2012届高考数学（理）三轮复习专题练习--空间向量与立体几何专练

2012届高考数学（理）三轮复习专题练习 空间向量与立体几何 1．如图，棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，，，侧棱，棱AA1与底面所成的角为，点F为DC1的中点. (I)证明：OF//平面； (II)求三棱锥的体积. 2．如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是菱形， ， ， 是 上任意一点． (1) 求证： ； (2) 当 面积的最小值是9时，证明 平面 ． 3．如图，在四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形， PD⊥平面ABCD，E、F分别是PB、AD的中点，PD=2． （1）求证：BC⊥PC； （2）求证：EF//平面PDC； （3）求三棱锥B—AEF的体积。 4．如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。 （Ⅰ）求该几何体的体积； （Ⅱ）求证：EM∥平面ABC； 5．如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上， ， 交 AC 于点 M， 平面 ， ，AC＝4，EA＝3，FC＝1． （I）证明：EM⊥BF； （II）求平面 BEF 与平面ABC 所成的二面角的余弦值． 6．如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面，，，． ⑴求证：； (2)设点在棱上，，若∥平面，求的值. , 为 的中点. （Ⅰ）求证： EMBED Equation.DSMT4 平面 ； （Ⅱ）求点 到面 的距离． 9．在三棱锥P－ABC中，△PAC和△PBC都是边长为eq \r(2)的等边三角形，AB＝2，O，D分别是AB，PB的中点． (1)求证：OD∥平面PAC； (2)求证：PO⊥平面ABC； (3)求三棱锥P－ABC的体积． 11如图所示,三棱柱中,,平面平面, 又,与相交于点. (Ⅰ)求证:平面; (Ⅱ)求与平面所成角的正弦值; 12.如图所示，直角梯形 与等腰直角 所在平面互相垂直， 为 的中 点， ， ∥ ， .[ （Ⅰ）求证：平面 平面 ;来源 （Ⅱ）求证： ∥平面 ； （Ⅲ）求四面体 的体积. 13．如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。 （Ⅰ）求该几何体的体积； （Ⅱ）求证：EM∥平面ABC； 15．如图所示，四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥面ABCD，PA=2,过点A作AE⊥PB,AF⊥PC,连接EF． （1）求证：PC⊥面AEF； （2）若面AEF交侧棱PD于点G（图中未标出点G）,求多面体P—AEFG的体积。 16.如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， 为侧棱 上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示． （1）证明： 平面 ； （2）求三棱锥 的体积； （3）在 的平分线上确定一点 ，使得 平面 ，并求此时 的长． 18. 17.已知在四棱锥 中，底面 是边长为4的正方形， 是正三角形，平面 ⊥平面 ， 分别是 的中点． （I）求平面 EMBED Equation.3 平面 ； （II）若 是线段 上一点，求三棱锥 的体积． 18.如图，在梯形 中， ， ， ， 四边形 ， 平面 为矩形，平面 ． （Ⅰ）求证： ； 平面 （Ⅱ）设点 中点， 为 求二面角 的余弦值． 19.如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE//DF， ． （Ⅰ）求证：BE//平面ADF； （Ⅱ）若矩形ABCD的一个边AB = ，则另一边BC的长为何值时，三棱锥F ，EF =-BDE的体积为 ？ 21. 已知正四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2 的正方形，高为 ．M为线段PC的中点． (Ⅰ) 求证：PA∥平面MDB； (Ⅱ) N为AP的中点，求CN与平面MBD所成角的正切值． 22．如图，已知直四棱柱 ，底面 为菱形， ， 为线段 的中点， 为线段 的中点． （Ⅰ）求证： ∥平面 ； （Ⅱ）当 的比值为多少时， 平面 ， 并说明理由． , EMBED Equation.DSMT4 ． 23.如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B. (1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1； (2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值． 24.如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是菱形， ， ， 是 上任意一点。 （1）求证： ； （2）当 面积的最小值是9时，在线段 上是否存在点 ，使 与平面 所成角的正切值为2？若存在？求出 的值，若不存在，请说明理由 25.如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是菱形， ， ， 是 上任意一点。 （1）求证： ； （2）当 面积的最小值是9时，在线段 上是否存在点 ，使 与平面 所成角的正切值为2？若存在？求出 的值，若不存在，请说明理由 26. 如图：在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，过点A1作A1O⊥平面BCD，垂足O恰好落在CD上. (1)求证：BC⊥A1D； (2)求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值. 27．如图的几何体中，平面，平面，△为等边三角形， ，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 28一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示． (1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积； (2)证明：A1C⊥平面AB1C1； (3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB1C1，并证明你的结论． 29.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示． (1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积； (2)证明：A1C⊥平面AB1C1； (3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB1C1，并证明你的结论． 30.如图，已知矩形 的边 与正方形 所在平面垂直， ， ， 是线段 的中点。 (1)求异面直线 与直线 所成的角的大小； (2)求多面体 的表面积。 31.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。 （1）求证：CE⊥平面PAD； （2）若PA=AB=1，AD=3，CD= ，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积 32.如下图（图1）等腰梯形PBCD，A为PD上一点，且AB⊥PD，AB=BC，AD=2BC，沿着AB折叠使得二面角P-AB-D为 的二面角，连结PC、PD，在AD上取一点E使得3AE=ED，连结PE得到如下图（图2）的一个几何体． （1）求证：平面PAB 平面PCD； （2）求PE与平面PBC所成角的正弦值． 33.如图，在直三棱柱 中， 90°, , EMBED Equation.3 是 的中点. （Ⅰ）求异面直线 与 所成的角； （Ⅱ）若 为 上一点，且 ，求二面角 的大小. 解法一： （Ⅰ）∴异面直线 与 所成的角为 . ……………………………6分 （Ⅱ） ∴所求二面角 为 . 34.如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是菱形， ， ， 是 上任意一点。 （1）求证： ； （2）当 面积的最小值是9时，在线段 上是否存在点 ，使 与平面 所成角的正切值为2？若存在？求出 的值，若不存在，请说明理由 35.如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩 形，PA=AB=1， ,点F是PB的中点，点E在边BC 上移动。 ⑴求三棱锥E-PAD的体积； ⑵当E点为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的 位置关系，并说明理由； ⑶证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF。 36．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P - ABCD中，平面PAD上平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD =2AD =8，AB =2DC = 。 （I）设M是PC上的一点，证明：平面MBD 平面PAD； （Ⅱ）求三棱锥C—PAB的体积 答 案 1．如图，棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，，，侧棱，棱AA1与底面所成的角为，点F为DC1的中点. (I)证明：OF//平面； (II)求三棱锥的体积. 解：（I）四边形ABCD为菱形且， 是的中点 . ....................2分 又点F为的中点, 在中，, ...................................4分 平面，平面 , 平面..........6分 （II）四边形ABCD为菱形, , 又， 且平面 , 平面, 平面 , 平面平面. ......................8分 在平面内过作，则， 是与底面所成的角，. ................................10分 在， 故三棱锥 底面上的高为，又， 所以，三棱锥的体积 . 2．如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是菱形， ， ， 是 上任意一点． (1) 求证： ； (2) 当 面积的最小值是9时，证明 平面 ． .解：（1）证明：连接 ，设 与 相交于点 。 因为四边形 是菱形， 所以 。 又因为 平面 ， 平面 为 上任意一点， 平面 ，所以 ------------------------- ------ 7分 （2）连 ．