整式的乘除与因式分解

15.1.1同底数幂的乘法（ 第一课 旧约精览一百步肺炎基本知识第八章运动和力知识点六上学与问第一课时开学第一课收心教育 时） an的意义：an表示 个 相乘，即an= ． 乘方的结果叫 a叫做 ，n是 同底数幂预算法则：am·an ·ap = (m、n、p都是正整数) 三、范例学习： 1.计算： (1) a2·a6； (2)(-x)·(-x)3； (3) 8m·(-8)3·8n； (4)b3·(-b2)·(-b)4． 2.把下列各式化成（x+y）n或（x－y）n的形式． （1）（x+y）4·（x+y）3 (2)（x－y）3·（x－y）·（y－x） (3) －8（x－y）2·（x－y） (4) （x+y）2m·（x+y）m+1 3.判断下列计算是否正确？并说明理由 ⑴ a2·a3= a6( )； ⑵ a2·a3= a5（ ）； ⑶ a2+a3= a5 ( )； ⑷ a·a7= a0+7=a7（ ）； ⑸ a5·a5= 2a10 （ ）； ⑹ 25×32= 67 （ ）。 4．计算： (1) x·x2 + x2·x (2) x2·xn+1 + xn-2·x 4 － xn-1·x4 (3) -(-a)3·(-a)2·a5； (4) (a-b)3·(b-a)2 (5)（x+y）·（x+y）·（x+y）2 + （x+y）2·（x+y）2 5.解答题：（1）已知xm+n·xm-n=x9，求m的值． （2）据不完全统计，每个人每年最少要用去106立方米的水，1立方米的水中约含有3.34×1019个水分子，那么，每个人每年要用去多少个水分子？ 15.1.2 幂的乘方（第二课时） 幂的乘方，底数________，指数_______．用公式表示（am）n=_______（m，n为正整数）． 1.①若(x2)m=x8 ，则m= ②若[(x3)m]2=x12 ，则m= ③若xm·x2m=2，则x9m= ④若a2n=3 ，则(a3n)4= ⑤已知am=2,an=3,求a2m+3n的值。 2． （1）（x5）3=_______，（2）（a2）4=______ （3）（－y4）2=______， （4）（a2n）3=______． 3． （a6）2=______，（－a3）3=_______，（－102）3=_______． 4． [（2a－b）3] 3=_________， [（2x－3y）2] 2=_______．－[（m－n）4] 3=_______． 5． a12=（ ）6=（ ）4=（ ）3=（ ）2． 6． （－a3）5·（－a2）3=_______． 7． 3（a2）3－2（a3）2=_______． 8． 若27a = 32a+3，则a=________． 9． 若a2n=3，则a6n=_______． 10． 若（ ）n= ，则n=_______． 11． 若2n+3=64，则n=_______． 12． 计算：（1）x3·x5·x+（x3）2·x 3+4（x6）2; （2）－2（a3）4+a4·（a4）2． 13．已知：52×25x=625，求x的值． 14．已知A=355，B=444，C=533，试比较A，B，C的大小．（用“<”连接） 15．若2m=5，2n=6，求2m+n，22m+3n的值． 15.1.3 积的乘方（第三课时） 积的乘方法则：（abc）n = （n是正整数）． 1.用简便方法计算下列各题． （1） (－ ）2008·（ ）2008 ⑵（－8）2011 ×（－0.125）2010 2．填空：（1）（－2）2·（－2）3= ； （2）（－a5）5= ；（3）（－2xy）4= ； （4）（3a2）n= ； （5）（x4）6－（x3）8= ；（6）；－p·（－p）4= （7）（tm）2·t= ． 3．下面各式中错误的是（ ）． A．（24）3=212 B．（－3a）3=－27a3 C．（3xy2）4=81x4y8 D．（3x）2=6x2 4.如果（ambn）3=a9b12，那么m，n的值等于（ ） A．m=9，n=4 B．m=3，n=4 C．m=4，n=3 D．m=9，n=6 5．42×8n= 6. 若x3=－8a6b9，则x=_______． 7．已知xn=5，yn=3，求（xy）3n的值． 8.已知：am=2，bn=3，求a2m+b3n的值． 9.计算：（－0.125）12×（－1 ）7×（－8）13×（－ ）9． 15.1.4 单项式乘以单项式（第四课时） 导入：如图，把6个长为a，宽为b的长方形拼在一起，那么大长方形 的面积是多少呢？你能用两种方法表示吗？ ① ； ② 三、范例学习 1.计算：(1) (-5a2b)·(-3a); (2) (2x)3·(-5xy2). （3） （4） （5） （6） 2．如果单项式-3x4a-by2与x3ya+b是同类项，那么这两个单项式的积是（ ） A．3x6y4 B．