第18章_哈密顿原理

第八章 哈密顿原理（Hamilton’s Principle） 一、泛函和变分的概念 1．最速落径问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 如图1，A、B是同一铅垂面上的两点，A高于B，不考虑阻力，试确定连接A、B的一条曲线，使初速为零的质点m从A至B自由下滑所需时间最短。 设路径曲线为 y = y(x)，并设 为曲线微段的弧长，则 另一方面，由动能定理可得 ，所以 上式积分，得时间T为 （ AUTONUM ） 选取不同的y(x)必有不同的T值，T随函数y(x)的变化而变化。这些可变化的函数称为自变函数，而随自变函数而变的量称为该自变函数的泛函。 最速落径问题可归结为如下数学命题： 在0 ( x ( a 的区间内找一个函数y(x)，它满足边界条件 并使（1）式所给泛函T[y(x)]取极小值。 变分法就是研究在各种不同的边界和约束下，各种泛函取极值的必要充分条件。 2．自变函数的变分 　　如图2，将自变函数曲线 y = y(x) 作微小变更，得到另一曲线y* = y* (x)，而 y* = y* (x) = y(x) + ( y(x) 其中( y称为自变函数的变分。 　　下面推导d、( 交换法则。由图2，有 若从点3向上算，有 若从点2向上算，有 比较以上两式，得 （ AUTONUM ） 因此，自变函数变分、微分的运算顺序可交换。 3．泛函的变分 我们以只含单自变量、单自变函数及其一阶导数的泛函为例来研究。对应图2的两条曲线，某个泛函J的取值分别为： （ AUTONUM ） 因此泛函的增量为 （ AUTONUM ） 其中被积函数的增量为 它的一阶无穷小量 （ AUTONUM ） 称为F的一阶变分。而( J的一阶无穷小量 （ AUTONUM ） 称为泛函J的一阶变分。 　　因为 EMBED Equation.3 ，因此由（6）式，得 （ AUTONUM ） 这 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明函数的变分和积分运算的顺序可交换。 二、泛函的极值条件与欧拉（Euler）方程 泛函的极值条件也称驻值条件。我们仍以只含单自变量、单自变函数及其一阶导数的泛函为例来研究。在极值点处，必有 （ AUTONUM ） 对（6）式右边第二项作分部积分： （ AUTONUM ） 现在我们限定：自变函数在x = x1，x = x2两个端点处的值固定不变，因此有(y(x1) = 0，(y(x2) = 0。这样的问题叫做固定端点的泛函极值问题，我们只研究这类问题。由此（9）式变成 （ AUTONUM ） 由（6）、（8）、（10）式，得 （ AUTONUM ） 因为(y(x)在区间（x1, x2）上是x的任意函数，要使（11）式成立，必须 （ AUTONUM ） （12）式就是泛函取极值的必要条件，它是一个微分方程，称为Euler方程。 对于多自变函数的泛函 （ AUTONUM ） 设 都是相互独立的，经与以上相同的推导可得 （ AUTONUM ） 由(yk 的独立性和任意性，得泛函取极值的Euler方程为 （ AUTONUM ） 　　评论：对比起来看，函数极值问题的求解要用微分，取极值的必要条件是函数的微分等于零，它给出代数方程，方程的解为极值点的代数值。而泛函极值问题的求解要用变分，取极值的必要条件是泛函的变分等于零，它给出微分方程，方程的解为极值曲线。 三、Hamilton原理 考虑n自由度的完整理想系统，设系统广义坐标为q1, q2, ..., qn 。在任意确定的时段[t1, t2]上，系统的运动q1(t), q2(t), ..., qn(t)是n条时变曲线，如果在（15）式中，令 （ AUTONUM ） 其中L = T – V 为Lagrange 函数，则（15）式成为 （ AUTONUM ） 由上一节的讨论并注意（16）式，方程组（17）是以下泛函的极值必要条件 （ AUTONUM ） 这个泛函H称为Hamilton作用量。 我们已注意到方程组（17）恰好是势力系统的Lagrange方程，其解q1(t), q2(t), ..., qn(t)是系统的n条真实运动曲线，因此系统的真实运动使Hamilton作用量取极值，也就是： （ AUTONUM ） 反之，如果n条运动曲线q1(t), q2(t), ..., qn(t)使得H = 0，即 （ AUTONUM ） 由qk的独立性和任意性，上式右边每个括号的值必须等于零，因此有 （ AUTONUM ） 以上论述 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 成文字就是Hamilton原理。 Hamilton原理：对只有势力作用的完整理想系统，在任意确定的时段[t1, t2]上，系统作真实运动的充分必要条件是使系统的Hamilton作用量取极值，即 （ AUTONUM ） 　　对于静止系统，由Hamilton原理得到系统静平衡的充分必要条件是其势能取极值，即 （ AUTONUM ） 　　对于势力和非势力共同作用的完整理想系统，Hamilton原理具有如下的形式： （ AUTONUM ） 其中 为非势力的虚功之和。 　　Hamilton原理把力学的基本方程归结为一个物理概念明确的简单方程(H = 0，表现了自然定律的最完美形式。 四、Hamilton原理应用例题 　　Hamilton原理不但可用于有限自由度系统，也能用于连续体（无限自由度）系统，因此它比Lagrange方程有更广泛的适用性。Hamilton原理主要有两个功用：（1）推导系统的运动微分方程；（2）直接利用变分方程求系统运动的近似解，这种方法称为直接法。 例1．用Hamilton原理求图3系统的运动微分方程。设 = 0时弹簧处于原长。 