由（I），知 平面 ， 平面 ，所以 ． 在 面积最小时， 最小，则 ． ，解得 -------------------10分 由 且 得 平面 则 ， 又由 得 ，而 ，故 平面 -- 3．如图，在四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形， PD⊥平面ABCD，E、F分别是PB、AD的中点，PD=2． （1）求证：BC⊥PC； （2）求证：EF//平面PDC； （3）求三棱锥B—AEF的体积。 解证：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形 ∴BCDC 又PD面ABCD, BC面ABCD ∴BCPD, 又PDDC=D ∴BC面PDC 从而BCPC--------------------４分 （Ⅱ）取PC的中点G，连结EG，GD，则 ∴四边形EFGD是平行四边形。 ∴EF//GD, 又　　 ∴EF//平面PDC．…………………---------------------８分 （Ⅲ）取BD中点O，连接EO，则ＥO//PD， ∵PD⊥平面ABCD，　∴EO⊥底面ABCD， ------------12分 4．如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。 （Ⅰ）求该几何体的体积； （Ⅱ）求证：EM∥平面ABC； (Ⅰ)∵EA 平面ABC,∴EA AB,又AB AC, ∴AB 平面ACDE ………………6分 ∵M为BD的中点，　∴MG∥CD且MG＝ eq \f(1,2) CD,于是MG∥AE,且MG＝AE, 所以四边形AGME为平行四边形,∴EM∥AG, ∴EM∥平面ABC 5．如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上， ， 交 AC 于点 M， 平面 ， ，AC＝4，EA＝3，FC＝1． （I）证明：EM⊥BF； （II）求平面 BEF 与平面ABC 所成的二面角的余弦值． ，即 （也可由勾股 定理 三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理 证得）． ， 平面 ． 而 平面 ， EMBED Equation.DSMT4 ． ………………………………………………………………………………6分 （2）延长 交 于 ，连 ，过 作 ，连结 ． 由（1）知 平面 ， 平面 ， ． 而 ， 平面 ． 平面 ， ， 为平面 与平面 所成的 二面角的平面角． ……………………8分 在 中， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ． 由 ，得 ． ，则 ． 是等腰直角三角形， ． 平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 ． 6．如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面，，，． ⑴求证：； (2)设点在棱上，，若∥平面，求的值. （1）证明：由题意知 则 ------------- 6分 （2） 过作//交于 连结， ∵∥，∴∥平面. 又∵∥平面，∴平面∥平面，∴∥. 又∵ ∴∴，即- 7．图，棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，，，侧棱，棱AA1与底面所成的角为，点F为DC1的中点. (I)证明：OF//平面； (II)求三棱锥的体积. 解：（I）四边形ABCD为菱形且， 是的中点 . ....................2分 又点F为的中点, 在中，, ...................................4分 平面，平面 , 平面..........6分 （II）四边形ABCD为菱形, , 又， 且平面 , 平面, 平面 , 平面平面. ......................8分 在平面内过作，则， 是与底面所成的角，. ................................10分 在， 故三棱锥 底面上的高为，又， 所以，三棱锥的体积 8.已知四棱锥 的底面为菱形，且 ， , 为 的中点. （Ⅰ）求证： EMBED Equation.DSMT4 平面 ； （Ⅱ）求点 到面 的距离． （I）证明：连接 为等腰直角三角形 EMBED Equation.DSMT4 为 的中点 ……………………2分 又 是等边三角形 ，………………………………4分 又 ，即 ……………………6分 （II）设点 到面 的距离为 EMBED Equation.DSMT4 …………8分 EMBED Equation.DSMT4 , 到面 的距离 EMBED Equation.DSMT4 ………………………………10分 点 到面 的距离为 9．在三棱锥P－ABC中，△PAC和△PBC都是边长为eq \r(2)的等边三角形，AB＝2，O，D分别是AB，PB的中点． (1)求证：OD∥平面PAC； (2)求证：PO⊥平面ABC； (3)求三棱锥P－ABC的体积． （1） 分别为 的中点，∴ ∥ 又 平面 ， 平面 ∴ ∥平面 ．………………………4分 （2）如图，连结 ， 为 中点， , ∴ ⊥ ， ． 同理, ⊥ ， ．………………6分 又 ,∴ ,∴ ． ∴ ⊥ ． EMBED Equation.DSMT4 ⊥ , ⊥ ， , ⊥平面 ．…………………………………………………………………8分 （3）由（2）可知 垂直平面 ∴ 为三棱锥 的高，且 ． 