-3x3y2 C ．3x3y2 D． -3x6y4 3．已知am=2，an=3，则am+n=_________；a2m+3n=_________． 4．下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？ （1）4a2 •2a4 = 8a8 （2）6a3 •5a2=11a5 （3）(-7a)•(-3a3) = -21a4 （4）3a2b •4a3=12a5 5．计算：(1) -5a3b2c ·3a2b； (2) （－2xy2）（3x2y）； (3) （－ m2n3t）（－25mnt2）； (4) x3y2·(-xy3)2； (5) (-9ab2) ·(-ab2)2； (6) (2ab)3·(-a2c)2； 6．①已知 ，求m、n的值。②若x3n=2,求2x2n ·x4n+x4n ·x5n的值。 15.1.5 单项式与多项式相乘（第五课时） 导入：请同学们观察如图所示的大长方形，试用代数式表示大长方形的面积？ 1.先化简再求值． ⑴ x2（x2－x－1）－x（x2－3x），其中x=－2． ⑵（2xy）2（x2－y2）－（－3xy）3+9x2y4－9x4y2，其中x=－1，y=1． 2．要使 的结果中不含 项，则 等于 3．下列各式计算中，正确的是（ ）． A．（2x2－3xy－1）（－ x2）=x4－ x3y+ x2 B．（－x）（x－x2+1）=－x2+x3+1 C．（ xn－1－ xy）·2xy= xny－x2y2 D．（5xy）2·（－x2－1）=－5x2y2－5x2y2 4．计算：⑴（3xy2－5x2y）·（－ xy）； ⑵ an·（am－a2－1）； ⑶ 5x2（2x2－3x3+8） 5.拓展：一家住房的结构如图所示，这家房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格是a元/米，那么购买所需地砖至少要多少元？ 15.1.6 多项式与多项式相乘（第六课时）． 导入：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a米，宽m米的长方形绿地增长b米，加宽n米，你能用几种方法表示扩大后的绿地面积吗？不同表示方法之间有什么关系？ 1.先化简，再求值： （1）（a－3b）2+（3a+b）2－（a+5b）2+（a－5b）2，其中a=－8，b=－6． （2）（x－2y）（x+3y）－2（x－y）（x－4y），其中x=－1，y=2． 2．判断题： (1) (a+b)(c+d)= ac +bd；( ) (2) (a+b)(c+d)= ac+ad+bc+bd； ( ) (3) (a-b)(c-d)= ac- bd；( ) (4) (a- b)(c-d)= ac+ ad+bc- ad．( ) 3．计算： （1） （2） （3） （4） (5) 2x-1)(4x2+2x+1) 5.2.1 平方差公式（第七课时） 学习目标：经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用平方差公式进行简单计算． 学习重点：平方差公式的推导和运用 学习过程 一、 知识回顾： 计算：⑴ （x－3）（x+7） ⑵ （2a+5b）（3a－2b） ⑶ (m－n)(m2+mn+n2) 二、探索新知： 计算：（1）（x+2）（x－2）； （2）（1+3a）（1－3a）； （3）（x+5y）（x－5y）； （4）（y+3z）（y－3z）． 观察以上算式及运算结果，请你猜测： = ，并证明。 用语言叙述规律： 。 体现的数学思想是从特殊到一般的归纳证明。【特殊→归纳→猜想→验证→用数学符号表示】 三、范例学习 平方差公式的运用，关键是正确寻找公式中的a和b，只有正确找到a和b，一切就变得容易了． 例1 运用平方差公式计算： （1）（2x+3）（2x－3）； （2）（b+3a）（3a－b）； （3）（－m+n）（－m－n）． 练习 1.下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？ （1）（x+2）(x-2)= x2-4 ( ) （2）（3x+2）(3x-2)=3x2-4 ( ) （3）（-2x-3）(2x+3)=4x2-9 ( ) 2.计算：⑴（a+5）(a-5) ⑵（4x+2y）(4x-2y) ⑶（-3x+2）(3x+2) ⑷（x2+2）(x2-2) 例2 计算： （1）103×97 （2）（a－b）（a+b）（a2+b2）； （3）（3x－y）（3y－x）－（x－y）（x+y） 练习3.计算：⑴ 201×199 ⑵ ⑶（-a-1）（1-a）-（a+3）（a-3）； 自主检测 知识要点：1．平方差公式：两个数的 与这两个数 的积，等于它们的 ． 即：（a+b）（a-b）= ．公式结构为：（□+△）（□-△）= 2．