明:通常把图中的APFF、APAB分别叫做椭圆的焦点三角形和顶点三角形.尽管双曲线和椭圆在形状上有很大差异但由于它们都是有心曲线仍然有许多类似的性质因此可以通过类比的途径由椭圆探索得到双曲线中有关定值的某些结论.定理双曲线的实轴的两端点分别为A、BP是双曲线上异于A、B的任一点为APF。F的一个旁心的延长线交F。的延长线于Q设PFlF=/PFFl=FPF:AAPB=则当点P在右支上时tan(a/)cot(//)=(e一)/(e)为定值当点P在左支上时cot(or/)tan(//)=(e一)/(e)为定值cot(/)tango=/e为定值IPl:I加I=/e为定值IPFl.PFlIOPI=b一a为定值.定理的证明可仿照定理的证明方法推出不再赘述.定理PQ是椭圆上两点若直线OPOQ的斜率之积的绝对值为定值b/a则IOPIIOQI=ab为定值反之亦然.证:设p(xY)、Q(xY)则bay=abbxay=ab两式相加得b()a(YY)=ab().由I|i}oJpkool=I(ylY)/(l)f=b/a两边平方得l=ayay=b(a一)b(a一i)最口=(一)(a一)即=a代人(:一c)得YY=b故lOPlIOQI=Y戈Y=.反之类似可证.定理P是双曲线W上任一点过P引切线和两渐近线交于ab两点则=ab为定值tan/AFlB=b/atanFB=(一b)/a为定值.维普资讯http:wwwcqvipcom中学数学研究年第期证:如图设P(。Y。)、(lY)、B(Y)贝bx:一n=nbsin/AOB:(ab)/(ab).AB:(xx)/a一(YoY)/b=与Y=(bx)/。联立解得A((ab)/(bx一ay)F’图(ab)/(bxoayo))B((a)/(bxoay)(一ab)/(。ayo))则IOAI:(ab)/lbx。~ayollOBl=(ab)/lbx。I.故SA=(/)IOAIIOBIsin/AOB=ab.由k=(ab)/bc(bx。一ay。)k眠=(一ab)/abc((k一k。)/(kAFtan/AFB=一b/a.ay)得tan/AFlB=趴)=b/a同理可证定理过定点P(p)作抛物线的任意一条弦AB则lPAllPBI。=P为定值.证:设AB:=px得£sino/一ptcosa一p:贝tt=(pcosc~)/sinatlt=(一p。)/sinOL故IIlPl。=f£=(tlt)tt/(tlt)’P定理P是椭圆W.(或双曲线)上任一点P.P是过中心的任意一条弦则直线PPPP的斜率之积为定值一/a(或/a).证:对l设P(Yo、P(xIY)、P(一l一Y)则bxyn=abbxay=ab两式相减得b(x)a(Y一Y):即(Y一Y)/(o)(YY)/()=一b/a也就是n=一b/a.对类似可证.定理若PQ是椭圆W.(或双曲线)对中心张直角的任意一条弦则IOPIIOQl~=ab之(或a~一b)为定值.证:对l设lOPI=rllOQl=r则P(rlcosOrlsinO)Q(rCOS(。)rsin(。))代入/n。/b=得r=COSO/asinO/br=sinO/aCOSO/b故IOPIIOQI~=rr~=ab一.对类似可证.说明:易知只有当b>a>时双曲线才存在对中心张直角的弦且弦的两端点在同一支上.定理过圆锥曲线}二一定点P(x。Y。)作倾斜角互补的两条弦PAPB则直线AB的斜率为定值且当为、、时定值依次为(bo)/(ay)(一b())/(ay())一p/y.证:对l设P(oY)、A(IY)、B(Y)PAPB的斜率分别为k一k则bxjayj=abay=ab。两式相减得b()a(Y)=即(Y。一Y)/(。一.)(Y。Y)/(o)=一b/a且k(Y(】YI)/(ox)=一b/a且【】ak(YoY)=一b(o)同理a(Y。Y:)=b().此两式相加、相减得a(Y一Y)=b(】x())b(一)=ak(YlYy()).由YlY=(lo)Y一Y=一(lx!)两式木目力Ⅱ、卡目减得l=(y一y)/kx()Y一Y()=一(一)代入前两式得(a/k)(Y一Y】)=b(a)(一。)