小学数学竞赛学习材料(六年级寒假)

小学数学竞赛学习材料 六年级寒假 第一讲　　速算与巧算 当一道计算 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 看起来比较复杂时，首先要认真观察算式的特点，看看能不能运用计算定律、性质使计算简便，同时还要分析算式中的数据，看看有没有什么规律可供利用。 例1　计算： ＝？(2001年全国小学数学奥林匹克决赛题) 解：认真观察算式的特点发现： (1)分子和分母都是由5项组成，每项又都是3个自然数的连乘积； (2)分子第二项的每个因数，分别是第一项每个因数的2倍，第三项的每个因数，分别是第一项每个因数的3倍，……； (3)分母第二项的每个因数，分别是第一项每个因数的2倍，第三项的每个因数，分别是第一项每个因数的3倍，……。 于是分子可以提出公因式1×3×5，分母可以提出公因式1×2×3。这样就找到了巧算的方法： 原式＝ ＝ ＝ 。 例2　计算　 。（吉林省第九届小学数学邀请赛试题） 解：观察发现，如果把分母中2004×2005的2004变成2003＋1，就会出现与分子相同的部分，于是 原式＝ ＝ ＝ ＝1。 例3　计算　1994＋ －1 ＋2 －3 ＋4 －5 ＋…＋1992 －1993 。(第六届《小学生数学报》数学竞赛决赛题) 解：首先把整数和分数分别计算： 原式＝(1994－1＋2－3＋4－…＋1992－1993)＋( － ＋ － ＋…＋ － ) 观察发现，两个括号里各有1994项。 1994－1＋2－3＋4－…＋1992－1993＝(2－1)＋(4－3)＋…＋(1994－1993)＝1×(1994÷2)＝997 　 － ＋ － ＋…＋ － ＝( － )×997＝166 原式＝997＋166 ＝1163 例4　计算　（ ＋ ＋ ）÷ 。 解：观察发现，算式具有极为鲜明的特点，就是被除式和除式都与 有密切的联系，由此想到，如果根据商不变性质，用 同时除一下被除式和除式，一定会使算式简化。于是 原式＝［（ ＋ ＋ ）÷ ］÷（ ÷ ） ＝［（ ÷ ＋ ÷ ＋ ÷ ）］÷（ ÷ ） ＝［（1＋ ＋ ）］÷ ＝3÷1＝3。 练　习　一 1．计算　 。(第五届《小学生数学报》数学竞赛决赛题) 　　2．计算　 。（吉林省第九届小学数学邀请赛试题） 　　3．计算　73 ÷8＋44 ÷43。（吉林省第九届小学数学邀请赛试题） 4．计算　85 × ＋71 × ＋56 × 。（陈省身小学数学邀请赛试题） 5．(10.5×11.7×57×85)÷(1.7×1.9×5×7×9×11×13×15)＝？(2002年全国奥赛预赛题) 　　6. 4×5 ＋5×6 ＋6×7 ＋7×8 ＋8×9 ＝？(2002年全国小学数学奥林匹克预赛题) 7．计算：(1×2×3×4×…×9×10×11)÷(27×25×24×22)＝？(2002年全国小学数学奥林匹克预赛题) 　　8．计算：3.6×42.3×3.75－12.5×0.423×28＝？(2002年全国小学数学奥林匹克预赛题) 　　9．计算：(8.4×0.25＋9.7)÷(1.05÷15＋84÷2.8)＝？(2002年全国小学数学奥林匹克决赛题) 10．(8.4×2.5＋9.7)÷(1.05÷1.5＋8.4÷0.28)＝？(2002年全国小学数学奥林匹克决赛题) 11．[(5 －4.25)× ]÷ ＋3.3÷1 ＝？(2002年全国小学数学奥林匹克决赛题) 12. 1 ×(3 －1 )×0.7×28 ＝？(九章杯数学竞赛初赛题) 第二讲　　速算与巧算（二） 例1　计算　 ＋ ＋ ＋ ＋…＋ 。(第三届《小学生数学报》数学竞赛决赛题) 解：观察发现，这道题与上学期我们学过的“裂项相消法”极其类似，为了找到巧算的方法，任意取出一项来研究，比如第二项 ，首先想到这个分数会不会与 和 有什么内在联系， － ＝ 。再取出 ， － ＝ 。于是想到下面的巧算方法： 原式＝ ×( ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ) ＝ ×(1－ ＋ － ＋ － ＋ － ＋…＋ － ) ＝ 例2　计算　 ＋ ＋ ＋…＋ 。（吉林省第九届小学数学邀请赛试题） 解：这道题与例1有相似的结构，很自然地想到，是否也可以用“裂项相消法”。试算发现， ＝ － ， ＝ － ，果然有可以相互抵消的部分。于是， 原式＝（ － ）＋（ － ）＋（ － ）＋…＋（ － ） ＝ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ － ＝1＋ － － ＝1 。 例3　计算　 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 。（吉林省第九届小学数学邀请赛试题） 解：观察发现，只要给各项的分子先减去1，再加上1，就能分离出与分母相同的部分，使算式简化。于是 原式＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝1＋ ＋1＋ ＋1＋ ＋1＋ ＋1＋ ＋1＋ 。 进一步观察又发现，32－1＝8＝2×4，52－1＝24＝4×6，……于是， 原式＝6＋（ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ） ＝6＋（ － ＋ － ＋…＋ － ）＝6＋（ － ）＝6 。 　　例4　计算　1 ＋2 ＋4 ＋8 ＋16 ＋32 ＋64 ＋128 ＋256 ＋512 。（陈省身小学数学邀请赛试题） 解：观察发现，相邻两个分数的整数部分，后一个数是前一个数的2倍；相邻两个分数的分数部分，后一个数是前一个数的 。于是想到： 如果给整数部分再加上1,与原有的1合成2，再与原有的2合成4，……依次类推，最后得到2个512，等于1024，所以，原来的整数部分应该是1024－1＝1023；如果给分数部分再加上 ，与原有的 合成 ，再与原有的 合成 ，……依次类推，最后得到2个 ，等于1，所以原来的分数部分应该是1－ ＝ 。