公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等代数式．只要符号公式的结构特征，就可以用这个公式（要注意公式的逆用）． 1.填空：⑴（x－y）（x+y）= ； ⑵ （3x－2y）（3x+2y）= ． ⑶（ ）（_3a +2b）=9a2－4b2； ⑷（3x-y）·（___ ____）=9x2-y2。 2.计算（1-m）（-m-1），结果正确的是（ ） A．m2-2m-1 B．m2-1 C．1-m2 D．m2-2m+1 3.计算（2a+5）（2a-5）的值是（ ） A．4a2-25 B．4a2-5 C．2a2-25 D．2a2-5 4.下列计算正确的是（ ） A．（x+5）（x-5）=x2-10 B．（x+6）（x-5）=x2-30 C．（3x+2）（3x-2）=3x2-4 D．（-5xy-2）（-5xy+2）=25x2y2-4 5.下列能用平方差公式计算是（ ） A．（a+b）（-a-b） B．（a-b）（b-a） C．（b+a）（a+b） D．（-a+b）（a+b） 6.利用平方差计算． ⑴ （3a+b）（3a-b） ⑵ （— a-b）（ a-b） ⑶ （a-b）（a2+b2）（a4+b4）（a+b） ⑷ （3x－4y）（4y+3x）+（y+3x）（3x－y） 7.利用平方差公式计算 ⑴ 1003×997 ⑵ 14 ×15 ⑶ 15.2.2.1 完全平方公式（第八课时） 学习目标：会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算，掌握完全平方公式的计算方法．形成推理能力． 学习重点：完全平方公式的推导和应用． 学习过程 一、知识回顾：请同学们应用已有的知识完成下面的几道题： 计算：（1）（2x－3）（2x－3） （2）（a+1）2 （3）（x+2）2 （4）(a - 1) 2 (5)（m - 2）2 (6)（2x－4）2 二、探究新知： 【活动1】: 观察思考：通过计算以上各式，认真观察，你一定能发现其中的规律？ ⑴ 要计算的式子都是 形式，结果都是 项， ⑵ 原式第一项和结果第一项有什么关系？ ⑶ 原式第二项与结果最后一项是什么关系？ ⑷结果中间一项与原式两项的关系是什么？ 猜测：（a+b）2 = （a－b）2 = 验证：请同学们利用多项式乘法以及幂的意义进行计算． ⑴（a+b）2 ⑵ （a－b）2 归纳：完全平方公式：（a+b）2= （a－b）2= 语言叙述： 【活动2】：其实我们还可以从几何的角度去解析完全平方公式，你能通过课本P154思考中的拼图游戏说明完全平方公式吗？ 三、范例学习： 例1 运用完全平方公式计算： （1）（4m+n）2 (2) (y​－ ）2 （3）（－x－y）2； （4）（b－a）2 练习 1 课本P155练习1、2 例2 运用完全平方公式计算： (1) 1022 （2）992 练习2 计算：⑴ 2012 ⑵ 972 思考： 与 相等吗？ 与 相等吗？ 注意：① 如果两个数是相同的符号，则结果中的每一项 的；②如果两个数具有不同的符号，则它们乘积的2倍这一项就是 ． 自主检测 1．填空：⑴（x－ ）2=x2+_______+ ． ⑵ （0.2x+_______）2=______+0.4x+________． ⑶（ x－2y）2= x2+（______）+4y2 ⑷ （___ _）2=a2－6ab+9b2 ⑸ x2+4x+4=（_____ ___）2 ⑹（x－y）（x+y）（x2－y2）=______ ___． 2．用完全平方公式计算： （1）（2x+3）2； （2）（2x－3）2； （3）（3－2x）2； （4）（－2x－3）2； （5）（ － ）2； （6）（2xy+3）2； （7）（－ab+ ）2； （8）（7ab+2）2． 15.2.2.2 乘法公式综合应用（第九课时） 学习目标:是完全平方公式的正确应用，结合平方差公式的运用． 学习过程： 一、回顾交流; 用乘法公式计算： ⑴ ； ⑵ ； ⑶ ； ⑷ 二、自主学习：【添括号法则】 问题1：请同学们完成下列运算并回忆去括号法则。 a+(b+c)= a-(b-c) = a-(b+c) = 问题2：将上列三个式子反过来写，即左边没括号，右边有括号，也就是添了括号，同学们可不可以依照去括号法则 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 添括号法则吗？ 添括号法则： 即学即练： 1．在等号右边的括号内填上适当的项： （1）a+b-c=a+( ) (2)a-b+c=a-( ) (3) a-b-c=a-( ) (4)a+b-c=a-( ) 2．判断下列运算是否正确。 （1）2a-b- EQ \F(c,2)=2a-(b- EQ \F(c,2)) ( ) (2)m-3n+2a-b=m+(3n+2a-b) ( ) (3) 2x-3y+2=-（2x+3y-2）( ) （4）a-2b-4c+5=(a-2b)-(4c+5) ( ) 三、公式应用学习 拓展知识 例1 计算：⑴ （2a+3b+4）（2a-3b-4） ⑵（2a+3b-4）（2a-3b+4） ⑶ （a+b+c）2 总结：⑴、⑵ 题关键在于正确的分组，一般规律是：把 的项分为一组，只有符号互为 的项分为另一组． 练习1 课本P156练习1、2 例2 若a= ，b=3时，求代数式（2a+b）2－（2a+b）（2a－b）的值． 总结：对于代数式求值问题，如果直接把a、b的值代入所给代数式，计算太麻烦，一般做法是，先将所给代数式化简成最简单的形式，然后再代入求值． 例3 ⑴已知a+b=8，ab=－9，求a2+b2的值．⑵ 已知：x+y=－2，xy=3，求（x－y）2 练习2 已知a－b=－6，ab=8，求（1）a2+b2；（2）（a+b）2 的值 总结：该题根据完全平方和公式进行恒等变形而得到的，这里用到整体代换的数学思想。 其中常见的变形有：① a2+b2=(a+b)2- ；②a2+b2=(a-b)2+ ；③ (a-b)2 =(a+b)2- ； ④ (a+b)2+(a-b)2= 等 自主检测 1．计算（a－1）（a+1）（a2+1）的正确结果是（ ）． A．a4+1 B．a4－1 C．a4+2a2+1 D．a2－1 2．在下列各式的计算中正确的个数有（ ）个． （1）（－x－y）2=x2+y2 （2）（ x+1）2= x2+ x+1 （3）（x－2y）2（x+2y）2=x4－16y4 （4）（m+n）（m－n）（m2－n2）=m8－2m4n4+n8 A．0 B．2 C．3 D．4 3．多项式M的计算结果是M=x2y2－2xy+1，则M等于（ ）． A．（xy－1）2 B．（xy+1）2 C．（x+y）2 D．（x－y）2 4．下列各式计算中，错误的是（ ）． A．（x+1）（x+4）=x2+5x+4 B．（x2－ ）（x2+ ）=x4－ C．1－2（xy－1）=－2x2y2+4xy－1 D．（1+4x）（1－4x）=1－32x+16x2 5．计算： ①（ x－ y）2－（ x+ y）2 ②（m－n－3）2 6．先化简，再求值．（m－ n）（m+ n）－3（m+ n）2其中m=－1，n=4． 7．已知a+b=5，ab=3，求a2+b2 的值． 8．已知（a+b）2=5，（a-b）2=3，求a2+b2 的值． 15.3.1 同底数幂的除法（第十课时） 学习目标：了解并会推导同底数幂的除法的运算性质，并会用其解决实际问题． 学习重点：准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算． 学习过程 一、情境导入 问题1：叙述同底数幂的乘法运算法则： ． 问题2：一种数码照片的文件大小是28K，一个存储量为26M（1M=210K）的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？你是如何计算的？（学生独立思考完成） 问题3：216、28是同底数幂，同底数幂相除如何计算呢？——同底数幂的除法 二、探索新知： 1 计算 （1）28×28 （2）52×53 （3）102×105 （4）a3·a3 2填空： （1）（ ）·28=216 （2）（ ）·53=55 （3）（ ）·105=107 （4）（ ）·a3=a6 问题1：除法与乘法两种运算互逆，要求空内所填数，其实是一种除法运算，所以这四个小题等价于： （1）216÷28=（ ） （2）55÷53=（ ） （3）107÷105=（ ） （4）a6÷a3=（ ） 问题2：从上述运算能否发现商与除数、被除数有什么关系？ 问题3：对于除法运算，有没有什么特殊要求呢？ 归纳法则：一般地，我们有am÷an= （a≠0，m，n都是正整数，m>n）． 语言叙述：同底数的幂相除， 三、范例学习： 例1：计算： （1）x9÷x3； （2）m7÷m； （3）（xy）7÷（xy）2； （4）（m－n）6÷（m－n）4． 练习1 课本P160练习1、2、3 例2：根据除法的意义填空，再利用am÷an=am-n的方法计算，你能得出什么结论？ （1）72÷72=（ ）； （2）103÷103=（ ） （3）1005÷1005=（ ） （4）an÷an=（ ）（a≠0） 归纳总结：规定a0= （a≠0） 语言叙述：任何不等于 的数的0次幂都等于 ． 练习2 ⑴ 已知（a-2）0=1，那么a的取值范围是 。 ⑵ 计算 （ ）0÷（- ）3-42 自主检测 知识要点： 1．同底数幂相除的运算性质：同底数幂相除， 不变， 相减． 即：am÷an= （a≠0，m，n都是正整数，且m>n） 2．零指数幂的意义：a0= （a≠0）．即任何 0的数的0次幂都等于 ． 