数学：2.3《直线、平面垂直的判定及其性质》测试（1）（新人教A版必修2）

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 一、选择 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1、二面角指的是(    ) A.两个平面相交所组成的角 B.经过同一条直线的两个平面所组成的图形 C.一条直线出发的两个半平面组成的图形 D.两个平面所夹的不大于90°的角 2、α、β、γ、ω是四个不同平面，若α⊥γ，β⊥γ，α⊥ω，β⊥ω，则(    ) A.α∥β且γ∥ω B.α∥β或γ∥ω C.这四个平面中可能任意两个都不平行 D.这四个平面中至多有一对平面平行 3、已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题： ①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α，则n⊥m;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β. 其中真命题的个数是(    ) A.0               B.1                  [来源:Zxxk.Com] C.2                 D.3 4、如图2-3-15,设P是正方形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是(    ) 图2-3-15 A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直 B.它们两两都垂直 C.平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直 D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直 参考答案与解析:思路解析:∵PA⊥平面ABCD, ∴PA⊥BC.又 ∵BC⊥AB,PA∩AB=A, ∴PC⊥平面PAB,从而平面PBC⊥平面PAB. 由AD⊥PA,AD⊥AB,PA∩AB=A得AD⊥平面PAB. ∵AD平面PAD, ∴平面PAD⊥平面PAB. 5、如图2-3-16,等边三角形ABC的边长为1,BC边上的高为AD,若沿AD折成直二面角,则A到BC的距离是……(    ) 图2-3-16 A.1           B.            C.            D. 参考答案与解析:思路解析:折叠后BD=DC=,且∠BDC为二面角的平面角,∠BDC=90°, ∴BC=.取BC中点E,连结DE,则DE⊥BC,进一步易证AE⊥BC,AE的长为所求距离. ∵AD=,DE=BC=, ∴AE=. 答案:C 主要考察知识点:空间直线和平面 6、下列命题正确的是(    ) A.垂直于同一条直线的两直线平行 B.垂直于同一条直线的两直线垂直 C.垂直于同一个平面的两直线平行 D.垂直于同一条直线的一条直线和平面平行 参考答案与解析:思路解析:在空间中垂直于同一直线的两条直线,可能平行相交,也可能异面,所以A,B错,垂直于同一直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内,直线和平面平行,所以D错. 答案:C 主要考察知识点:空间直线和平面 7、空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是(    ) A.垂直且相交                               B.相交但不一定垂直 C.垂直但不相交                             D.不垂直也不相交 参考答案与解析:解析：取BD中点E，连结AE、CE. ∵AB=AD=BC=CD,∴AE⊥BD,CE⊥BD. ∴BD⊥平面AEC. 又AC面AEC，∴BD⊥AC. 答案：C 主要考察知识点:空间直线和平面 8、线段AB的长等于它在平面α内射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为（　　） A.30°             B.45°             C.60°             D.120° 参考答案与解析:解析：由直角三角形的边角关系，可知直线与平面α所成的角为60°. 答案：C 主要考察知识点:空间直线和平面 9、设α,β为两个不重合的平面,l,M,n为两两不重合的直线,给出下列四个命题: ①若α∥β,,则l∥β; ②若, ,M∥β,n∥β，则α∥β； ③若l∥α,l⊥β,则α⊥β; ④若,,且l⊥M,l⊥n,则l⊥α. 其中正确命题的序号是(　　) A.①③④              B.①②③        C.①③           D.②④ 参考答案与解析:解析：由面面平行的判定定理,知②错误;由线面垂直的判定定理知④错误. 答案：C 主要考察知识点:空间直线和平面 10、下列说法中正确的是(　　) ①过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直 ②过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直 ③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行 ④过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直 A.①②③              B.①②③④           C.②③           D.②③④ 参考答案与解析:解析：由线面垂直的性质及线面平行的性质,知①②③正确;④错,过直线外一点作平面与直线垂直,则平面内的所有直线都与该直线垂直. 答案：A 主要考察知识点:空间直线和平面 二、填空题 1、α、β是两个不同的平面，m、n是平面α、β外的两条不同直线，给出四个结论： ①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α. 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______.[来源:学#科#网] 参考答案与解析:解析：假设①③④为条件，即m⊥n,n⊥β,m⊥α成立，如图.过m上一点P作PB∥N，则PB⊥m，PB⊥β，设垂足为B.