因此，原式的得数是1023 。 原式＝（1＋1＋2＋4＋8＋16＋32＋64＋128＋256＋512－1）＋（ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ － ） ＝（512×2－1）＋（ ×2－ ）＝1023＋ ＝1023 。 练　习　二 1．计算： ＋ ＋ ＋ ＋ 。(哈尔滨数学竞赛题) 2．计算　1＋3 ＋5 ＋7 ＋9 ＋11 。(1998年南京市数学竞赛决定题) 3．计算　[( － ＋ － ＋ )－3 ]÷ 。(“六一杯”小学数学竞赛题) 　　4．计算　 ＋ ＋ ＋ ＋ 。（吉林省第九届小学数学邀请赛试题） 　　5．计算 ＋ ＋ ＋ 。（吉林省第九届小学数学邀请赛试题） 　　6．计算　 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 。（吉林省第九届小学数学邀请赛试题） 　　7．计算　 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 。（陈省身小学数学邀请赛试题） 　　8．计算　 ＋ ＋ ＋…＋ 。（2004年浙江省小学数学竞赛试题） 9．计算　 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 。（吉林省第九届小学数学邀请赛试题） 　　10．计算　 ＋ ＋…＋ 。（吉林省第九届小学数学邀请赛试题） 　　11．计算　 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 。（吉林省第九届小学数学邀请赛试题） 　　12．计算： ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝？(2001年全国奥赛预赛题) 第三讲　　数列与数表 　　例1　计算： ＝　　　。(2001年全国奥赛预赛题) 解：经验告诉我们，象分母这样的数列的和，总是等于中心数的平方。如1＋2＋1＝22，1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，所以，分母＝102。分子＝(22－12)＋(42－32)＋…＋(1002－992)。这里要用到一个公式：a2－b2＝(a＋b)×(a－b)，给a、b不同的数值，很容易验证它的正确性。所以，分子＝(2＋1)×(2－1)＋(4＋3)×(4－3)＋…＋(100＋99)×(100－99)＝3＋7＋11＋…＋199，根据等差数列的求和公式，分子＝ ＝101×50。原式＝ ＝ ＝50 。 例2　将14个互不相同的自然数从小到大排成一列，已知其总和为170，如果去掉最大的数和最小的数，那么剩下的数的总和为150，原来第二个数是　　　　。(1989年全国奥赛决赛题) 解：由题意可知最大数与最小数之和为170－150＝20，所以最大数不超过19。如果是19，去掉最大数和最小数后剩下的12个数的和是7＋8＋9＋…＋18＝ ＝150，满足要求；当最大数小于19，其余12个数的和小于150，不符合题意。所以原数列的第二个数是7。 　　例3　把63表示成几个连续自然数的和，不同的方法有　　　　种。 解：(1)显然63＝31＋32； (2)因为63＝21×3，所以，可以把63表示成3个连续自然数的和，其中间数为21，于是，63＝20＋21＋22； (3)因为63＝9×7，所以，63＝6＋7＋8＋9＋10＋11＋12； (4)因为63＝7×9，所以，63＝3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11。 因此，把63表示成几个连续自然数的和，一共有4种不同方法。 　　例4　北京的小朋友小京将自然数1～2008按以下格式排列： 　　　　　　　　　　　1　　2　　3　　4　　5　　6　　7 　　　　　　　　　　　8　　9　 10 11 12 13 14 　　 　　 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 　　 29 30 31 32 33 34 35 　　 … … … … … … … 他请上海的小朋友小沪用3×4(3行4列)的长方形框出12个数，使它们的和是2010。那么这12个数中最大的数是多少？(2003年小学数学奥林匹克预赛题) 解：设最大的数是x。x＋(x－1)＋(x－2)＋(x－3)＋(x－7)＋(x－8)＋(x－9)＋(x－10)＋(x－14)＋(x－15)＋(x－16)＋(x－17)＝2010, 12x－102＝2010，x＝176。 练　习　三 1．将210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么第一个数A与第六个数B分别是多少？(1991年全国奥赛预赛题) 　　2．电视台要播放30集电视连续剧。如果要求每天安排播出的集数互不相等，该电视连续剧最多可以播多少天？(第四届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛题) 3．黑板上写着从1开始的若干个连续自然数，擦去其中的一个后，其余各数的平均数是35 ，擦去的数是多少？(2001年全国奥赛预赛题) 4. 有若干人的年龄的和是4476岁, 其中年龄最大的不超过79岁, 最小的不低于30岁, 而年龄相同的人不超过3人, 那么，这些人中至少有多少位老年人(年龄不低于 60 岁的为老年人)? (2001 年全国奥赛预赛题) 　　5．有一串分数 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…，其中第2001个分数是多少？