一、选择题: 1．下列各式计算的结果正确的是（ ） A．a4÷（-a）2=-a2 B．a3÷a3=0 C．（-a）4÷（-a）2=a2 D．a3÷a4=a 2．下列各式的计算中一定正确的是（ ） A．（2x-3）0=1 B． 0=0 C．（a2-1）0=1 D．（m2+1）0=1 3．若a6m÷ax=22m，则x的值是（ ） A．4m B．3m C．3 D．2m 4．若（x-5）0=1成立，则x的取值范围是（ ） A．x≥5 B．x≤5 C．x≠5 D．x=5 二、填空题: 5．________÷m2=m3； （-4）4÷（-4）2=________； a3·_______·am+1=a2m+4； 6．若（-5）3m+9=1，则m的值是__________． （x－1）0=1成立的条件是____ ____． 7．计算（a-b）4÷（b-a）2=_____ ___． 8．计算a7÷a5·a2=____ ____． 2725÷97×812=__ ______． 三、解答题： 9．计算： A组：①a5÷a2 ②-x4÷（-x）2 ③（mn）4÷（mn）2 ④（－5x）4÷（－5x）2 B组：①（-y2）3÷y6 ②（ab）3÷（-ab）2 ③am+n÷am-n ④（x－y）7÷（x－y）2·（x－y）2 ⑤（b-a）4÷（a-b）3×（a-b） ⑥（a3b3）2÷（－ab） ⑦a4÷a2+a·a－3a2a 10．计算：（-2006）0÷（- ）3-42 四、探究题 11．已知3m=5，3n=2，求32m-3n+1的值． 15.3.2 单项式除以单项式（第十一课时） 学习目标：会进行单项式除以单项式运算，理解整式除法运算的算理． 学习重点：单项式除以单项式的运算法则． 学习过程： 一、情境导入： 前面我们学习了同底数幂的除法，请同学们回答如下问题，看哪位同学回答很快而且准确． （l）叙述同底数幂的除法： ． （2）计算：（1） （2） （3） （4） (3) 填空：( )·a3=a5； ( )·b2=b3； ( )·2a3b2=6a5b3 二、探索新知： 计算：⑴ 2a·4a2 ⑵ 3xy·2x2 ⑶ 4a2x3·3ab2 问题：由乘法与除法互逆的关系，根据以上的计算填空并归纳： ⑴ ① 8a3÷2a = ；② 6x3y÷3xy= ；③ 12a3b2x3÷3ab2= ； ⑵ 你能具体分析⑴中计算过程吗？ ⑶ 你可以归纳出单项式除以单项式的法则吗? 归纳总结：一般地，单项式相除，把 、 分别相除，作为商的因式，对于只在 ，则 作为商的一个因式． 三、范例学习： 例1计算：(1) 28x4y2÷7x3y； (2) -5a5b3c÷15a4b3； (3) (6x2y3)÷(3xy2)2  练习1 课本P162练习1、2 练习2 计算： (1) 6x2y÷3xy (2) (4×109)÷(-2×103) (3) 9x3y2÷(-9x3y2) (4) (-0.5a2bx2)÷(- ax2) (5) (- a2b2c)÷(3a2b) (6) (4x2y3)2÷(-2xy2)2； 例2 计算： (1) (—38x4y5z)÷19xy5·(— x3y2)； (2) (2ax)2·(— a4x3y3)÷(— a5xy2) 自主检测 1．填空：⑴ 200xy÷（－8y）=______； ⑵ 6x4y ÷（_____）=－3xy； ⑶（______）÷（－5ab3）=3ac； ⑷．（－3ax）3÷（_____）=－3ax 2．－x6y4z2÷2x2y2z的结果是（ ）． A．－2x3y2z2 B．－ x3y2z2 C．－ x4y2z D．－2x4y2 3.计算： (1) -12a5b3c÷(-3a2b)； (2) 42x6y8÷(-3x2y3) ； (3) 24x2y5÷(-6x2y3) (4) -25t8k÷(-5t5k)； (5) -5r2c ÷5r4c； (6) 2x2y3z ÷4x4y5z2 4.计算： (1) -45u5υ4÷5u4υ4 (2) 7m2·4m3p÷7m5 (3) -12(s4t3)3÷( s2t3)2 (4) (-5r2s3t3)2÷(-rs2t2)2 5.已知10m=5，10n=4，求102m-3n的值． 15.3.3 多项式除以单项式（第十二课时） 学习目标：能够进行多项式除以单项式的运算，理解除法运算的算理，发展思维能力和表达能力． 学习重点：多项式除以单项式的运算法则的推导，以及法则的正确使用． 学习过程： 一、情境引入： （l）用式子表示乘法分配律． （2）单项式除以单项式法则是什么？ （3）计算： ① ② 二、探索新知: 活动1：填空： ⑴ ∵（a+b+c）m= ∴(am+bm+cm)÷m= ⑵ ∵am÷m +bm÷m +cm÷m = ∴(am+bm+cm) ÷m = 活动2：计算: ⑴（ad+bd）÷d ⑵（6xy+8y）÷2y 讨论交流后试做：（1）（x3y2+4xy）÷x （2）（xy3－2xy）÷xy 归纳：多项式除以单项式，先把这个多项式的 除以这个 ，再把所得的商相加． 