=aY。.上述两式相除得佃=(Y:一Y.)/(x一。)=(b)/(ay).对类似可证.定理设AB是过圆锥曲线一焦点F且不垂直于轴的一条弦(为时、B在同一支上)AB的垂直平分线交轴于点Ⅳ则lⅣFl:lABI=e/为定值.LV/一}~D图证:对如图设F为右焦点NFB=(为锐角).过、日作右准线f的垂线垂足为ABADJBB。于D为弦AB的中点.I/VFIcosO=IFMI=IIAMIIAFII=IIBFIIAFlI/.ABlcosO=IFDl=IBB】一lAAII=lBFllAFll/e上述两式相除得FJ:lABJ:e/.对类似可证.定理lO若过圆锥曲线一焦点F的两条弦AB和CD互相垂直(W为时弦ABCD的端点均在同一支上)则JAFllBFI和lABIlCDJ均为定值且当为、、时JL’===、/.图lAFIl曰Ff的定值依次为(。)/、(n)/、/pIABI~ICDI的定值依次为(ab)/(ab)、la一bI/(ab)、/(p).y人SO.mp如::J、L维普资讯http:wwwcqvipcom年第期中学数学研究l两曲线位置判定与解题范围的延拓华南师范大学附属中学()罗碎海本刊第期P的“数学疑难之”其本质就是两条二次曲线交点的问题一般的方法是转化为两个二元二次方程求解问题.以下我们对此问题作分析.客观世界通过数量关系、空间形式在人们头脑中的反映形成数学.数学是一门很严谨的学科在数学解题中有时看似很巧妙的方法却往往存在问题不认真分析很难找到原因..一种自然、貌似正确的方法例设椭圆的中心在原点长轴在轴上离心率e=已知点P(季)到椭圆的最远距离是求这个椭圆的方程.解:依题意e=得=所以设所求椭圆方程为杀椭圆上到点P(O/)的距离是/的点应在以(/)为圆心以/为半径的圆(y一吾)=(孑)上.由题设知圆与椭圆内切由r:J、:、得吾一=(y一丢)=(一进而=(\。)=得=所求椭圆方程为xy=.验证如下:联立此椭圆与圆方程fy=i(y一丢):()消元得yy=。'.‘=得y=一这时=()一<o无解.即椭圆与圆无公共点矛盾解答错误.如果将上题的/改为就是年高考题用以上方法可以得出正确答案.很明显以上方法是不可靠的是存在问题的..寻找原因大家知道:直线与二次曲线的位置关系可通过联立方程、消元、用分析A>甘直线与曲线有两个不同的交点A=甘直线与曲线相切A<O甘直线与曲线相离.而两条二次曲线的位置关系相当复杂不能沿用直线与二次曲线位置关系的等价关系.上面解法中“最大值转化为圆”“圆与椭圆相切转化为A=”都是没有依据的..例正确解法由题意设所求椭圆的直角坐标方程是=又有b/a=~/一e:,//=/.设椭圆上的点(Y)到点P的距离为d则d=Y一寻)=rz(一吾)y一y詈=一y一v/=一fY/).其中Y一.”””十“一““卜”卜””“”卜”卜”卜“卜”卜”卜”卜”一十”“卜“卜“卜”卜”卜”卜.卜”””“”卜”’一”卜”卜一一“””卜““卜”卜”卜证:对如图设F为左焦点。的极坐标方程为P=(ep)/(一ecosO)设A(P)B(pr)C(pir/)O(pr/)贝Pl=(ep)/(一ecosO)P=(ep)/(ecosO)故IAFIl曰Fl~=PJp=/(ep)=(a)/bfABJ=PlP=(ep)/(一PCOS)同理JCDI=(ep)/(一esin)故IABIICDl~=(一e)/(ep)=(a十b)/(ab).对类似可证.以上运用类比的思想研究了圆锥曲线中的定值问题充分揭示了圆锥曲线所蕴藏的丰富内涵和有趣属性值得我们重视和深思.维普资讯http:wwwcqvipcom

职业精品

(汽车)产品营销策划书范文.doc

HH牙膏营销方案策划书.doc

加班管理人力资源考勤管理系统方案.doc

物品采购管理制度-正式.doc

用户评论

0/200
    暂无评论
上传我的资料

精彩专题

相关资料换一换

资料评价:

/ 3
所需积分:0 立即下载

意见
反馈

返回
顶部