(2001年全国奥赛预赛题) 　　6．某同学把他最喜爱的 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 顺序编号为1, 2，3，…，所有编号之和是100的倍数且小于1000，他编号的最大数是多少？(2002年全国奥赛预赛题) 　　7．根据下表的8×8方格盘中已经填好的左下角4×4个方格中数字显示的规律，找出方格盘中a与b的数值，并计算其和，a＋b＝？(2001年全国奥赛决赛题) b 　　　　　　　　　　　　10 14 19 25 　　 　　　　　　　　　　　 6 9 13 18 3 5 8 12 a 1 2 4 7 　　8．把 1～1001 各数按下面的格式排列。用一个长方形框出九个数, 这九个数的和能不能等于1986, 2529, 1989? 如果能,写出方框里最大的数和最小的数。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 ┆ ┆ ┆ ┆ ┆ ┆ ┆ 995 996 997 998 999 1000 1001 9．把自然数排成 A、B、C、D 四组如下表: A 1 8 9 16 … B 2 7 10 15 … C 3 6 11 14 … D 4 5 12 13 … (1) 77 在哪一组? (2) 1～135有几个数排在A组? (3) C组中第56个数是几? 10．把自然数按顺序排成下面的样子，24、27、42、63、100 分别在第几行第几列？ 　 1 2 3 4 　　 　 8 7 6 5 　　 　 9 10 11 12 　　 　16 15 14 13 　　　　　　　 　　　 　　…… 　　11. 把自然数有规律地排成下表： 　　　 A 1 6 7 12 …… 　 　 B 2 5 8 11 …… 　　　 C 3 4 9 10 …… (1) 到200为止，A组有几数？(2) 73在哪一组？三位数的积？(3) C组第45个数是几？ 　　12．有10个等式： 1＋2＝3 　　　　　　　　　　　　　4＋5＋6＝7＋8 　9＋10＋11＋12＝13＋14＋15 　 …… 　　第10个等式的左右两边的和都是多少？(上海市小学数学竞赛题) 第四讲　　和差、和倍与差倍问题 例1　学校图书室有520本不是故事书，有500本不是科技书，已知故事书与科技书一共有700本，问图书室里一共有多少本书？(天津市数学竞赛题) 　　解：认真分析“有520本不是故事书”和“有500本不是科技书”后悟出，原来科技书比故事书多520－500＝20(本)，而故事书与科技书一共有700本，于是想到，如果故事书增加20本，就和科技书同样多，所以科技书有(700＋20)÷2＝360(本)；如果科技书减少20本，就和故事同样多，所以故事书有(700－20)÷2＝340(本)。这样一来，把故事书的本数和不是故事的本数合起来，就能得到图书室共有图书340＋520＝860(本)。当然用科技书的本数加上不是科技书的本数，也能得到总的本数。 答：图书室里一共有图书860本。 在解题过程中遇到了已知两个数的和与差求这两个数的问题，这样的问题叫“和差问题”。和差问题的数量关系是: (和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数 例2　甲、乙、丙三个数的和是100, 无论甲数除以乙数还是乙数除以丙数, 都是商5余1, 求这三个数。 解：如果把丙数看作1倍, 乙数就是5倍加 1, 甲数就是5倍加1的5倍加1, 即25倍加6, 所以从100中减去比整倍数多的1和6，剩下的就相当于丙数的1＋5＋25＝31倍，于是丙数是(100－1－6)÷31＝3, 乙数是 3×5＋1＝16, 甲数是16×5＋1＝81。 答：甲数是81，乙数是16，丙数是3。 在解题过程中遇到了已知几个数的和与倍数和，求这几个数的问题，这类问题叫“和倍问题”。和倍问题的数量关系是： 数量和÷倍数和＝一倍数 例3　李师傅某天生产一批零件，他把它们分成了甲、乙两堆。如果从甲堆零件中拿出15个放到乙堆中，则两堆零件的个数相等；如果从乙堆零件中拿出15个放到甲堆中，则甲堆零件的个数是乙堆的3倍。那么，甲堆原来有零件多少个？李师傅这一天共生产了零件多少个？(北京市第十二届迎春杯数学竞赛题) 　　解：原来甲堆比乙堆多15×2＝30(个)，乙堆给甲15个后，甲堆比乙堆多30＋15×2＝60(个)，正好是乙堆的3倍，甲堆比乙堆多的部分正好是乙的3－1＝2倍，所以乙堆这时有60÷2＝30(个)，原来有30＋15＝45(个)零件，甲堆原来有45＋30＝75(个)零件。李师傅这一天共生产了45＋75＝120(个)零件。 答：甲堆原来有零件75个，李师傅这一天共生产零件120个。 在解题过程中遇到了已知两个数的差与倍数差，求这两个数的问题，这类问题叫“差倍问题”。差倍问题的数量关系是: 数量差÷倍数差＝一倍数 例4　箱子里装了一些乒乓球和羽毛球，乒乓球的个数是羽毛球的2倍。每次取出8个乒乓球和5个羽毛球，取了几次以后，羽毛球没有了，乒乓球还剩12个。乒乓球和羽毛球各有多少个？ 解法一：如果每次取出的乒乓球保持是羽毛球的2倍，乒乓球就不会有剩余，现在每次少取了5×2－8＝2(个)，最后剩下12个， 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 取了12÷2＝6(次)。羽毛球有5×6＝30(个)，乒乓球有8×6＋12＝60(个)。 解法二：设取了x次。2×5x－8x＝12　x＝6。羽毛球有5×6＝30(个)，乒乓球有8×6＋12＝60(个)。 答：乒乓球有60个，羽毛球有30个。 练　习　四 1．一架照相机和它的皮套共100元，这架照相机比皮套贵90元，问皮套多少钱？(1983年美国小学数学奥林匹克竞赛题) 　2. 已知被减数、减数与差的和是169，减数比差大15.5，减数是多少？ 3．