三、范例学习： 例1 计算： （1）（28a3-14a2+7a）÷7a （2）（36x4y3-24x3y2+3x2y2）÷(-6x2y) 练习1 课本P163 练习1 2．下列计算是否正确？如不正确，应怎样改正？ （1）－4ab2÷2ab=2b （2）（14a3－2a2+a）÷a=14a2－2a． 例2 化简求值： ，其中 练习3 化简求值．[4（x2+y）（x2－y）－（2x2－y）2]÷y，其中x= ，y=3． 自主检测 1．计算： （1）（18x4－4x2－2x）÷2x （2）（28x4y3－14x3y2－7x2y2）÷（－7x2y2） ⑶（14a2b2－21ab2）÷7ab2 ⑷（－ a2b2）（ a2+ab－ b2）÷（ a2b2）． （5） [（a+b）5－2（a+b）4－（a+b）3]÷[2（a+b）3]． 2．化简求值： ⑴（a3－3a2b）÷3a2－（3ab2－b2）÷b2．其中a=3，b= ； ⑵ [（m－n）2－n（2m+n）－8m]÷2m，其中m= ，n=3． 15.4 因式分解（第十三课时） 学习目标：理解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系． 学习重点：了解因式分解的意义，感受其作用。 学习过程： Ⅰ．提出问题，创设情境 问题1:请同学们完成下列计算，看谁算得又准又快． （1） 20×（-3）2+60×（-3） （2）1012-992 （3）572+2×57×43+432 问题2：当a=102，b=98时，求a2－b2的值． 在上述运算中，大家或将数字分解成两个数的乘积，或者逆用乘法公式使运算变得简单易行，类似地，在式的变形中，有时也需要将一个多项式写成几个整式的乘积形式，这就是我们从今天开始要探究的内容──因式分解． Ⅱ．导入新课 1．分析讨论，探究新知． 问题3：请同学们根据整式乘法和逆向思维原理，把下列多项式写成整式的乘积的形式 （1）x2+x= ； （2）x2-1= ； （3）am+bm+cm= ； （4）x2－2xy+y2= ． 总结概念：把一个 化成几个整式的 的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式． 辩一辩：下列变形是否是因式分解？为什么？ （1） 7x－7=7（x－1）． (2) 3a2b-ab+b=b(3a2-a) (3) x2-2x+3=(x-1) 2+2 （4）2m（n+c）-3（n+c）=（n+c）(2m-3) (5) x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1) （6）（x+1）（x－1）=x2－1 （7） x2-4=（x+2）(x-2) （8) x+x2y=x2（ +y） 因式分解与整式的乘法是 的变形 15.4.1 提公因式法 学习目标：通过你对本节课的学习，相信你一定能理解公因式概念，能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式。 学习重点：掌握用提公因式法把多项式分解因式。 学习过程： 一、情境引入： 问题：对于多项式： 各项有何特点？你能把它分解因式吗？ 归纳： 1.公因式：如多项式： 的各项都有一个 ，我们把这个 叫做这个多项式的 。 2.提公因式法：如果一个多项式的各项含有 ，那么就可以把这个公因式 ，从而将多项式化成两个因式 形式，这种分解因式的方法叫做提 ． 二、探索新知： 探究：请同学们指出下列各多项式中各项的公因式： ax+ay+a 3mx-6mx2 4a2+10ah 4x2－8x6 x2y + xy2 12xyz-9x2y2 16a3b2－4a3b2－8ab4 通过以上学习探究活动，你能总结一下最大公因式的方法： 归纳： ①一看系数：公因式的系数取各项系数的 ； ②二看字母：公因式字母取各项 的字母， ③三看指数：公因式字母的指数取相同字母的最 次幂． 三、范例学习： 例1 将下列多项式分解因式 ⑴ 8a3b2+12ab2c ⑵ 2a（b+c）-3（b+c） ⑶ 3x3-6xy+3x ⑷ -4a3+16a2-18a 例2．用简便的方法计算：0.84×12+12×0.6－0.44×12． 练习1 课本P167 练习1、2、3、 2．简便计算： 123× +264× -387× 注意： 1．利用提公因式法因式分解，关键是找准 ．在找最大公因式时应注意： 2．因式分解应注意分解彻底，也就是说，分解到不能再分解为止． 