圆锥曲线离心率的取值范围求解方法

学术研究 2012 年第 8 期 圆锥曲线离心率的取值范围求解 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 王永刚 （河北省沧州市任丘一中 062550） 求圆锥曲线离心率的取值范围， 涉及到 不等式、函数值域、曲线的定义、性质等知识。 综合性强，计算量大，不少同学感到很辣手， 下面从几个方面介绍。 一、利用定义 例 1：已知双曲线 x 2 a 2 - y 2 b 2 =1，（a>0，b>0）的 左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线的右支 上，且 PF1 ＝4 PF2 ，则此双曲线离心率 е 的 取值范围。 解： 由题意联想到双曲线定义 PF1 ＝ PF2 =2a， PF1 ＝4 PF2 ∴ PF2 ＝ 23 a ∴ PF2 ≥c-a 得 23 a≥c-a 即 е= ca ≤ 5 3 ∴е缀 1， 53 ≤≤ 。 二、利用方程求解 例 2： 设 Q是椭圆 x 2 a 2 - y 2 b 2 =1，（a>0，b>0）的 右顶点，O为坐标原点， 若椭圆上存在点 P，使 得∠OPQ=90°知，求椭圆的离心率的取值范围。 解 ：设 p（x，y），则由∠OPQ=90°知 ， yx - y x-a =-1 ，即 x（x-a）+y2=0 又 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 两式 联立消去 y 得，（a2-b2）x2-a3x+a2b2=0。 显然，0＜ x＜a，∴x1x2＜a2。 x1·x2= a 2 b 2 a 2 -b 2 ＜a 2 得 e2＞ 12 ，∴ 2姨 2 ＜e＜1 。 三、利用点的坐标范围 例 3：在椭圆 x 2 a 2 ＋ y 2 b 2 =1，（a>b>0）上存在点 P，使∠APB=120°，其中 A，B 为长轴的左右两 个端点，求椭圆离心率 e 的取值范围。 解：设 P（x0,y0)，（0＜y0≤b），A（－a，0）,B(a,0) 则 kAP= y0x0+a ,kBP= y0x0-a 。 那么 tan120°= kBP-kAP1+kAPkBP = 2ay0 x 2 0+y 2 0-a 2 = 3姨 ① 又 x 2 0 a2 + y 2 0 b2 =1 。 ∴x 2 0＝a2- a2 b2 y 2 0 将它代入①得 3姨 （b2-a2）y 2 0 +2ab2y0=0 ∴y0 = 2ab 2 3c 2姨 又 y0≤b 得 4a 2 (a 2 -c 2 ）≤3c 4 即 3e 4 +4e 2 -4≥0 所以 6姨3 ≤e＜1 。 四、利用重要不等式 例 4： 设 F1，F2分别为椭圆 x 2 a2 + y2 b2 ＝1 ，（a＞ b＞0） 的两个焦点， 若椭圆上存在点 P， 使得 ∠F1PF2=60°，求椭圆离心率 e 的取值范围。 解 ： 在△F1PF2 中 ， 由余弦定理可得 F1F2 2＝ PF1 2＋ PF2 2－2 PF1 PF2 cos60° ＝（ PF1 ＋ PF2 2－3 PF1 PF2 ， 又 ∵ F1F2 ＝2c， PF1 ＋ PF2 ＝2a ∴4c2=4a2-3 PF1 PF2 ，即 ∴ PF1 PF2 ＝ 13 （4a 2 -4c 2 ）≤ PF1 ＋ PF222 ， 2 ＝a 2 即 1 3 （4a 2 -4c 2 ）≤a 2 解得 e≥ 12 又 e＜1，所以椭圆离 心率的取值范围为 12 ， ，1姨 。 五、利用函数关系 例 5：已知梯形 ABCD中， AB ＝2 CD 。 点 E 分AC 所成的比为 λ，双曲线过 C，D，E 三 点，且以 A，B 为焦点，当 23 ≤λ≤ 3 4 时，求双 曲线离心率的取值范围。 解： 以 AB 为 x 轴，AB 的中垂线为 y 轴， 建立直角坐标系。 设 A（－c,0），C（ c3 h ），E(x0,y0)，由定比分点 有 x0＝ －c+ c2 λ 1+λ = (λ-2)c 2(1+λ) ，y0= λh1+λ 。 