一个四位数, 千位数比个位数多3, 交换千位数和个位数得到另一个四位数, 已知这两个四位数的和是14593, 原来的四位数是多少? 4．五年级一班同学参加学校植树活动，派男、女生共12人去取树苗，如果男同学每人拿3棵，女同学每人拿2棵，正好全部取完；如果男、女生人数调换一下，就还差2棵不能取回。原来男女生各多少人(天津市数学竞赛题) 　5．“火树银花楼七层，层层红灯倍加增，共有红灯三八一，试问四层几红灯？”(第七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛题) 　　6．师傅和徒弟一起加工零件，每天加工的零件之和一样多，第一天师傅加工的零件是徒弟的5倍，第二天徒弟比师傅多加工2个，如果徒弟再加工9个，那么他加工的零件就是他第一天加工的4倍。第二天师傅加工零件多少个？（吉林省第九届小学数学邀请赛试题） 　　7．水果店出售甲、乙两筐苹果。甲筐比乙筐重48千克。由于甲筐苹果很受欢迎，每天卖出的数量是乙筐的2倍，4天后，两筐苹果的剩下的重量恰好相等。甲筐每天比乙筐多卖出多少苹果？ 　　8．盒子里有红球和白球若干个。如果每次拿出1个红球和1个白球，那么当拿到没有红球时，还剩下50个白球；如果每次拿出1个红球和3个白球，那么当拿到没有白球时，还剩下50个红球。盒子里有红球和白球各多少个？ 　　9．公驴和母驴各驮着若干袋粮食赶路，母驴不知道自己身上驮了多少袋粮食，自认为比公驴驮的多，就抱怨说：“我驮的粮食太多了，几乎要把我压垮了。”公驴说：“你驮的并不多啊！假如从你背上拿1袋粮食给我，那么我驮的粮食袋数就是你的2倍。相反，如果从我背上拿1袋粮食给你，那么我们驮的粮食袋数相等。”听公驴这么一说，母驴算了一下，知道自己并没有多驮，也就不再抱怨了。你知道公驴和母驴各驮了多少袋粮食吗？ 　10．甲、乙、丙三所小学学生人数的总和为1999人，已知甲校学生人数的2倍，乙校学生人数减去3人与丙校学生人数加上4人都相等的。问：甲、乙、丙三所小学的学生人数分别是多少？(第七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛题) 11．小明、小红和小玲共有73块糖，如果小玲吃掉3块，小红与小玲的糖就一样多；如果小红给小明2块，小明的糖就是小红的糖的2倍。那么，小红原来有多少块？(1995年全国小学数学奥林匹克预赛题) 12．两数相除，商4余8，被除数、除数、商、余数四数之和等于415，则被除数是多少？(2002年全国小学数学奥林匹克预赛题) 第五讲　　盈亏、置换与还原问题 例1　买来一批苹果，分给幼儿园大班的小朋友。如果每人分5个，那么苹果还余32个；如果每人分8个，那么还有5个小朋友分不到苹果。这批苹果有多少个？(1998年全国小学数学奥林匹克预赛题) 解法一：变更每人分苹果的个数以后，苹果从有剩余到不够分，相差32＋8×5＝72(个)，这是由于每人多分了8－5＝3(个)的缘故，所以幼儿园大班有小朋友72÷3＝24(人)。如果按第一种分法，分了5×24＝120(个)以后，还剩32个苹果，说明原来有苹果120＋32＝152(个)；或者按第二种分法，只有24－5＝19(个)小朋友分到了苹果，说明苹果的总数也是8×19＝152(个)。 解法二：设幼儿园大班有x个小朋友。 　　　　　　　 　　　　5x＋32＝8x－5×8 　　　　　　　　　　　　　 3x＝72 x＝24　　　　24×5＋32＝152(个) 　　答：这批苹果的个数是152。 上面在解题过程中遇到了时而剩余也就是“盈”，时而不足也就是“亏”的问题，含有这类数量关系的问题, 叫做“盈亏问题”。解答盈亏问题, 关键是要找出两个对应的差。如上题就是先求出两次分苹果的总差数和每人所分苹果数量的差数, 再根据这两个差数求出人数来的。 例2 李老师用27.6元买了45本日记本和练习本, 日记本每本1.28 元, 练习本每本0.28元。两种本各买了多少本? 解法一: 两种物品混在一起不好考虑, 不妨假设所买的45本全是日记本, 就需要1.28×45＝57.6(元), 比原来多花57.6－27.6＝30(元)。然后用日记本换练习本, 每换一本可以少花1.28－0.28＝1(元), 直到把需要少花的钱换完, 一共换了30÷1＝30(本)练习本, 也就是原来买了30本练习本, 买了45－30＝15(本)练习本。 解法二：假设45本全是练习本, 只需要0.28×45＝12.6(元), 比原来少花27.6－12.6＝15(元)。然后用练习本换日记本, 每换一本要多花1.28－0.28＝1(元), 直到把需要多花的钱换完, 一共换了15÷1＝15(本)日记本, 也就是原来买了15本日记本, 买了45－15＝30(本)练习本。 解法三：设买了x本日记本，笔记本就是45－x本。 　　　　　1.28x＋0.28×(45－x)＝27.6 　　　　　　1.28x－0.28x＋12.6＝27.6 　　　　　　　　　　　　　　 x＝15　　45－x＝45－15＝30(本)。 答：买日记本15本、练习本30本。 上面在解题过程中遇到了需要置换的问题，这样的问题叫做“置换问题”。解答置换问题, 首先要用假设的方法形成一个差, 再找到和它对应的另一个差。如上题首先从假设情况出发, 形成与实际情况总价的差, 再找到和它对应的两种物品单价的差，才能最终解决问题。 例3　苹果和梨各有若干只，如果5只苹果和3只梨装一袋，则还多4只苹果时梨恰好装完；如果7只苹果和3只梨装一袋，则苹果恰好装完时，梨还多12只。那么苹果和梨共有多少只？(1996年全国小学数学奥林匹克预赛题) 解：因为两次每袋都是装3只梨，而第二次剩了12只梨，说明第二次比第一次少用了12÷3＝4(个)袋子。 设第一次用了x个袋子，第二次就用了x－4个袋子。 　　　　 　 (5＋3)x＋4＝(7＋3)×(x－4)＋12 8x＋4＝10x－40＋12 2x＝32 x＝16 所以，苹果和梨共有(5＋3)×16＋4＝132(只)。 