复合材料旋翼桨叶耦合振动分析

第37卷第3期 1 9 9 7 年 5 月 大 连 理 工 大 学 学 报 Journa l of Da l ian Un iversity of Technology Vol. 37, No. 3 M ay1 9 9 7 复 合 材 料 旋 翼 桨 叶 耦 合 振 动 分 析 Ξ 刘 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 田　顾元宪　程耿东 ( 大连理工大学工程力学研究所　116024 ) 摘要　给出了包含陀螺力影响的旋转梁耦合振动问题的有限元解法, 使用的各 向异性梁理论考虑了截面翘曲和耦合变形对截面刚度以及对动力特性的影响. 单 元形函数取为各向异性梁的静态解, 以利于提高计算精度. 箱形截面旋转梁和某 直升机桨叶耦合振动频率的计算结果同参考值相吻合, 说明本文方法是有效的. 关键词: 振动 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ; 螺旋桨桨叶; 翘曲; 复合材料; 有限元ö耦合变形 分类号: O 327 直升机旋翼是典型的细长式旋转结构 (旋转梁) , 其结构形式大都是组合式的复合材料结 构. 采用这种结构形式的动因是复合材料具有良好的疲劳寿命、损伤耐久性和气弹剪裁性能, 复合材料的可 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 性特点和变形耦合效应, 为改善旋翼的气动稳定性和动力特性提供了机 会, 同时也使得无铰无轴承式的简单结构形式的设计成为可能. 然而, 复合材料的各向异性 性质和非均质性质将引起变形间的耦合和截面的翘曲变形, 从而导致梁的平截面假定不再适 用〔1〕; 在建立梁的动力方程时必须考虑翘曲和耦合变形的影响. 本文将给出一种复合材料旋翼桨叶耦合振动分析的方法. 该方法基于一种各向异性梁变 形理论〔2〕, 考虑梁截面的面内和出平面翘曲对梁截面刚度及其他截面性质的影响, 按文〔2〕的 思想求得梁截面刚度和翘曲函数; 基于H am ilton 原理导出挥舞、摆振、扭转及剪切和拉伸等 变形间的全耦合振动微分方程式; 利用有限元技术, 以梁的静态解为形函数, 建立梁单元端 部位移同单元内各点位移间的关系, 进而获得有限元控制方程式. 最后, 给出了利用本文方 法计算的箱形截面旋转梁和直升机桨叶耦合振动分析结果. 1　梁截面的变形描述 　　对于复杂截面复合材料梁, 截面翘曲变形已不能忽略. 变形间的耦合对梁的动力特性的 影响显著, 在建立梁的动力方程时必须考虑它们的影响. 本文采用文〔2〕的方法, 确定截面的 翘曲位移和刚度矩阵. 以下简述该方法的基本思想. 梁内任一点的位移 s 分解成保持截面不 变形的位移 v 和翘曲位移 g , s= v+ g. 位移的第一部分可用截面的整体平动位移w 和截面转Ξ 国家杰出青年科学基金资助项目 ( 19525206 ) 　收稿日期: 1996212201; 修订日期: 1997203211 　刘书田: 男, 1962 年生, 副教授, 博士后 © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 角 5 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示成 v = w + z5 , w = (w 1, w 2, w 3) T , 5 = (Υ1, Υ2, Υ3) T (1) z = 0 0 - x 2 0 0 x 1 x 2 - x 1 0 (2) 将翘曲位移在截面上离散成 g= N #. # 表示节点的翘曲位移值; N 是形函数, 可在单元内定 义. 此时截面上各点的位移完全由截面整体位移w 和 5 以及翘曲位移 # 描述. 等截面梁只在 端部外力有作用时, 由虚功原理得到如下形式的二阶微分方程〔2〕: M 0 0 0 #″7 ″- H - LL T 0 #′7 ′- E RR T A #7 + 0Η = 0 (3) 式中: {Η}和{7 }分别表示截面力和应变参数, 其定义为 {Η}6×1 = T m , 　　{7 } = w′+ t5 　5′ (4) 各系数矩阵见文〔2〕和〔3〕. 式 (3)的解可分解成只在端部小范围内的端部解和离开端部的中间大部分区域的中心解. 梁截面的变形规律就取为中心解的分布规律. 