11如图所示,三棱柱中,,平面平面, 又,与相交于点. (Ⅰ)求证:平面; (Ⅱ)求与平面所成角的正弦值; 【解】(Ⅰ)由题知,, 所以为正三角形,所以,………………1分 又因为,且 所以为正三角形,………………………2分 又平行四边形的对角线相交于点,所以为的中点, 所以…………………………3分 又平面平面,且平面平面,…………4分 且平面………………………………5分 所以平面…………………………6分 (Ⅱ)〖解法一〗连结交于,取中点,连结,, 则,又平面 所以平面,,……7分 所以直线与平面所成角为.…………8分 而在等边中,,所以,, 同理可知,, 在中,………………10分 所以中,,. 所以与平面所成角的正弦值为.……………12分 〖解法二〗由于,平面,所以平面,……7分 所以点到平面的距离即点到平面的距离, 由平面,所以到平面的距离即,…………………8分 也所以与平面所成角的正弦值为,…………………9分 而在等边中,,所以, 同理可知,,所以,………10分 又易证平面,所以, 也所以,………………………11分 所以 即与平面所成角的正弦值为. 12.如图所示，直角梯形 与等腰直角 所在平面互相垂直， 为 的中 点， ， ∥ ， .[ （Ⅰ）求证：平面 平面 ;来源 （Ⅱ）求证： ∥平面 ； （Ⅲ）求四面体 的体积. 解：（Ⅰ）∵面 面 ，面 面 ， , ∴ 面 ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 2分 又∵ 面 ，∴平面 平面 . EMBED Equation.DSMT4 4分 （Ⅱ）取 的中点 ，连结 、 ，则 , 又∵ ，∴ ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 6分 ∴四边形 是平行四边形，∴ ∥ ， 又∵ 面 且 面 ，∴ ∥面 . 8分 （Ⅲ）∵ ，面 面 = ， ∴ 面 . ∴ 就是四面体 的高，且 =2. EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 10分 ∵ = =2 =2， ∥ ， ∴ ∴ ∴ 13．如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。 （Ⅰ）求该几何体的体积； （Ⅱ）求证：EM∥平面ABC； (Ⅰ)∵EA 平面ABC,∴EA AB,又AB AC, ∴AB 平面ACDE ………………6分 ∵M为BD的中点，　∴MG∥CD且MG＝ eq \f(1,2) CD,于是MG∥AE,且MG＝AE, 所以四边形AGME为平行四边形,∴EM∥AG, ∴EM∥平面ABC.19. （本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.(Ⅰ)求证：平面 （Ⅱ）若求与所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面与平面垂直时，求的长. 证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD. 又因为PA⊥平面ABCD.所以PA⊥BD. 所以BD⊥平面PAC. （Ⅱ）设AC∩BD=O.因为∠BAD=60°，PA=PB=2, 所以BO=1，AO=CO=. 如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O—xyz，则 P（0，—，2），A（0，—，0），B（1，0，0），C（0，，0）. 所以 设PB与AC所成角为，则. （Ⅲ）由（Ⅱ）知设P（0，－，t）（t>0），则 设平面PBC的法向量,则 所以令则所以 同理，平面PDC的法向量 因为平面PCB⊥平面PDC,所以=0，即解得所以PA= EF= SE=（10分） 15．如图所示，四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥面ABCD，PA=2,过点A作AE⊥PB,AF⊥PC,连接EF． （1）求证：PC⊥面AEF； （2）若面AEF交侧棱PD于点G（图中未标出点G）,求多面体P—AEFG的体积。 解析：（1）证明： PA⊥面ABCD,BC在面内，∴ PA⊥BC BA⊥BC,BC∩BA=B,∴BC⊥面PAB，又∵AE在面PAB内∴ BC⊥AE AE⊥PB,BC∩PB=B, ,∴AE⊥面PBC又∵PC在面PBC内 AE⊥PC, AE⊥PC, AE∩AF=A, ∴PC⊥面AEF．………5分 （2）PC⊥面AEF, ∴ AG⊥PC, AG⊥DC ∴PC∩DC=C AG⊥面PDC, ∵GF在面PDC内∴AG⊥GF △AGF是直角三角形，由（1）可知△AEF是直角三角形，AE=AG= ,EF=GF= ∴ , 又AF= ,PF= ∴ ,∴ 16.如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， 为侧棱 上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示． （1）证明： 平面 ； （2）求三棱锥 的体积； （3）在 的平分线上确定一点 ，使得 平面 ，并求此时 的长． 18. 解：（1）因为 平面 ，所以 ， 又 ，所以 平面 ，所以 ． 由三视图可得，在 中， ， 为 中点，所以 ， 所以 平面 ，…………4分 （2）由三视图可得 ， 由⑴知 ， 平面 ， 又三棱锥 的体积即为三棱锥 的体积， 所以，所求三棱锥的体积 ．…………8分 （3）取 的中点 ，连接 并延长至 ，使得 ，点 即为所求． 