答：苹果和梨共有132只。 例4　在电脑中输入一个整数，它会按如下的指令进行运算：如果输入的是偶数，那么就把这个数除以2；如果输入的是奇数，那么就给这个数加上3，然后对得数也同样处理，并且要进行三次计算。如果最后的得数是27，那么原来输入的数可能是多少？ 解：可以倒过来想。第三次运算前的数只能数是27×2＝54，而不会是27－3＝24，因为24是偶数，不应该进行加3的操作；第二次运算前的数可能是54×2＝108，或者54－3＝51；第一次运算前的数可能是108×2＝216，也可能是108－3＝105，还可能是51×2＝102，而不会是51－3＝48，因为48是偶数，不应该进行加3的操作。所以原来输入的数可能是216、105或102。 　　象这样的问题, 叫做“还原问题”。解答还原问题, 可以从最后的结果入手, 倒回去想, 根据四则运算间的互逆关系, 就能求出最初的数。 练　习　五 1. 张老师临下班前还在为同学们批改作业, 如果每分钟改5道题, 要晚下班4分钟；如果每分钟改8道题, 下班前5分钟就可以改完。同学们的作业总共有多少道题? 2．一辆汽车从A地开往B地，如果每小时行80千米，则可提前0.5小时到达；如果每小时行60千米，将晚点0.5小时。问正点到达需要多少小时？A、B两地相距多少千米？ 3．幼儿园将一筐苹果分给小朋友。如果分给大班的小朋友每人5个则余10个；如果分给小班的小朋友每人8个则缺2个。已知大班比小班多3个小朋友，这一筐苹果共有多少个？ 4．学校分配宿舍，如果每个房间住3人，则多出20人；如果每个房间住6人，则余下2人可以每人住一个房间。现在每个房间住10人，可以空出个房间。(1999年哈尔滨小学数学竞赛题) 5. 一辆汽车参加拉力赛, 9天行了5000km。晴天平均每天行688km, 雨天平均每天行390km, 这期间有几天是雨天? 6．用大、小两台水泵抽水，小水泵抽6小时，大水泵抽8小时，共抽水312立方米。已知小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量。两台水泵每小时各抽水多少立方米？ 　　7．小华从家到学校，步行一段路后开始跑步。他步行的速度是每分钟30m，跑步的速度是每分钟70m。步行时间比跑步时间多4分钟，但是步行的距离却比跑步的距离少200m。那么从他家到学校的距离是多少米？ 8．学校组织学生种树。三年级学生和六年级学生共有120人参加，三年级学生两人种一棵，六年级学生每人种两棵，两个年级一共种了180棵树。问三年级和六年级各有多少人？ 9．犀牛、羚羊、孔雀三种动物共有头26个，脚80只，犄角20只。已知犀牛有4只脚、1只犄角，羚羊有4只脚、2只犄角，孔雀有2只脚。问犀牛、羚羊、孔雀各多少只？ 10. 有一个数, 先把它扩大3倍再增加100, 再缩小2倍减少36得50, 这个数是多少？ 11．12加上24，减去20；再加上24，减去20；如此下去，至少要经过多少次运算，才能得到100？ 12. 将8个数从左到右排成一行，从第3个数开始，每个数都恰好等于它前面两个数的和。如果第7个数与第8个数分别是81, 131，那么第1个数是多少？(1993年全国小学数学奥林匹克初赛题) 第六讲　　年龄、植树与消去问题 例1　姐姐现在的年龄是弟弟当年年龄的4倍，姐姐当年的年龄和弟弟现在的年龄相同，姐姐与弟弟现在的年龄和为26岁，则弟弟现在的年龄是多少岁？(2002年全国小学数学奥林匹克预赛题) 　　解法一：因为姐姐当年的年龄和弟弟现在的年龄相同，所以姐姐现在的年龄与弟弟当年年龄的差里面，包含姐弟年龄差的2倍。而姐姐现在的年龄与弟弟当年年龄的差，又是弟弟当年年龄的4－1＝3倍。据此可以画出下面的示意图： 　　　　　　　　　　　　弟弟当　　　　姐姐当年年龄　　　　姐姐现 　　　　　　　　　　　　年年龄　　　 弟弟现在年龄　　　　在年龄 　　姐姐现在的年龄是8份，弟弟现在的年龄是5份。弟弟现在的年龄是26÷(8＋5)×5＝10(岁)。 　　解法二：设弟弟当年x岁，姐姐现在就是4x岁。设姐弟年龄的差是y岁。列出方程组： 　　　　　　　　　　　　4x＋(x＋y)＝26　　　　　　① 　　　　　　　　　　　　2y＝3x　　　　　　　　　　② 根据①, 5x＋y＝26。根据②，y＝ x。把y代入前式，得x＝4，于是y＝6。弟弟现在的年龄是4＋6＝10(岁)。 答：弟弟现在的年龄是10岁。 象上面这样涉及年龄的问题，叫做“年龄问题”。解答年龄问题，关键是要处理好年龄差，因为两个人的年龄差是不随时间的改变而改变的。 例2　小红跟妈妈在马路边散步，路边均匀地栽着一行树，她们从第1棵树走到第22棵树用了7分钟，然后她们又往前走了几棵树后就往回走，当她们回到第5棵树时一共用了28分钟，那么小红是跟妈妈散步走到第几棵树时开始往回走的？ 　　解：从第1棵树走到第22棵树共走了22－1＝20(个)间隔，平均每分钟走21÷7＝3(个)间隔。她们一共走了28分钟，走了3×28＝84(个)间隔。这时她们走到第5棵树，离第1棵树还有5－1＝4(个)间隔，说明如果她们走一个来回要走84＋4＝88(个)间隔，这就是说，去的时候走了88÷2＝44(个)间隔，所以她们是走到第44＋1＝45(棵)树时开始往回走的。 象上面这样的问题, 叫做“植树问题”。解答植树问题的关键，是要处理好间隔数与棵数的关系。 例3 大盒放有若干支同样的钢笔，小盒放有若干支同样的圆珠笔，两盒笔的总价相等。如果从大盒取出8支钢笔放入小盒，从小盒取出10支圆珠笔放入大盒，必须在大盒中再添两支同样的钢笔，两盒笔的总价才相等；如果从大盒取出10支钢笔放入小盒，从小盒取出8支圆珠笔放入大盒，那么大盒内笔的总价比小盒少44元。每支钢笔多少元？ 