中心解由以下两式确定: E R R T A #7 = - H L- L T 0 #′7 ′+ 0Η (5) E R R T A #′7 ′= 0 0- t 0 {Η}, 　t = 0 - 1 01 0 0 0 0 0 (6) 若将中心解写成 # = X {Η}, 　#′= X′{Η}, 　7 = Y{Η}, 　7 ′= Y′{Η} (7) 并定义 {∆Η}T F {Η} =∫A {Ρ}T {∆Ε}dA (8) 则截面柔度阵〔F〕具有以下的具体形式: F 6×6 = 〔X T , X ′T , YT〕 E C R CT M L R T L T A X X′ Y (9) 梁截面刚度矩阵为 S = F - 1. 定义广义应变参数76×1 = F {Η} = F 11 F 12 F T12 F 22 T m (10) 则式 (8)和 (10)定义了另一个保持截面不变形的位移选择形式: v υ = ( I , z) w5 , 7 = w′+ t5　 5′ (11) 此时虚功可写成如下的简单形式: W = ∆7T {Η} = ∆7TS 7 (12) 　　若将位移重新分解成 643 大 连 理 工 大 学 学 报 　　　　　　　　　　　第 37 卷　 © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. s = ( I , z) w5 + N # (13) 且保持截面不变形的位移参数 (wT , 5 T ) T 已满足式 (10). 则任一点的位移可用 6 个独立的截 面位移参数表示成 s = ( I , z) w5 + N XS w′+ t5　5′ (14) 2　复合材料旋转梁的动力方程及有限元分析 　　本章利用上章介绍的梁模型, 建立基于有限元的复合材料旋转梁耦合振动分析方法. 选 截面的 6 个整体位移参数 d= (w T , 5 T ) T 为主位移, 利用梁的中心解将截面上任意点的位移 s 图 1　一个典型梁单元 用整体位移参数表示出来; 将截面整体位 移沿轴向离散, 用梁函数为形函数建立单 元端部整体位移和任意截面整体位移的关 系; 通过H am ilton 原理建立包含陀螺项在 内的耦合振动方程式. 2. 1　梁单元形函数 将梁沿轴线方向剖分成 n 个梁单元, 有 (n+ 1) 个节点 (端截面) , 一个典型单元 如图 1 所示. 定义节点位移为U e= (dT1 , dT2 ) T. 由内力与应变参量间的关系以及平衡关系可得 用单元两端位移表示的单元内任意截面的位移: d 6×1 = w5 = 〔Υ〕6×12U e12×1 (15) 这里, 〔Υ〕= (- 〔∆〕〔∆(Ν= 1)〕- 1〔ς〕, 　〔∆〕〔∆(Ν)〕- 1) (16) 是 (6×12)阶矩阵, 称为梁单元的形函数; 它实际上是梁的静态解. 式中 Ν为局部坐标; 其定 义为: Ν= (x 3- x 13) öl, l= x 23- x 13. 〔ς〕= I 0 lt I , 　〔∆〕= lΝ〔F〕+ ∆11 ∆12∆21 0 (17)∆11 = l2 (Ν- Ν2ö2) F 12 t - ( l2Ν2ö2) tF t12 - l3 (Ν2ö2 - Ν3ö6) tF 22 t∆12 = - ( l2Ν2ö2) tF 22, 　∆21 = l2 (Ν- Ν2ö2) F 22 t (18) 2. 2　梁的动力方程 在单元内应变参数可表示成7 = 〔5Υ〕{U e}, 〔5Υ〕= 5〔Υ〕5x 3 + 0 t0 0 〔Υ〕 (19) 单元势能可表示为 Πe = 12 U eTKeU e + 12 U eT KeN U e (20) 上式第一项是应变势能; 第二项是初始轴向力引起的势能, 系数矩阵分别为单元的弹性刚度 阵和轴向力刚度阵. 其形式为 〔Ke〕12×12 =∫10〔5Υ〕TS〔5Υ〕ldΝ (21) 743　第 3 期　　　　　　刘书田等: 复合材料旋翼桨叶耦合振动分析 © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 〔KeN 〕12×12 =∫10N 0 5Υ5x 3 T I 2 00 0 5Υ5x 3 ldΝ (22) 这里: N 0 是梁的初始轴向力. 图 2　梁的几何特征 根据式 (14) 和 (15) , 单元内任意点的位移可 写成 s = GU e, 〔G〕3×12 = ( I , z)〔Υ〕+ N XS〔5Υ〕 (23) 梁内任意点的位置, 可用随动坐标 ox 1x 2x 3 表示, 如图 2 所示; 梁的变形也在此坐标系内描述. 变 形前随动坐标为 s0 = (x 01, x 02, x 03) T 的点, 在变 形后的矢径为 Rψ = (aο1, aο2, aο3) {s + s0} (24) 式中: (aο1, aο2, aο3) 是随动坐标系的单位基矢量. 