因为 为 中点，所以 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 连接 ， ，四边形 的对角线互相平分， 所以 为平行四边形，所以 ，又 平面 ， 所以在直角 中， ．…………12分 17.已知在四棱锥 中，底面 是边长为4的正方形， 是正三角形，平面 ⊥平面 ， 分别是 的中点． （I）求平面 EMBED Equation.3 平面 ； （II）若 是线段 上一点，求三棱锥 的体积． （I）证明： ， ∴ 平面PAD， ………（6分） ∵EF//CD，∴ 平面PAD， ∵ 平面EFG，∴平面EFG 平面PAD； （II）解：∵CD//EF，∴CD//平面EFG，故CD上的点M到平面EFG的距离 等于D到平面EFG的距离，∴ ， ，平面EFGH 平面PAD于EH， ∴D到平面EFG的距离即三角形EHD的高,等于 ∴ ． 18.如图，在梯形 中， ， ， ， 四边形 ， 平面 为矩形，平面 ． （Ⅰ）求证： ； 平面 （Ⅱ）设点 中点， 为 求二面角 的余弦值． (1)证明： 则 ，则得 ， ， 平面 面 ， 面 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.3 平面 ． ……7分 平面 （II）过 , ，连 于点 交 作 则 ． 的余弦值为 ，则二面角 ， 中， 的平面角，在 为二面角 19.如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE//DF， ． （Ⅰ）求证：BE//平面ADF； （Ⅱ）若矩形ABCD的一个边AB = ，则另一边BC的长为何值时，三棱锥F ，EF =-BDE的体积为 ？ 解（Ⅰ）过点E作CD的平行线交DF于点M，连接AM． 因为CE//DF，所以四边形CEMD是平行四边形．可得EM = CD且EM //CD，于是四边形BEMA也是平行四边形，所以有BE//AM，而直线BE在平面ADF外，所以BE//平面ADF． ——————6分 （Ⅱ）由EF = ，得 ，EM = AB =FM = 3且 ． 由 可得FD = 4，从而得DE = 2．————8分 因为 平面CDFE． ，所以 ， 所以， ． ————10分 因为 ． ，所以 ， 综上，当 ． 时，三棱锥F-BDE的体积为 20.如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE//DF， ． （Ⅰ）求证：BE//平面ADF； （Ⅱ）若矩形ABCD的一个边AB = ，EF = ，则另一边BC的长为何值时，三棱锥F-BDE的体积为 ？ 解（Ⅰ）过点E作CD的平行线交DF于点M，连接AM． 因为CE//DF，所以四边形CEMD是平行四边形．可得EM = CD且EM //CD，于是四边形BEMA也是平行四边形，所以有BE//AM，而直线BE在平面ADF外，所以BE//平面ADF． ——————6分 （Ⅱ）由EF = ，EM = AB = ，得FM = 3且 ． 由 可得FD = 4，从而得DE = 2．————8分 因为 ， ，所以 平面CDFE． 所以， ． ————10分 因为 ， ，所以 ． 综上，当 时，三棱锥F-BDE的体积为 ． 21. 已知正四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2 的正方形，高为 ．M为线段PC的中点． (Ⅰ) 求证：PA∥平面MDB； (Ⅱ) N为AP的中点，求CN与平面MBD所成角的正切值． 本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。满分14分。 (Ⅰ)证明：在四棱锥P－ABCD中，连结AC交BD于点O，连结OM，PO．由条件可得PO＝ ，AC＝2 ，PA＝PC＝2，CO＝AO＝ ． 因为在△PAC中，M为PC的中点，O为AC的中点， 所以OM为△PAC的中位线，得OM∥AP， 又因为AP 平面MDB，OM 平面MDB， 所以PA∥平面MDB． …………6分 (Ⅱ) 解：设NC∩MO＝E，由题意得BP＝BC＝2，且∠CPN＝90°． 因为M为PC的中点，所以PC⊥BM， 同理PC⊥DM，故PC⊥平面BMD． 所以直线CN在平面BMD内的射影为直线OM，∠MEC为直线CN与平面BMD所成的角， 又因为OM∥PA，所以∠PNC＝∠MEC． 在Rt△CPN中，CP＝2，NP＝1，所以tan∠PNC＝ ， 故直线 CN与平面BMD所成角的正切值为2 22．如图，已知直四棱柱 ，底面 为菱形， ， 为线段 的中点， 为线段 的中点． （Ⅰ）求证： ∥平面 ； （Ⅱ）当 的比值为多少时， 平面 ， 并说明理由． （Ⅰ）证明：连接 ,由题意可知点 为 的中点． 因为点 为 的中点． 在 中， ．……………………………………………………………２分 又 EMBED Equation.DSMT4 面 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ．……………………６分 （Ⅱ）当 时， ． ………………………………………７分 四边形 为菱形，且 ， EMBED Equation.DSMT4 ． 四棱柱 为直四棱柱， 四边形 为矩形． 又 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 四边形 为正方形， EMBED Equation.DSMT4 ……………………10分 在直四棱柱 中， ， ， EMBED Equation.DSMT4 四边形 为菱形， ． EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ． ， EMBED Equation.DSMT4 ，又 ， EMBED Equation.DSMT4 ．