解：前一种换法说明，如果大盒少给小盒1支钢笔，交换后两盒笔的总价就会相等，由此得到：7支钢笔＝10支圆珠笔(式①)；后一种换法说明，10支钢笔的总价比8支圆珠笔的总价多44÷2＝22(元)，于是得到：10支钢笔－8支圆珠笔＝22元(式②)；由式①可得，1支圆珠笔＝0.7支钢笔(式③)；把③式代入②式可得，10支钢笔－5.6支钢笔＝22元(式④)；于是，1支钢笔22÷(10－5.6)＝5(元)。 象上面这样的问题, 叫做“消去问题”。解答消去问题的关键是, 要认真观察已知条件, 先设法消去一种量, 使问题简化。 　　例4　冯老师每天早上做户外运动，第一天他跑步2000m，散步1000m，共用24分钟；第二天他跑步3000m，散步500m，共用22分钟。如果他跑步和散步的速度不变，求冯老师跑步的速度。 解法一：根据第一天的情况，如果他跑步1000m、散步500m，只要24÷2＝12(分钟)，再与第三天的情况对比，他跑步的速度是每分钟(3000－1000)÷(22－12)＝200(m)。 解法二：根据第二天的情况，如果他跑步6000m、散步1000m，就要22×2＝44(分钟)，再与第三天的情况对比，他跑步的速度是每分钟(6000－2000)÷(44－24)＝200(m)。 答：他跑步的速度是每分钟200m。 练　习　六 1．祖父今年75岁，三个孙子的年龄分别是17岁、15岁、13岁，问：多少年后，三个孙子的年龄之和正好等于祖父的年龄？(1999年吉林省数学竞赛题) 2．今年父亲与两个儿子年龄和相加是84岁，12年后父亲的年龄正好等于两个儿子年龄之和。父亲今年多少岁？(1998湖北省黄冈市数学竞赛题) 3．一个人2000年时的岁数正好等于他出生年份数字之和，这时他多少岁？(2000年全国奥赛预赛题) 4．今年小刚的3倍与小芳年龄的5倍相等，10年后小刚年龄的4倍与小芳年龄的5倍相等。小刚今年多少岁？(2001年全国小学数学奥林匹克奥赛预赛题) 　　5．兄弟俩都有点傻, 以为只有自己过一年长一岁而别人不会长大。有一天, 哥哥对弟弟说：“再过5年我的年龄就是你的2倍。”弟弟说:“不对, 再过5年我和你一样大。”这时他们俩各几岁? 6．“重阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶。他们的年龄恰好是25个连续自然数，并且两年后这25位老人年龄之和又正好是2000岁。其中年龄最大的多少岁？(第五届《小学生数学报》数学竞赛决赛题) 7．今年，小明父母亲年龄之和是小明的6倍。4年后，小明父母亲年龄之和是小明的5倍。已知小明的父亲比母亲大2岁。那么，今年小明的父亲多少岁？(北京市第十届迎春杯数学竞赛题) 　　8. 在100长的河堤上每隔1m 种1棵柳树，然后在每两棵柳树中间种1棵杨树，接着在每棵杨树和柳树中间种1棵槐树。那么这个河堤上一共种了多少棵树？ 9．有一个报时钟，每敲响一下声音可持续3秒钟。如果敲响6下，那么从敲响第一下到最后一下声音结束，一共需要43秒钟。那么如果敲响12下，从敲响第1下到第12下的声音结束，一共需要多长时间？ 10．有一栋楼，每层的台阶数相同。如果从第一层到第四层一共是48个台阶，那么当小红从第一层开始到跨上第144个台阶时，她处在第几层？(北京市第十一届“迎春杯”数学竞赛题) 11．科学家做一项试验，每隔5小时做一次记录。做第十二次记录时，挂钟时针恰好指向9，那么做第一次记录时，挂钟时针指向几？(第一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题) 12．池塘的周围栽了一些树，小明和小红沿同一方向绕池塘散步，边走边数树的棵数。由于两人的出发点不同，因此小明数的第20棵是小红数的第7棵；小明数的第7棵是小红数的第94棵。那么池塘四周栽了多少棵树？ 第七讲　　综合练习(一) 1．计算： －(0.875× ＋1÷6.5÷8)×1 ＝　　　　。 2．计算： ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＝　　　　。 3．计算：1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋1999×2000＝　　　　。 4．计算　 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝　　　　。 5．张老师用66元钱买了红、蓝铅笔若干支，已知蓝铅笔比红铅笔多30支，每支红铅笔0.4元，每支蓝铅笔0.8元。张老师共买了　　　　支铅笔。 6．小刚进行珠算加法练习，用1＋2＋3＋…，当加到某个数时，和是1000。在验算时发现重复加了某一个数，这个数是　　　　。 7．有一堆黑、白棋子，黑子的个数是白子的2倍。现在从这堆棋子中每次取出5枚黑子、3枚白子，取了若干次以后，白子全部取尽，黑子还剩10枚。那么原来黑子有　　　　枚，白子有　　　　枚。 8．幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果分给大班的小朋友，每人5个缺6个；如果分给小班的小朋友，每人4个余4个，已知大班比小班少2个小朋友。这一筐苹果共有　　　　个。 9．今年父亲的年龄是儿子的4倍，20年后，父亲的年龄是儿子的2倍。儿子今年　　　　岁。 10．袋子里有若干个球，小明每次取出其中的一半再放回一个，照这样一共做了5次，袋子里还有3个球。原来袋子里有　　　　个球。 11．某小学举行一次数学竞赛，共15道题， 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 必须全做，每做对一道题得8分，每做错一道题扣4分。小明共得了72分，他做对了　　　　道题。 12．有6只盒子，每只盒子里放有同一种笔。6只盒子所装笔的支枝数为17支、23支、33支、38支、49支、51支。在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔支数的2倍，钢笔支数是铅笔支数的 ，只有一只盒子里放的是水彩笔，这盒水彩笔共有　　　　支。 