又设m⊥α，垂足为A，过PA、PB的平面与α、β的交线l交于点C. ∵l⊥PA,l⊥PB,∴l⊥平面PAB. ∴l⊥AC，l⊥BC. ∴∠ACB是二面角α-l-β的平面角. 由m⊥n,显然PA⊥PB， ∴∠ACB=90°,∴α⊥β. 由①③④②成立. 反过来，如果②③④成立，与上面证法类似可得①成立. 答案：②③④①或①③④②. 主要考察知识点:空间直线和平面 2、α、β是两个不同的平面，m、n是平面α、β外的两条不同直线，给出四个结论： ①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α. 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______. 参考答案与解析:解析：假设①③④为条件，即m⊥n,n⊥β,m⊥α成立，如图.过m上一点P作PB∥N，则PB⊥m，PB⊥β，设垂足为B.又设m⊥α，垂足为A，过PA、PB的平面与α、β的交线l交于点C. ∵l⊥PA,l⊥PB,∴l⊥平面PAB. ∴l⊥AC，l⊥BC. ∴∠ACB是二面角α-l-β的平面角. 由m⊥n,显然PA⊥PB， ∴∠ACB=90°,∴α⊥β. 由①③④②成立. 反过来，如果②③④成立，与上面证法类似可得①成立. 答案：②③④①或①③④②. 主要考察知识点:空间直线和平面 3、设三棱锥PABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出下列命题： ①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心； ②若PA、PB、PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心； ③若∠ABC=90°，H是AC的中点，则PA=PB=PC； ④若PA=PB=PC，则H是△ABC的外心. 请把正确命题的序号填在横线上:______________. [来源:Z#xx#k.Com] 参考答案与解析:解析：①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H为垂心. ②∵PA⊥PB，PA⊥PC, ∴PA⊥面PBC. ∴PA⊥BC. 又PH⊥面ABC， ∴PH⊥BC.∴BC⊥面PAH. ∴AH⊥BC. 同理BH⊥AC，∴H为垂心. ③∵H为AC中点，∠ABC=90°, ∴AH=BH=CH. 又PH⊥面ABC， 由勾股定理知PA=PB=PC. ④∵PA=PB=PC，又PH⊥面ABC，同③可知AH=BH=CH，∴H为外心. 答案：①②③④ 主要考察知识点:空间直线和平面 4、如图，P是二面角α-AB-β的棱AB上一点，分别在α、β上引射线PM、PN,截PM=PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，则二面角α-AB-β的大小是___________. 参考答案与解析:解析：过M在α内作MO⊥AB于点O，连结NO， 设PM=PN=a, 又∠BPM=∠BPN=45°, ∴△OPM≌△OPN. ∴ON⊥AB. ∴∠MON为所求二面角的平面角. 连结MN，∵∠MPN=60°,∴MN=a. 又, ∴MO2+NO2=MN2. ∴∠MON=90°. 答案：90°[来源:学+科+网Z+X+X+K] 主要考察知识点:空间直线和平面 三、解答题 1、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1. 参考答案与解析:解析：要证明EF∥BD1，可构造与它们都垂直的一个平面.由于A1D，AC均为各面的对角线，通过对角线的平行性可构造垂直关系. 证明：连结A1C1，由于AC∥A1C1，EF⊥AC，[来源:Zxxk.Com] ∴EF⊥A1C1. 又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1, ∴EF⊥平面A1C1D.                                 ① ∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1平面A1B1C1D1, ∴BB1⊥A1C1. 又A1B1C1D1为正方体, ∴A1C1⊥B1D1. ∵BB1∩B1D1＝B1, ∴A1C1⊥平面BB1D1D. 而BD1平面BB1D1D,∴BD1⊥A1C1. 同理，DC1⊥BD1，DC1∩A1C1＝C1, ∴BD1⊥平面A1C1D.                                ② 由①②可知EF∥BD1. 主要考察知识点:空间直线和平面 2、在长江汽车渡口,马力不足或装货较重的汽车上岸时,采用沿着坡面斜着成S形的方法向上开,这是为什么？你能从数学的角度进行解释吗？ 参考答案与解析:答案:在汽车马力恒定的情况下,行驶单位路程内,垂直上升高度愈大,汽车愈费“力”,当“力”所不及时,就会发生危险.日常经验告诉我们,走S形可减少这种危险,从数学的角度看,可作如下解释. 图2-3-22 如图,AB表示笔直向上行走的路线(AB⊥CA),α表示它与水平面所成的交角,CB表示斜着向上行走的路线,β表示它与水平面所成的夹角,它们所达到的高度都是BD. 现在的问题就是要研究α和β这两个角哪个大,越大越费力. 在Rt△BAD中,sinα=.① 在Rt△BCD中,sinβ=.② 比较①与②,因为AB、CB分别是直角三角形ABC的直角边和斜边,也就是说AB＜CB, 所以＞. 又因为α、β都是锐角,所以α＞β. 因此汽车沿着CB方向斜着向上开要省力.山区修筑的公路,采取盘山而上的方法,也是这个道理. 主要考察知识点:空间直线和平面 3、如图，在四面体ABCD中，△ABD、△ACD、△BCD、△ABC都全等，且，BC=2，求以BC为棱、以面BCD和面BCA为面的二面角的大小. 参考答案与解析:解:取BC的中点E，连结AE、DE， ∵AB=AC， ∴AE⊥BC. 又∵△ABD≌△ACD，AB=AC， ∴DB=DC. ∴DE⊥BC. ∴∠AED为二面角A-BC-D的平面角. 又∵△ABC≌△DBC,且△ABC为以BC为底的等腰三角形，故△DBC也是以BC为底的等腰三角形， ∴. 又△ABD≌△BDC， ∴AD=BC=2. 在Rt△DEB中，，BE=1， ∴, 同理. 在△AED中，∵AE=DE=,AD=2, ∴AD2=AE2+DE2. ∴∠AED=90°. ∴以面BCD和面BCA为面的二面角的大小为90°. 主要考察知识点:空间直线和平面 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m www.ks5u.com