假设梁绕 x 3 轴以角速度 8 匀速转动, 则有 a οõ 1 = 0, aοõ 2 = 8 aο3, aοõ 3 = - 8 aο2 (25) Rψõ = (aο1, aο2, aο3) (sα+ 8 q{s + s0}) 　　　q = 0 0 0 0 0 - 1 0 1 0 (26) 单元内的动能可表示为 K e = 0. 5l8 2∫10∫A Θ{s + s0}T qTq{s + s0}dA dΝ+ 0. 5l∫10∫A ΘsαT sαdA dΝ+ 8 l∫10∫A ΘsαTq{s + s0}dA dΝ (27) 对上式变分, 并实施分部积分, 得 ∫t2t1∆K ed t = - ∫t2t1{∆U e}T (M eUβe + 8 CeUαe - 8 2KegU e - 8 2f 8 ) d t (28) 式中: M e、Keg 为对称矩阵; 前者为质量矩阵, 后者为几何刚度矩阵. Ce 是一个反映陀螺力的 矩阵, 是反对称矩阵. f 8 是惯性力矢量. 它们的形式为 M e =∫10∫A ΘGTGdA ldΝ, Ce =∫10∫A 2ΘGTGdA ldΝ Keg =∫10∫A ΘGTqTqGdA ldΝ, f 8 =∫10∫A ΘGT qT qGdA ldΝ (29) 由H am ilton 原理可得动力控制方程: M Uβ+ 8 CUα+ (K + Kn - 8 2Kg)U = 8 2f 8 (30) 广义位移U 和其他系数矩阵由单元中相应量集成而得. 将上式的解分解成平衡状态U 0 和绕 平衡状态的振动, U = U 0+ Uϖ ( t). 在确定平衡状态时, 初始轴向力为零, 因此U 0 满足 (K - 8 2Kg)U 0 = 8 2f 8 (31) 在确定振动位移时, 初始轴向力就是平衡状态时的截面轴向力. 其形式为 843 大 连 理 工 大 学 学 报 　　　　　　　　　　　第 37 卷　 © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. N 0 = 8 2x 3∫A ΘdA (32) 振动控制方程为 M U Σ + 8 CUΗ + (K + Kn - 8 2Kg)Uϖ = 0 (33) 令: Uϖ= YeΚt, 则有 (Κ2M + Κ8 C + K + Kn - 8 2Kg) Y = 0 (34) 上式称为特征方程. 由于反对称矩阵C 的存在, 其特征值可能是复数. 该问题是陀螺系统的 特征值问题. 相对无旋转情况, 其求解就困难得多. 本文采用集结法求解该特征值问题〔4〕. 3　算例与分析 　　首先计算矩形箱形等截面旋转梁的固有频率. 梁的几何和材料常数与文〔5〕的描述相同. 所得结果与文〔5〕对同一问题的计算结果相吻合 (表 1) , 说明本文方法是正确的. 图 3　桨叶的典型剖面 作为另一算例, 分析某型号直升机桨叶耦合振动固有特性; 桨叶剖面如图 3 所示. 该桨 叶展向长度为 3. 54 m , 根部简化为球形弹性铰和线性弹簧支撑. 计算结果同 602 所提供的参 考值基本吻合 (见表 2). 两者的差别主要是因为参考值是在忽略翘曲、耦合效应和陀螺力的影 响情况下获得的, 这个简化与实际有误差. 表 1　挥舞方向前两阶固有频率 转　　速8 ös- 1 Λ 挥舞一阶频率本　文　值Ξös- 1 Κ 文〔5〕值Κ 挥舞二阶频率本　文　值Ξös- 1 Κ 文〔5〕值Κ 0　 0 2. 834 9 3. 512 3. 516 17. 660 5 21. 88 22. 03 1. 614 4 2 3. 332 5 4. 128 4. 138 18. 123 0 22. 45 22. 61 3. 228 8 4 4. 500 9 5. 576 5. 587 19. 445 1 24. 07 24. 28 4. 843 2 6 5. 941 8 7. 361 7. 364 21. 468 3 26. 60 26. 83 6. 465 3 8 7. 461 5 9. 244 9. 261 24. 013 2 29. 75 30. 03 8. 072 0 10 9. 032 1 11. 190 11. 210 26. 927 4 33. 36 33. 70 9. 686 4 12 10. 622 3 13. 160 13. 170 30. 098 5 37. 29 37. 73 　　　　注: Λ和 Κ分别为无量纲转速和频率 943　第 3 期　　　　　　刘书田等: 复合材料旋翼桨叶耦合振动分析 © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 表 2　桨叶的自振频率 摆振 1 挥舞 1 挥舞 2 挥舞 3 摆振 2 挥舞 4 计算值 1ös 21. 