解：系统的Lagrange函数为： （a） （b） 对上式花括号中的第二项作分部积分，得 （c） 因为(((t1) = (((t2) = 0，并由(( 在（t1, t2）上的任意性，得系统的运动微分方程为 （d） 　　例2：图4所示弹性梁的控制微分方程推导和自由振动分析。 解：（1）梁的控制微分方程推导 （a） 现在自变函数u(t, x)是时间变量t和空间变量x的函数，即可看作一条随时间运动的曲线，参见图5。对时间变量t， 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 满足固定端点条件：( u(t1, x) = ( u(t2, x) = 0。 （b） （b）式右边第一项对时间变量t分部积分： （c） （b）式右边第二项对空间变量x分部积分两次： （d） 将（c）、（d）代入（b）式，得 （e） 由于( u在(t1, t2)上的任意性，( H = 0 当且仅当 （f） （g） （f）式是梁的运动（控制）微分方程，（g）式给出梁两端必须满足的几何边界条件和（或）力边界条件。（在课堂上分析梁的几种边界条件）。 （2）梁的自由振动分析 　　直接求解梁的控制微分方程（f）的解析解是困难的，因此人们发展了一类直接利用变分方程求近似解的直接法。 　　当弹性梁作自由振动时，对每个确定的x值，u(t, x)是t的周期函数。所以可设 （h） 因为sint是一个已知函数，因此下面只需求出X(x)的近似表达式，方法是用一组含有待定 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 的已知函数去逼近X(x)。（h）代入（a），得 （i） 其中 。由Hamilton原理，得 （j） 由（g）式知道u(t, x) 必须满足梁两端的边界条件，才能使H = 0，现在要求X(x) 必须满足梁两端的边界条件，因此选择X(x)的逼近函数时，要尽量满足梁两端的边界条件。但要选取同时满足几何边界条件和力边界条件的逼近函数，通常很困难或不可能，而只满足几何边界条件的逼近函数容易找到，因此一般要求X(x)的逼近函数满足几何边界条件。 设 （k） 其中 ak 为待定常数，k (x) 为已知函数。如对简支梁，可选 （k）代入（j），得 （l） 泛函的极值问题转化为函数 的极值问题， （m） 由此得到计算各个参数的代数方程组，写成矩阵形式为 (2[M] – [K]) {a} = 0 （n） 其中 [M] = [mij]n(n，[K] = [kij]n(n，{a} = [a1, a2, ..., an]T; . 方程（n）的求解是一个特征值问题，可求得n个特征值和特征向量，将其代入（k）和（h）便得到近似解。 mg 无质量杆 mg B A l k  图3 A y v m(x), E(x), I(x), l u(t, x) 图4 m y x 图1 B (a, b) y(x) y*(x) 3 4 2 1 dx x y y dy y x B (x2, y2) A (x1, y1) 图2 - 7 - _1049379049.unknown _1049398603.unknown _1049438089.unknown _1049460579.unknown _1049566630.unknown _1049566747.unknown _1049566789.unknown _1049566867.unknown _1049566663.unknown _1049562028.unknown _1049562038.unknown _1049461020.unknown _1049465095.unknown _1049440511.unknown _1049441470.unknown _1049445222.unknown _1049445579.unknown _1049441501.unknown _1049440743.unknown _1049438880.unknown _1049400140.unknown _1049401544.unknown _1049401563.unknown _1049437321.unknown _1049401241.unknown _1049399269.unknown _1049400126.unknown _1049398737.unknown _1049385284.unknown _1049390963.unknown _1049392243.unknown _1049398028.unknown _1049391651.unknown _1049387034.unknown _1049388957.unknown _1049386238.unknown _1049381817.unknown _1049382229.unknown _1049382520.unknown _1049382045.unknown _1049381002.unknown _1049381394.unknown _1049380558.unknown _1049370002.unknown _1049372913.unknown _1049373155.unknown _1049373913.unknown _1049373109.unknown _1049372410.unknown _1049372506.unknown _1049372110.unknown _1049372338.unknown _1049372004.unknown _1049359804.unknown _1049369462.unknown _1049369759.unknown _1049368551.unknown _1049358204.unknown _1049358794.unknown _1049357478.unknown