…………………13分 , EMBED Equation.DSMT4 ． 23.如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B. (1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1； (2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值． 解：(1)证明：因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1. 又B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，所以B1C⊥平面A1BC1.又B1C⊂平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1. (2)设BC1交B1C于点E，连结DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线． 因为A1B∥平面B1CD， 所以A1B∥DE. 又E是BC1的中点， 所以D为A1C1的中点， 即A1D∶DC1＝1. 24.如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是菱形， ， ， 是 上任意一点。 （1）求证： ； （2）当 面积的最小值是9时，在线段 上是否存在点 ，使 与平面 所成角的正切值为2？若存在？求出 的值，若不存在，请说明理由 解：（1）证明：连接 ，设 与 相交于点 。 因为四边形 是菱形，所以 。 又因为 平面 ， 平面 为 上任意一点， 平面 ，所以 --------------7分 （2）连 ．由（I），知 平面 ， 平面 ，所以 ． 在 面积最小时， 最小，则 ． ，解得 --------------10分 由 且 得 平面 则 ， 又由 得 ，而 ，故 平面 作 交 于点 ，则 平面 ,所以 就是 与平面 所成角. 在直角三角形 中， 所以 ，设 ，则 。 由 得 。 由 得 ，即 --------------14分 25.如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是菱形， ， ， 是 上任意一点。 （1）求证： ； （2）当 面积的最小值是9时，在线段 上是否存在点 ，使 与平面 所成角的正切值为2？若存在？求出 的值，若不存在，请说明理由 解：（1）证明：连接 ，设 与 相交于点 。 因为四边形 是菱形，所以 。 又因为 平面 ， 平面 为 上任意一点， 平面 ，所以 --------------7分 （2）连 ．由（I），知 平面 ， 平面 ，所以 ． 在 面积最小时， 最小，则 ． ，解得 --------------10分 由 且 得 平面 则 ， 又由 得 ，而 ，故 平面 作 交 于点 ，则 平面 ,所以 就是 与平面 所成角. 在直角三角形 中， 所以 ，设 ，则 。 由 得 。 由 得 ，即 26. 如图：在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，过点A1作A1O⊥平面BCD，垂足O恰好落在CD上. (1)求证：BC⊥A1D； (2)求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值. 解：(1)因为A1O⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴BC⊥A1O， 因为BC⊥CD，A1O∩CD＝O，∴BC⊥面A1CD. 因为A1D⊂面A1CD，∴BC⊥A1D.(6分) (2)连结BO，则∠A1BO是直线A1B与平面BCD所成的角. 因为A1D⊥BC，A1D⊥A1B，A1B∩BC＝B，∴A1D⊥面A1BC.A1C⊂面A1BC，∴A1D⊥A1C. 在Rt△DA1C中，A1D＝3，CD＝5，∴A1C＝4. 根据S△A1CD＝eq \f(1,2)A1D·A1C＝eq \f(1,2)A1O·CD，得到A1O＝eq \f(12,5)， 在Rt△A1OB中，sin∠A1BO＝eq \f(A1O,A1B)＝eq \f(\f(12,5),5)＝eq \f(12,25). 所以直线A1B与平面BCD所成角的正弦值为eq \f(12,25).(12分) 27．如图的几何体中，平面，平面，△为等边三角形， ，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. （1）证明：取的中点，连结． ∵为的中点，∴且． ∵平面，平面， ∴，∴． 又，∴． ∴四边形为平行四边形，则． ∵平面，平面， ∴平面．…………7分 （2）证明：∵为等边三角形，为的中点，∴ ∵平面， ，∴． ∵，∴ 又 ， ∴平面． ∵平面， ∴平面平面． 28一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示． (1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积； (2)证明：A1C⊥平面AB1C1； (3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB1C1，并证明你的结论． 29.