第八讲　　平均数问题 例 1 A、B、C、D、E五人在一次满分为100分的考试中，得分都是大于91分的整数，而且得分各不相同。如果A、B、C的平均成绩为95分，B、C、D的平均成绩为94分，A是第一名，E是第三名，得96分，那么D得了多少分？ 解：从A、B、C的平均成绩为95分，B、C、D的平均成绩为94分可知，A比D多得95×3－94×3＝3(分)。从第三名96分可知，A得98、99或100分。 　　(1)如果A得98分，D就是95分，B、C共得95×3－98＝187(分)，B、C只能是93分、94分，而E是第三名，得96分，这样就没有第二名，与题意不符； 　　(2)如果A得99分，D就是96分，而E已得96分，也与题意不符； (3)A只能是100分，D是97分，是第二名，B、C一共得95×3－100＝185(分)，B、C得92分、93分。 例 2 一次数学测验，六(1)班全体平均91分，男生平均89分，女生平均92.5分，这个班有女生24人，有男生多少人？(第一届“九章杯”数学竞赛题) 解法一：女生平均分比全班平均分高92.5－91＝1.5(分)，全体女生的总数比按平均分计算的总分多了1.5×24＝36(分)，正是这部分分数提高了男生的平均分，每个男生提高了91＝89(分)，说明全班有男生36÷2＝18(人)。 解法二：设男生有x人。 　　　　　　　　　　89x＋92.5×24＝91(x＋24) 　　　　　　　　　　　89x＋2220＝91x＋2184 　　　　　　　　　　　　　　 2x＝36 　　　　　　　　　　　　　　　x＝18 答：全班有男生18人。 例3　老师在黑板上写出了若干个从1开始的连续自然数1、2、3、…，后来擦掉了其中的一个数，剩下的数平均数是10.8。被擦掉的那个数是多少？ 解：如果擦掉的是最小数1，那么剩下的n－1个数就是：2、3、4、…、n，这n－1个数的平均数就是(2＋n)×(n－1)÷2÷(n－1)＝(2＋n)÷2； 如果擦掉的是最大数n，那么剩下的n－1个数就是：1、2、3、…、(n－1)，这n－1个数的平均数就是(1＋n－1)×(n－1)÷2÷(n－1)＝n÷2。 所以 ≤10.8≤ ，于是，19.6≤n≤21.6，因此n＝20或21。 如果n＝20，这20个数的和就是(1＋20)×20÷2＝210，擦去一个数后剩下19个数的和是10.8×19，得到一个小数，这是不可能的； 如果n＝21，这21个数的和就是(1＋21)×21÷2＝231，擦去一个数后剩下20个数的和是10.8×20＝216。 所以擦去的数是231－216＝15。 例4　图中的“○”里分别有五个数A、B、C、D、E，“□”里的数表示与它相连的所有“○”中的数的平均数。C＝？(第四届《小学生数学报》数学竞赛题) 　　　　　　　　　　　　　　　 3　　　　 7 　　　　　　　　　　　　　A　　B　　C　　D　　E 　　　　　　　　　　　　　　　　　　6 解：因为左边3个“○”里面数的和是3×3＝9，右边3个“○”里面的数的和是7×3＝21, 5个“○”里面的数的和是6×5＝30，可以列出： 　　　　　　　　A＋B＋C＝9　　　　　　　　① 　　　　　　　　C＋D＋E＝21　　　　　　　 ② 　　　　　　　　A＋B＋C＋D＋E＝30　　　　 ③ 观察发现，如果把等式①、②相加再减去等式③，得， (A＋B＋C)＋(C＋D＋E)－(A＋B＋C＋D＋E)＝9＋21－30，C＝0。 练　习　八 1．某8个数的平均数为50，如果把其中的一个数改为90，那么平均数就变成了60，问：被改动的数原来是多少？ 2．小芳期末考试，语文、数学、自然的平均成绩是93分，英语成绩加入以后，平均成绩上升了1分。问小芳英语的成绩是多少分？ 3．7个数的平均数是29，把这7个数排成一列，前3个数的平均数是25，后5个数的平均数是38。那么第三个数是多少？ 4．有4个少先队小队收集废品，甲、乙、丙3队平均每队收集24千克，乙、丙、丁3队平均每队收集26千克。已知丁队收集28千克，甲队收集多少千克？ 5．六(1)班有几个同学参加全年级数学竞赛，赛后总结时，芳芳说，如果她能再做对最后那道18分的题目，他们的平均分就会达到92分；媛媛说，她险些做错了一道6分的题目，否则他们的平均分就只有86分。这些同学共有几个人？ 6．科技小组有14名学生，进行小组测试时，有一名学生因病未能参加，其余学生的平均分是90分。后来这名学生参加了补考，补考的成绩比全组的平均成绩高6.5分。这名学生补考时得了多少分？ 7．在一次期中考试中，小明的英语成绩与数学成绩之和是194分，数学成绩与语文成绩之和是186分，语文成绩与英语成绩之和是180分。那么，小明的英语、数学、语文成绩到底各是多少分？ 8．有四个数，每次取出其中的三个数，算出它们的平均数，再加上另外一个数的一半，这样计算了四次，得到的四个数分别是22、25、34、39。那么，原来四个数的平均数是多少？ 　　9．有两组数，第一组16个数的和是98，第二组的平均数是11，两组中所有数的平均数是8，那么第二组有多少个数？(2002年全国小学数学奥林匹克决赛题) 　　10．六位同学数学考试的平均成绩是92.5分，他们的成绩是互不相同的整数，最高分是99分，最低分是76分，则按分数从高到低居第三位的同学至少得多少分？(2002年全国小学数学奥林匹克预赛题) 　　11．六一班吴家敏同学病了，同学们折纸鹤祝她早日康复。第三小组的同学平均每人折了76只。已知每人至少折了70只, 并且其中有一个同学折了88只, 如果不把这个同学计算在内, 那么平均每人折74只。折得最快的同学最多折了多少只? 12． 某地举办足球比赛, 要求各队在报名时必须如实填报每个队员的年龄(周岁), 再计算出全队的平均年龄。某队有12名队员,填报的平均年龄是24.78 岁, 经核查发现, 平均年龄的最后一位数字不对, 这支球队的平均年龄是多少岁? 