15.4.2运用平方差公式分解因式（第十四课时） 学习目标:理解平方差公式的意义，弄清平方差公式的形式和特点；掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式（直接用公式不超过两次） 学习重点：利用平方差公式分解因式． 学习过程： 一、情景引入： 1．同学们，你能很快知道992-1是100的倍数吗？你是怎么想出来的？请与大家交流。 2．你能将a2－b2 分解因式吗？ 你是如何思考的？ 二、探索新知： 问题：请同学们对比以上两题，你发现什么呢？ 归纳总结：对于形如两数平方差形式的多项式可以用平方差公式进行因式分解的公式： 平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b） 语言叙述： 【练一练】 ⑴ 4a2=（ ）2 ⑵ EQ \F(4,9),9) b2=（ ）2 ⑶0.16a4=（ ）2 ⑷ a2 b2=（ ）2 三、范例学习： 例1 把下列各式分解因式： （1）36–25x2 (2) 16a2–9b2 （3）（a+b）2-c2 （4）（x+2y）2－（x－3y）2； 特殊说明：平方差公式中的字母a、b，可以表示数、含字母的代数式（单项式、多项式）． 例2 把下列各式分解因式： （1）x4–y4 (2)2a3–8a (3) a3b3–ab （4）m2（16x－y）+n2（y－16x）． 注意：⑴ 分解因式时，如果多项式有公因式，应先 ，再进一步分解； ⑵ 分解因式时，必须分解到每一个因式都 分解为止。 练习1 课本P167 练习1、2、3 例3：将下列各式分解因式 ⑴ x2－y2+x－y ⑵ x2+2x－y2－2y ⑶ a2－4b2+3a+6b 自主检测 1．填空：⑴ 81x2 - =(9x+y)(9x-y)； ⑵ 利用因式分解计算： = = 。 2. 已知x+y=7，x－y=5，则x2－y2= 。 3．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A B C D 4. 把下列各式分解因式 A组：①1—16 a2 ②—m2+9 ③ 4x2—25y2 ④ 64x2－y2z2 B组：①（a+bx）2－1 ③（a+2b）2－4（a+b）2 ④ 49(a-b)2 —16(a+b)2 5.将下列各式分解因式： （1）16x4－y4； (2) 12a2x2－27b2y2； （3）（x+2y）2－4； (4) 9(a+b)2–4(a–b)2 (5) 4x2－9y2+4x－6y 15.4.3 运用完全平方公式分解因式（第十五课时） 学习目标：理解完全平方公式的意义，弄清完全平方公式的形式和特点；掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式（直接用公式不超过两次） 学习重点：运用完全平方公式分解因式 学习过程： 一、知识回顾： 1．分解因式：（1）x2-4y2； （2）3x2-3y2； （3）x4-1； （4）（x+3y）2－（x－3y）2； 2．根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“a2+2ab+b2、 a2－2ab+b2”的式子分解因式吗？ 二、探索新知： 归纳公式：完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2 语言叙述： 问题：能够用完全平方公式分解因式的多项式具有说明特点？ 【练一练】判断下列各式是不是完全平方式？ （1）a2-4a+4 （2）x2+2x+4y2 （3）x2+2x+EQ \F(1,4) （4）a2-ab+b2 （5）x2-6x-9 三、范例学习： 例1 把下列各式分解因式： (1) a2+6a+9 (2) x2+8x+16 (3) 16x2+24x+9 (4) –x2+4xy-4y2 例2 把下列各式分解因式： (1) 4x2+16x+16 (2) 3ax2+6axy+3ay2 (3) (a+b)2+10(a+b)+25 练习1 课本P170 练习1、2. 练习2 分解因式 （1）x2-4xy+4y2 （2）4a2-12ab+9b2 （3）a2b2+2ab+1 （4）9x2-30x+25 （5）0.25+a+a2 (6) (a-b)2-12(a-b)+36 例3 把下列各式分解因式： (1) a2+2ab+b2－4 (2) 1－a2+2ab－b2 (3) a2－ b2－4b－4 小结：在运用公式因式分解时，要注意： （1）每个公式的形式与特点，通过对多项式的项数、次数等的总体分析来确定，是否可以用公式分解以及用哪个公式分解，通常是，当多项式是二项式时，考虑用 分解；当多项式是三项时，应考虑用 分解； （2）在有些情况下，多项式不一定能直接用公式，需要进行适当的组合、变形、代换后，再使用公式法分解； （3）当多项式各项有公因式时，应该首先考虑 ，然后再运用公式分解． 自主检测 1.