389 37. 812 95. 000 177. 960 182. 740 285. 830 H z 3. 404 6. 020 15. 120 28. 320 29. 080 45. 490 参考值 H z 3. 538 6. 660 16. 660 30. 430 28. 880 47. 280 参　考　文　献 1　Hodges H. R eview of compo site ro to r b lade modeling. A IAA J, 1990, 28: 561～ 565 2　Giavo tto V , Bo rriM , M an tegazza P, et a l. A n iso trop ic beam theo ry and app licat ions. Com put Struct, 1983, 16: 403～ 413 3　顾元宪, 程耿东等. 各向异性非均质梁弹性分析的有限元方法. 见: 李顺林编. 第八届全国复合材料学术 会议文集. 北京: 航空工业出版社, 1994. 1111～ 1117 4　Q ian L X. A n o rder2reduction m ethod fo r ex tract ion of eigenvalues of dynam ic system s. Com put Struct, 1995, 54 (6) : 1099～ 1103 5　Bauchau O A , Hong Chang2H ee. F in ite elem en t app roach to ro to r b lade modeling. J Am er ican Hel icopter Soc iety, 1987. 60～ 67 Coupl ing dynam ic ana lys is of com posite rotor blade L iu Shu t ian, Gu Yuanx ian, Cheng Gengdong ( R es. In st. of Eng. M ech. , D alian U n iv. of T echno l. , Ch ina ) Abstract　T he fin ite elem en t fo rm u la t ion is p resen ted fo r the coup ling dynam ic p rob lem of ro to r b lades w ith the effect of gyro scop ic fo rces. T he an iso trop ic beam theo ry u sed includes the effects of the cro ss2sect ion w arp ing and coup ling defo rm at ion s on the st iffness of cro ss2 sect ion and on the dynam ic p ropert ies of the beam. T he shape funct ion of beam elem en t is taken as the sta t ic so lu t ion of beam , w h ich is help fu l to the im p rovem en t of accu racy. T he com pu ted frequencies of a box beam and a helicop ter ro to r b lade are in good agreem en t w ith the reference va lues, w h ich im p lies tha t the p resen t m ethod is co rrect. Key W ords: dynam ic ana lysis; ro to r b lade; w arp ing; com po site m ateria ls; f in ite ele2 m en t m ethodöcoup ling defo rm at ion 053 大 连 理 工 大 学 学 报 　　　　　　　　　　　第 37 卷　 © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. 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