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示． (1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积； (2)证明：A1C⊥平面AB1C1； (3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB1C1，并证明你的结论． 解：(1)几何体的直观图如图． 四边形BB1C1C是矩形，BB1＝CC1＝eq \r(3)，BC＝1，四边形AA1C1C是边长为eq \r(3)的正方形，且垂直于底面BB1C1C，∴其体积V＝eq \f(1,2)×1×eq \r(3)×eq \r(3)＝eq \f(3,2) 4分 (2)证明：∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC. ∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1. ∵AC∩CC1＝C，∴BC⊥平面ACC1A1， ∴BC⊥A1C.∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥A1C. ∵四边形ACC1A1为正方形，∴A1C⊥AC1. ∵B1C1∩AC1＝C1， ∴A1C⊥平面AB1C1. 8分 (3)当E为棱AB的中点时， DE∥平面AB1C1. 证明：如图，取BB1的中点F，连结EF，FD，DE， ∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，∴EF∥AB1. ∵AB1⊂平面AB1C1，EF⊄平面AB1C1， ∴EF∥平面AB1C1. 同理可得FD∥平面AB1C1， 又EF∩FD＝F，∴平面DEF∥平面AB1C1. 而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1. 12分 30.如图，已知矩形 的边 与正方形 所在平面垂直， ， ， 是线段 的中点。 (1)求异面直线 与直线 所成的角的大小； (2)求多面体 的表面积。 解：（1）因为 ，所以 即为异面直线 与 所成的角（或其补角），…………… 2分 连结 ，在 中， 所以 ， 又 ，所以 ，所以 是等边三角形， …………… 5分 所以 ，即异面直线 与 所成的角为 ；…………… 6分 （2） …………… 8分 …………… 10分 。 31.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。 （1）求证：CE⊥平面PAD； （2）若PA=AB=1，AD=3，CD= ，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积 【解析】(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,CE 平面ABCD,所以PA⊥CE, 因为AB⊥AD,CE∥AB,所以CE⊥AD,又PA AD=A,所以CE⊥平面PAD. (2)解:由(1)可知CE⊥AD,在直角三角形ECD中,DE=CD ,CE=CD . 又因为AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形ABCE为矩形,所以 = = ,又PA⊥平面ABCD,PA=1, 所以四棱锥P-ABCD的体积等于 32.如下图（图1）等腰梯形PBCD，A为PD上一点，且AB⊥PD，AB=BC，AD=2BC，沿着AB折叠使得二面角P-AB-D为 的二面角，连结PC、PD，在AD上取一点E使得3AE=ED，连结PE得到如下图（图2）的一个几何体． （1）求证：平面PAB 平面PCD； （2）求PE与平面PBC所成角的正弦值． 解：（1）证明： ，又二面角P-AB-D为 ，又AD=2PA EMBED Equation.3 有平面图形易知：AB 平面APD，又 ， ， EMBED Equation.3 ，且 ，又 ， 平面PAB 平面PCD---------7分 （2）设E到平面PBC的距离为 ， AE//平面PBC 所以A 到平面PBC的距离亦为 连结AC，则 ，设PA=2 EMBED Equation.3 = ，设PE与平面PBC所成角为 EMBED Equation.3 ---------------14分 33.如图，在直三棱柱 中， 90°, , EMBED Equation.3 是 的中点. （Ⅰ）求异面直线 与 所成的角； （Ⅱ）若 为 上一点，且 ，求二面角 的大小. 解法一： （Ⅰ）∴异面直线 与 所成的角为 . ……………………………6分 （Ⅱ） ∴所求二面角 为 . 34.如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是菱形， ， ， 是 上任意一点。 （1）求证： ； （2）当 面积的最小值是9时，在线段 上是否存在点 ，使 与平面 所成角的正切值为2？若存在？求出 的值，若不存在，请说明理由 解：（1）证明：连接 ，设 与 相交于点 。 因为四边形 是菱形，所以 。 又因为 平面 ， 平面 为 上任意一点， 平面 ，所以 --------------7分 （2）连 ．由（I），知 平面 ， 平面 ，所以 ． 在 面积最小时， 最小，则 ． ，解得 --------------10分 由 且 得 平面 则 ， 又由 得 ，而 ，故 平面 作 交 于点 ，则 平面 ,所以 就是 与平面 所成角. 在直角三角形 中， 所以 ，设 ，则 。 由 得 。 由 得 ，即 35.