填空：(1) x2y2-4xy+4= ； (2) 25a2+10a+1= ； (3) 9x2-30xy+ =(3x — )2 (4) x2 +25 =( )2 2．⑴ 若x2+a xy+16y2是完全平方式，则a= ； ⑵ 是完全平方式，则m= ； ⑶ = = 3．把下列各式分解因式： (1) a2+12a+36 ； （2）2a2－12a+18 （3）a4－16a2+16 （4）8a－4a2－4； （5）－4a2b+12ab2－9b3； （6）（x+y）2－14（x+y）+49。 15.4.4 十字相乘法（第十六课时） 学习目标：掌握运用十字相乘法分解因式的方法，能正确运用十字相乘法把多项式分解因式 学习重点：运用十字相乘法分解因式 学习过程： 一、知识回顾： 1．分解因式：（1）3xy2-9y2； （2）4x2-16y2； （3）x2+16x+64 (4) x2+4x+3 问题：第(4)小题能不能用提供因式、公式法分解？它如何分解因式呢？ 二、探索新知： 练一练： 分解因式：（1）x2+3x+2； （2）x2-7x+10； （3）x2-x-6 (4) x2+5x-6 三、范例学习： 例1 把下列各式分解因式： (1) a2+6a+8 (2) x2-8x+12 (3) x2+13x+12 (4) x2+6xy+5y2 练习1 分解因式： (1) x2-5x+6 (2) x2-8x-20 (3) x2+6x-16 (4) x2-4xy-5y2 例2 把下列各式分解因式： (1) 2x2+7x+3 (2) 3x2-11x+6 (3) (a+b)2+10(a+b)+9 归纳：对于形如： EMBED Equation.DSMT4 的多项式，如果二次项能分解成 练习2分解因式： (1) x2+7x+6 (2) 2x2-9x+9 (3) 3x2-5x+2 (4) 2x2+7x+5 (5) 4x2-15x+7 (6) 6x2-12x-18 (7) (a+2b)2+3(a+2b)+2 (8) (a-b)2-5(a-b)+6 （9）2a2－12a+10 （10）a4－3a2－4 思考题：⑴已知： ，求 的值？ ⑵已知： ，求 的值？ 1 （2010辽宁丹东市）某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠．书包每个定价20元，水性笔每支定价5元．小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）． （1）分别写出两种优惠方法购买费用y（元）与所买水性笔支数x（支）之间的函数关系式； （2）对 的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜； （3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济． ２（湖北荆州）一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份0.7元，销售价是每份１元，卖不掉的报纸还可以0.20元的价格退回报社．在一个月内（以30天计算），有20天每天可卖出100份，其余10天每天只能卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同．若以报亭每天从报社订购的份数为自变量 ，每月所获得的利润为函数 ． （１）写出 与 之间的函数关系式，并指出自变量 的取值范围； （２）报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？ 3.已知Ａ城有化肥200吨，Ｂ城有化肥300吨，现要把化肥运往Ｃ，Ｄ两农村，如果从Ａ城运往Ｃ，Ｄ两地运费分别是20元／吨与25元／吨，从Ｂ城运往Ｃ，Ｄ两地运费分别是15元／吨与22元／吨，现已知Ｃ地需要220吨，Ｄ地需要280吨，如果个体户承包了这项运输任务，请你帮他算一算，怎样调运花钱最小? 4．(河北)某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A，B两种产品，共50件．已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元． (1)要求安排A，B两种产品的生产件数，有哪几种方案?请你设计出来； (2)生产A，B两种产品获总利润是 (元)，其中一种的生产件数是 ，试写出 与 之间的函数关系式，并利用函数的性质说明(1)中的哪种生产方案获总利润最大?最大利润是多少? 5．下表所示为装运甲、乙、丙三种蔬菜的重量及利润．某汽车运输公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售(每辆汽车按规定满载，并且每辆汽车只装一种蔬菜) 甲