分式专题复习

分式 一、教学内容1. 分式的有关概念；2. 分式的基本性质。 二、重点、难点剖析：1. 什么是分式？如何正确理解分式？分式的值何时为零？分式的基本性质． 形如 的式子叫分式，其中A和B均为整式，B中含有字母．例如： ， ， ， 等都是分式． 2. 理解分式这个概念，应注意以下两点： (1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线可以理解为除号，同时分数线还含有括号的作用，例如 表示（a＋b）÷(c－d). (2)分式的分子和分母都是整式，但是分子可以含字母．也可以不含字母，而分母中必须含有字母．下列式子 中，它们的分母中都不含有字母，所以都不是分式，而是整式． 整式和分式统称为有理式． (3)在分式中分母的值不等于零时，分式才有意义． 分式与分数的区别在于分式的分母中含有字母.分式中作为分母的代数式的值是随着式中字母取值的不同而变化的，字母所取的值有可能使分母的值为零，当分母的值为零时分式就没有意义了．这与分数不同，分数的分母是一个具体的数，这个数是否为零，一目了然.而分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含的字母不能取哪些值，以避免分母的代数式的值为零． 例如 对分式 ，要使这个分式有意义，就必须满足x2＋2x－3≠0， 即 (x－1)(x＋3)≠0，∴ x≠1且x≠－3,当x≠1且x≠－3时,分式 才有意义． 分式是否有意义，与分子无关．只要分母不等于零，分式就有意义． 3. 要使分式的值为零，必须在分式有意义的前提下，才能谈到它的值是多少．这就是说“分式的值为零”包含两层意思：一是分式有意义，二是分子的值为零，不要误解为“只要分子的值为零，分式的值就是零”． 4. 分式的基本性质． 分数的基本性质是：分数的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变．同样的，分式也有类似性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 用数学式子表示为：　 ，　　　　 其中M是不等于零的整式． 分式的基本性质是分式恒等变形的依据，今后我们将要学习的分式的约分、通分、化简和解分式方程都要用到这一性质，因此，正确理解分式的基本性质，并能熟练的运用它，是本讲内容的关键． 理解分式的基本性质时，必须注意： (1)分式的基本性质中的A、B、M表示的都是整式． 例如： ， ．随着知识的扩 充,A、B、M还可以表示任何代数式． (2)在分式的基本性质中，M≠0． 例如： ，这里M＝2x－3,因此, M≠0，即2x－3≠0，所以x ≠ .这个条件往往被忽略，学习时，必须特别注意． (3)分子、分母必须“同时”乘以M(M≠0)，不要只乘分子（或分母）． 三、典型例题 例１ 当x取何值时，下列分式有意义？ (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 解 (1)要使分式 有意义，必须x－5≠0, ∴ x≠5. ∴ 当x≠5时，分式 有意义． 说明 分母不为零时，分式有意义.值得注意的是分式 与分式 是不同的两个分式，由前面的例题可知，这两个公式有意义的x的取值范围是不一样的，因此，不能把分式 中的x＋2先约分． 例２ (1)x为何值时，分式 的值为零； (2)x为何值时，分式 的值为​－1. 解 |x|－2＝0, …… ① x2＋x－6≠0,…… ② 解①式得x＝±2，解②式得(x－2)( x＋3)≠0, 即x≠2且x≠－3. ∴ x＝－2. 当x＝－2时，分式 的值为零． 例３ 若分式 的值为零，求x的值． 例４ 若分式 的值为负数，试确定x的取值范围． 分析 分式 值为负数，即分式的分子2－x与分母1＋x的符号相反． 解 : 例５ 不改变分式的值，把下列各式中的分子、分母的各项系数都化为整数． (1) ； (2) ． 解 说明 解决这类问题，一般用下列方法：若分子、分母中各项系数都为分数，则分子、分母都乘以各项系数中分母的最小公倍数；若分子、分母中各项系数都是小数，则分子、分母同时乘以10n；若分子、分母中各项系数有分数，又有小数，则把小数化为分数，再把分子、分母同时乘以各项系数分母的最小公倍数。 例６ 不改变分式的值，使下列分式的分子、分母均不含有负号： (1) ； (2)－ ； (3) （n为正整数）． 解 (1) ＝－ ； (2) (3) 说明 根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变． 例７ 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数： (1) ； (2)－ . 解 (1) ＝ ＝ ；（2） 同步练习 一、填空题 1. 如果 表示一个分式，那么A、B都表示 ，且B中 ． 2. 把下列有理式中是分式的代号填在横线上 ． (1)－3x；(2) ；(3) ；(4)－ ；(5) ； (6) ；(7)－ ； (8) ； (9) ； (10) ． 3. 当a 时，分式 有意义．4. 当x 时，分式 有意义． 5. 当x 时，分式 无意义．6. 当x 时，分式 无意义． 7. 当x 时，分式 的值为零．8. 当m 时，分式 的值为零． 9. 当x 时，分式 的值为正数．10.当x 时，分式 的值为负数． 11. . 12. . 13. . 14. . 二、选择题 1. 如果把分式 中的x和y的值都扩大两倍，那么分式的值( ). Ａ.扩大4倍 Ｂ.不变 Ｃ.缩小两倍 Ｄ.无法确定 2. 若分式 的值等于0,则x等于( ). Ａ.－ Ｂ.x＝１ Ｃ. x＝１或x＝－ Ｄ.x＝1,x＝－ 3. 分式 有意义的条件是( ). Ａ.x≠0 Ｂ.x≠－1 Ｃ.x≠－1且x≠2 Ｄ.x≠－1且x≠0 4. 若分式 的值为－1,则a等于( ). Ａ.a＝2 Ｂ.a＝​－2 Ｃ.a＝2或a＝​－2 Ｄ.不存在 5. 分式 中，x＝－a时，分式（ ）. Ａ.值为0 Ｂ.无意义 Ｃ.当a≠－ 时，值为0 Ｄ.不能确定 三、解答题 1. 不改变公式的值，把下列分式中分子与分母系数化为整数： (1) ；(2) ；(3) 2. 若1＜x＜2,化简下列各式： (1) ；(2) ． 3. 已知x2－5x＋1＝0,求 的值． 4．若 的值 5．