设双曲线方程 x 2 a2 - y2 b2 ＝1 ，（a＞0，b＞0），把 点 C，E坐标代入上式得 c 2 4a2 - h2 b2 =1 ， (λ-2) 2c2 4(λ+1)2a2 - λλ+12 ，h 2 b2 =1 解得 e 2 4 （4－4λ）＝1＋2λ。 即 e2＝ 1＋2λ1－λ ＝2－ 3 λ－1 ，（ 2 3 ≤λ≤ 3 4 ）。 e2是 λ的函数，且为增函数。 解得 7≤e2≤10， 即双曲线离心率 e的取值范围为 7姨 ， 10姨姨 ≤。 六、利用数形结合 例 6：双曲线方程 x 2 b2 - y2 b2 ＝1 ，（a＞0，b＞0）的 右焦点为 F，过 F 作一，三象限渐近线的垂线 l，与双曲线的两支各有一个交点，求双曲线离 心率 e 的取值范围。 解：设渐近线分别为 l1 和 l2，其斜率分 别为 k1，k2， 则 k1= ba ，k2=- ba ，l 的斜率为 k=- b a ，要使与双曲线的两支各有一个交点，只需 k＞k2。 即- ab ＞ b a ，所以 a2＜c2-a2，即 e＞ 2姨 。 以上介绍了确定圆锥曲线离心率的取 值范围的几种思路和方法 ，希望能给读者一 些帮助。 （责编 张宇） 题给出来， 孩子们由于经历了之前的学习过 程， 在这道题目中很轻松地给出了四边形中 的规律：3n+1。 孩子从经历问题到发现解决问 题，再到最后提出有价值的问题，在这一过程 中感受到 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 之美， 并对数学产生强烈的探 究与学习的欲望，体验学习的快乐！ 四、动手操作帮助学生理解数学之美 学生是课堂的主体， 应该给孩子探索的 机会，让学生动脑、动手、动口，通过自己的观 察、积极探索、参与学习、体验成功从而达到 理解掌握的效果。 因此，我在教学中比较重视 让孩子动手操作，让孩子动眼、动耳、动手、动 口，多种感官齐参与，在活动中不仅掌握基本 知识和技能更在发展思维的同时发展能力 。 比如，在教学“游戏公平”中，学生在理解了什 么是公平的游戏规则之后， 我安排学生把笑 笑的不公平规则修改成公平的游戏规则 ，在 学习完为转盘设计公平的规则之后，我又让学 生自己动手设计一个公平的转盘和公平的规 则，学生们非常急于动手操作，他们愿意在实 际的操作过程中体验快乐，体验成功。 五、在生活中发现数学的快乐 数学来源于生活， 同时也应用在生活之 中，作为教师应让课堂充满生机，要引导孩子 去发现数学内在的美，让学生感受到这种美， 从内心深处感受到学习数学的快乐。 因此，在 教学“观察物体”这一课中，鉴于学生自身知识 水平，对于两课时的内容我做了一些调整，讲 解第二课时“天安门广场”，第一课时“节日礼 物”放在第二课时之后自学。 在讲授“天安门 广场”这一课时中，我利用了学校搞学生个人 摄影大赛的活动，找到校园不同角度的照片， 让学生从不同的角度观察判断，每一张照片是 从哪个角度拍摄的并说明自己的理由。 由于 贴近学生自己的生活， 学生做起来得心应手， 从教学楼、雕塑等各个角度阐述了自己判断的 理由，并找到了观察的方法。 接着我再给出天 安门广场前不同角度的照片，学生有了前面的 基础和成功的体验，更迫不及待地想将自己刚 学到的方法应用体验，信心百倍，题目迎刃而 解。 学生更是在这种过程中体验到成功的快 乐，感受到学习数学的快乐。 有了第二课时的 基础，学生在自学第一课“节日礼物”时，不仅 不费任何力气就轻松掌握知识达到了比较好 的学习效果，而且更是在学习的过程中体会到 成功的喜悦，品尝到学习数学的快乐。 有一句歌词是这样的：你是幸福的，我就 是快乐的！ 我在这里稍微修改一下：孩子们学 习数学的过程是快乐的，使孩子们爱上数学的 数学教师才是幸福的！ （责编 张宇） 姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨 数理化学习 113