如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩 形，PA=AB=1， ,点F是PB的中点，点E在边BC 上移动。 ⑴求三棱锥E-PAD的体积； ⑵当E点为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的 位置关系，并说明理由； ⑶证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF。 解： （1）因为点E到平面PAD的距离即为1，所以 ····················4分 (2)直线EF与平面PAC平行 因为E、F两点分别为边PB和BC的中点，所以EF//PC，且直线EF不在平面PAC内，直线PC在平面PAC内，所以，直线EF//面PAC ····················8分 (3)因为PA=AB且F为PB中点，所以AF⊥PB,又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC,由于地面ABCD为矩形，所以BC⊥AB,所以BC⊥面PAB,所以BC⊥AF,所以AF⊥面PBC,所以无论点E在BC上何处时，总有AF⊥PE。 36. 如图，在四棱锥P - ABCD中，平面PAD上平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD =2AD =8，AB =2DC = 。 （I）设M是PC上的一点，证明：平面MBD 平面PAD； （Ⅱ）求三棱锥C—PAB的体积 证明： （Ⅰ）在 中，由于 ， ， ， 所以 ．故 ．……………………………………………2分 又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . …………………………………………………………………4分 又 平面 ，故平面 平面 ．…………………………………6分 （Ⅱ）过 作 交 于 ， 由于平面 平面 ，[来源:Z#xx#k.Com] 所以 平面 ． 因此 为棱锥P－ABC的高.………………8分 又 是边长为4的等边三角形．[来源:Zxxk.Com] 因此 ． 又 ，………10分 图2 B P B A C D F E B A E D C F A B C D E F A B D C M P N (第20题) � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� （第20题） � EMBED Equation.3 ��� A B C E D M · 4 2 2 2 左视图 俯视图 A B C A1 C1 O B1 A B C E D M · 4 2 2 2 左视图 俯视图 P O A C D M P O _1384881216.unknown _1392959452.unknown _1394546917.unknown _1394546925.unknown _1394546933.unknown _1394546937.unknown _1394791917.unknown _1394791933.unknown _1394546939.unknown _1394546940.unknown _1394546938.unknown _1394546935.unknown _1394546936.unknown _1394546934.unknown _1394546929.unknown _1394546931.unknown _1394546932.unknown _1394546930.unknown _1394546927.unknown _1394546928.unknown _1394546926.unknown _1394546921.unknown _1394546923.unknown _1394546924.unknown _1394546922.unknown _1394546919.unknown _1394546920.unknown _1394546918.unknown _1394546909.unknown _1394546913.unknown _1394546915.unknown _1394546916.unknown _1394546914.unknown _1394546911.unknown _1394546912.unknown _1394546910.unknown _1392965709.unknown _1392965768.unknown _1392965779.unknown _1392965724.unknown _1392959511.unknown _1392959463.unknown _1392921041.unknown _1392959304.unknown _1392959332.unknown _1392959430.unknown _1392959314.unknown _1392922108.unknown _1392924415.unknown _1392924773.unknown _1392924807.unknown _1392959045.unknown _1392959055.unknown _1392924972.unknown _1392924793.unknown _1392924619.unknown _1392924741.unknown _1392924460.unknown _1392924243.unknown _1392924248.unknown _1392922144.unknown