若 一、教学内容 1．约分；2．分式的乘除法. 二、重点、难点剖析 1．约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分. 约分时，必须先找出分子、分母的公因式，然后再约去分子、分母的公因式. 例1 约分：(1) ； (2) . 解 (1) ＝ ＝ ； (2) 通过这个例题可知：约分是一种化简分式的运算.约分的根据是分式的基本性质. 2．最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式. 约分时，必须把公因式全部约去，把分式化成最简分式.把分式约分所得的结果可能是一个整式. 例2 约分：(1) ； (2) . 解 (1) ＝ ＝ ； (2) 约分时，若分子或分母的系数是负数，一般根据分式的基本性质先把负号提到分式本身的前边. 3．分式的乘法法则 分式的乘法法则是：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母.用式子表示为： 必须注意： (1)分式乘法法则中的a,b,c,d可以表示数，也可以表示含有字母的整式. (2)根据乘法法则，应先把分子、分母分别相乘，化成一个分式后再进行约分，但在实际演算时，这样做有时显得很繁琐，因此，可根据情况先约分，再相乘，这样做既简单易行，又不易出错. (3)如果运算结果不是最简分式，一定要进行约分，使运算结果化成最简分式. (4)若分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分. 例3 计算：(1) ； (2) . 解 (1) ＝ ＝ ； (2) 4．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置与被除式相乘.用式子表示如： 必须注意： (1)分式除法法则中的a,b,c,d可以表示数，也可以表示含有字母的整式. (2)分式除法的运算，其本质是分式乘法的运算，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式做乘法运算.除式(或被除式)是整式时，可以看出分母是1的式子，然后按照除法的法则运算. (3)在分式的乘除法的混合运算中，必须特别注意运算顺序.对分式的乘除法来说，它们是同级运算.在同级运算中，如果没有附加条件(如括号等)，那么就应该按照从左到右的顺序进行计算.例如： a÷b× ＝ ＝ . 而a÷b× ＝a÷1＝a则是错误的，这种错误做法实际上是按照a÷(b )的顺序造成的. 5．分式的乘方 分式的乘方就是把分子、分母各自乘方，即 三、典型例题 例1 把下列各式约分： (1) ； (2) ； (3) . 分析 约分时，应先找分子、分母的公因式.当分子、分母是多项式时，应先分别把分子、分母分解因式，同时把分子、分母的每个因式都按降幂排列，便于约分. 解 (1) ＝ ＝ ； (2) (3) 说明 (1)约分时，必须特别注意“符号问题”. (2)约分的最后结果除了化简为最简分式外，分子、分母应写成多项式的形式. 例2 计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 解 例3 计算： . 解 说明 分式的乘法、除法运算，必须先把除法转化为乘法，同时注意运算的顺序，然后把分子、分母分解因式，再直接约分. 例4 已知 求分式 的值. 分析 本题可以根据条件，先求出x、y的值，再化简求值.考虑到分式的分子、分母因式分解分别得到4(x＋y)(x－y)和(x＋y)2,约分后可化简为 ，直接把已知条件代入更简单. 解 例5 已知 ＝ ＝ ，求 的值. 解 设 ＝ ＝ ＝ (k≠0)， 说明 换元法是解决比和比例问题时最常用的方法. 同 步 练 习 一、填空题 1．约分： (1) ＝ ； (2) ＝ ； (3) ＝ ； (4) ＝ ； (5) ＝ ； (6) ＝ . 2．计算： (1) ＝ ； (2) ＝ ； (3) ＝ ； (4) ＝ . 二、计算 1． ； 2． ； 3. 15 ； 4． . 三、计算 1． ； 2． ； 3． ； 4． . 答 案 与 提 示 一、1. 整式，含有字母； 2. (2)，(5)，(6)，(9)； 3. a≠－ ； 4. x≠－2且x≠ ； 5. x＝±2；　　　6. x＝±3； 7. x＝±3； 8. m＝5； 9. x＞ ； 10.z＜x＜3； 11.2a2； 12.3ms； 13.a－ab； 14.a2＋ab＋b2． 二、1. B；　　　2. A；　　　3. C；　　4. D； 5. C. 三、1. (1) ； (2) ； (3) ． 2. (1)∵ 1＜x＜2, ∴ x－2＜0, ∴ |x－2|＝－(x－2). ； (2) ∵ 1＜x＜2, ∴ x－1＞0, ∴ |x－1|＝x－1. . 3. ∵ x2－5x＋1＝0, ∴ x2＋1＝5x， ∴ ＝5, ∴ －2＝52－2＝23． 4． 5． 1 参 考 答 案 一、1．(1)－1； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) . 2. (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 二、1． ； 2．－3； 3． ； 4．5x2－5. 三、1． ； 2．3； 3． ； 4． . 5 . 6.1 x＋y＝3 , x－y＝1 , � EMBED Equation.3 ���＝� EMBED Equation.3 ���(m为正整数). . � EMBED Equation.3 ���＝� EMBED Equation.3 ���＝� EMBED Equation.3 ���. � EMBED Equation.3 ���＝� EMBED Equation.3 ���. (1) 由题意得 12 10 _970340204.unknown _970864875.unknown _972124325.unknown _972125614.unknown _972127121.unknown _972133544.unknown _1003391210.unknown _1156245864.unknown _1156246505.unknown _1156658003.unknown _1156245933.unknown _1156244899.unknown _1003391214.unknown _972380002.unknown _1003391151.unknown _1003391201.unknown _1003391206.unknown _1003391169.unknown _972380033.unknown _972380062.unknown _972134344.unknown _972379914.unknown _972133846.unknown _972133847.unknown _972133573.unknown _972127188.unknown _972127269.unknown _972127364.unknown _972133520.unknown _972127342.unknown _972127225.unknown _972127155.unknown _972126140.unknown _972126973.unknown _972127054.unknown _972126888.unknown _972125895.unknown _972125992.unknown _972125670.unknown _972125046.unknown _972125275.unknown _972125499.unknown _972125512.unknown _972125391.unknown _972125160.unknown _972125218.unknown _972125100.unknown _972124457.unknown _972124906.unknown _972124949.unknown _972124856.unknown _972124409.unknown _972124411.unknown _972115490.unknown _972123863.unknown _972124308.unknown _972123060.unknown _972123559.unknown _972115540.unknown _972113983.unknown _972115210.unknown _972115298.unknown _972115425.unknown _972115296.unknown _972114859.unknown _972114741.unknown _972114810.unknown _972114411.unknown _972114675.unknown _972114410.unknown _972113436.unknown _972113848.unknown _972113905.unknown _972113747.unknown _972113305.unknown _972113394.unknown _972113241.unknown _970864985.unknown _970341194.unknown _970341941.unknown _970342739.unknown _970343245.unknown _970345299.unknown _970864491.unknown _970864546.unknown _970343576.unknown _970343744.unknown _970343383.unknown _970343183.unknown _970343218.unknown _970342893.unknown _970342368.unknown _970342545.unknown _970342614.unknown _970342466.unknown _970342252.unknown _970342322.unknown _970342032.unknown _970341541.unknown _970341648.unknown _970341817.unknown _970341569.unknown _970341410.unknown _970341476.unknown _970341312.unknown _970340523.unknown _970340771.unknown _970341089.unknown _970341138.unknown _970340856.unknown _970340652.unknown _970340706.unknown _970340597.unknown _970340346.unknown _970340403.unknown _970340480.unknown _970340386.unknown _970340260.unknown _970340310.unknown _970340236.unknown _970334047.unknown _970337530.unknown _970339192.unknown _970339693.unknown _970340139.unknown _970340162.unknown _970339994.unknown _970339594.unknown _970339649.unknown _970339501.unknown _970338270.unknown _970339052.unknown _970339101.unknown _970338346.unknown _970339018.unknown _970337605.unknown _970334634.unknown _970336144.unknown _970336947.unknown _970334683.unknown _970336061.unknown _970334277.unknown _970334565.unknown _970334596.unknown _970334443.unknown _970334113.unknown _970332910.unknown _970333746.unknown _970333805.unknown _970333288.unknown _970332599.unknown _970332840.unknown _970332426.unknown _948681235.unknown