第九讲　　行程问题 例 1 甲、乙二人在400m环形跑道上进行10000m赛跑，两人从起点同时、同向出发，开始时甲的速度为每秒8m，乙为每秒6m，当甲每次追到乙后，甲的速度每秒减少2m，乙的速度每秒减少0.5m，这样下去，直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始，两人都每秒增速0.5m，这样一直跑到终点。那么，领先者到达终点时，另一人距离终点多少米？(吉林省第九届小学数学邀请赛试题) 　　解：(1)甲第一次追上乙用了400÷(8－6)＝200(秒)，这时甲跑了8×200÷400＝4(圈)，乙跑了6×200÷400＝3(圈)； 　　(2)甲第二次追上乙用了400÷(6－5.5)＝800(秒)，这时甲又跑了6×800÷400＝12(圈)，共跑了4＋12＝16(圈)，乙又跑了5.5×800÷400＝11(圈)，共跑了3＋11＝14(圈)； 　　(3)乙第一次追上甲用了400÷(5－4)＝400(秒)，这时甲又跑了4×400÷400＝4(圈)，共跑了16＋4＝20(圈)，乙又跑了5×400÷400＝5(圈)，共跑了14＋5＝19(圈)； 　　(4)乙继续跑完全程用了(10000－400×19)÷5.5＝436 (秒)，乙同时又跑了4.5×436 ＝1963 (m)，离终点还有10000－400×20－1963 ＝36 (m)。 例 2 有个人沿公路步行，迎面来了一辆汽车，他问司机：“你后面有自行车吗？”司机答道：“10分钟前我超过一辆自行车。”这人继续向前走了10分钟，遇到了自行车。已知自行车的速度是步行　速度的3倍，问汽车的速度是步行速度多少倍？ 　　解：画出示意图： 步行10分钟　　　骑车10分钟　　　　　　　骑车10分钟 　　　　　　　　A　　 D B C 　　　　　　 汽车10分钟 　　设步行人在A点与汽车相遇，这时自行车在B点。10分钟前，汽车在C点超过自行车；10分钟后，步行人在D点与自行车相遇。在前10分钟，汽车的行程为AC，自行车的行程为BC；在后10分钟，自行车的行程为DB，步行人的行程为AD。因为自行车行驶BC、DB两段路程所用的时间都是10分钟，所以DB＝BC，DB∶AD＝自行车的速度∶步行速度＝3∶1，从而，DB＝BC＝3AD，AC＝AD＋DB＋BC＝7AD。因为步行人走AD这段路程和汽车行驶AC这段路程所用的时间都是10分钟，所以汽车速度∶步行速度＝AC∶AD＝7∶1，即汽车的速度是步行速度的7倍。 　　例3　一辆汽车往线路上运送电线杆，从出发地装车，每次拉4根，线路上每两根电线杆间距离为50m，共运了两次，装卸结束后返回原地共用了3小时，其中装一次车用30分钟，卸一根电线杆用5分钟，汽车运行的平均速度是每小时24km，则从出发点到第一根电线杆的距离是多少千米？(2002年全国奥赛预赛题) 　　解：在所用的3小时中，装车和卸电线杆用了30×2＋5×8＝100(分)，剩下的60×3－100＝80(分)，即1 小时为汽车的运行时间，共行了24×1　 ＝32(km)。如图，A为出发点，C为第一车终点。汽车第一次在A、C间 　　　　　　　　　　 A 　　　　　　　　　　B　C　　D 运行一个来回，第二次在A、D间运行一个来回，其中B、C间的一个来回与B、D间的一个来回共50×(3×2＋7×2)＝1000(m)，所以A、B间的距离，也就是从出发点到第一根电线杆的距离为(32－1)÷4＝7.75(km)。 例4　甲、乙、丙三人同时从A地出发去距A地100km的B地，甲与丙以每小时25km的速度乘车行进，而乙却以每小时5km的速度步行，过了一段时间后，丙下车改以每小时5km的速度步行，而甲驾车以原速折回，将乙载上而前往B地，这样甲、乙、丙三人同时到达B地，此旅程共用了多少小时？(2001年全国奥赛决赛题) 　　解：如图，乙步行的距离与丙步行的距离相等，设这段距离为x千米。 　　　　　　　 乙步行　　　　　　　　　　　 　　　丙步行 　　　　　　　　　　　　　　　　　甲 丙所用的时间为 ＋ ＝4＋ x。甲所用的时间为 ＝12－ x。根据三人同时到达，得出4＋ x＝12－ x，x＝25。于是甲所用的时间，也就是此旅程共用了12－ ×25＝8(小时)。 练　习　九 1．A、B两城相距240km，一辆汽车 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 用6小时从A城开到B城，汽车行驶了一半路程，因故障在中途停留了30分钟，如果要按原计划到达B城，汽车在后半段路程时速应加快多少？ 2．兄妹二人在周长30m的圆形水池边玩，他们从同一地点同时出发，背向绕水池而行。哥哥每秒走1.3m，妹妹每秒走1.2m，照这样计算，当他们第十次相遇时，妹妹还需要走多少米才能回到出发点？ 3．某人要到60km外的农场去，开始他以每小时5千米的速度步行，后来他搭乘一辆拖拉机到了农场，总共用了5.5小时。已知拖拉机每小时行18千米，他步行了多少千米？ 4．甲乙二人同时从A地骑车到B地去，甲每小时比乙快6km，8小时后甲到达B地立即返回，在距B地30km处与乙相遇。求A、B两地的距离。 5．一艘轮船第一天航行8小时, 第二天航行5小时, 虽然第二天每小时比第一天多行6km, 仍比第一天少行60km, 两天各航行多少千米? 6．上午8时，小明骑自行车上学，8时08分爸爸骑摩托车追他，在离空4km处追上他，爸爸返回家时天又下雨了，爸爸又骑摩托车追他送雨衣，再次追上时，恰好离家8km，这时是几时几分？(吉林省第九届小学数学邀请赛试题) 7．环形跑道周长800m，甲、乙两人同时同地逆时针沿环形跑道训练，甲每分钟跑100m，乙每分钟跑80m，甲、乙两人每跑200m休息1分钟，则甲追上乙需要多少分钟？(吉林省第九届小学数学邀请赛试题) 8．A、B两辆汽车同时从甲、乙两站相对开出，第一次在距甲站53km处相遇。相