[教材]能被4、6、7、8、11、13整除的数的特征及其它
能被4、6、7、8、11、13整除的数的特征及其它
一、 被4或25整除的数的特征
如果一个数的末两位数能被4或25整除,那么,这个数就一定能被4或25整除(
例如:4675,46×100,75
由于100能被25整除,100的倍数也一定能被25整除,4600与75均能被25整除,它们的和也必然能被25整除(因此,一个数只要末两位数能被25整除,这个数就一定能被25整除(
又如: 832,8×100,32
由于100能被4整除,100的倍数也一定能被4整除,800与32均能被4整除,它们的和也必然能被4整除(因此, 因此,一个数只要末两位数字能被4整除,这个数就一定能被4整除(
二、被6整除的数的特征
能被6整除的数的特征末尾是0、2、4、6、8且各位上数字的和能被3整除
能被6整除的数的特征既要符合能被2整除的数的特征,又要符合能被3整除的数的特征
三、 被7整除的数的特征
方法
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1、(适用于数字位数少时)一个数割去末位数字,再从留下来的数中减去所割去数字的2倍,这样,一次次减下去,如果最后的结果是7的倍数(包括0),那么,原来的这个数就一定能被7整除(例如:判断133是否7的倍数的过程如下:13,3×2,7,所以133是7的倍数;又例如 判断6139是否7的倍数的过程如下:613,9×2,595 , 59,5×2,49,所以6139是7的倍数,余类推。
方法2、(适用于数字位数在三位以上)一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差,如果能被7整除,那么,这个多位数就一定能被7整除(
如判断数280679末三位数字是679,末三位以前数字所组成的数是280,679,280=399,399能被7整除,因此280679也能被7整除。此法也适用于判断能否被11或13整除的问题。
如:283679的末三位数字是679,末三位以前数字所组成的数是283,679,283=396,396能被11整除,因此,283679就一定能被11整除(
如:判断383357能不能被13整除(
这个数的未三位数字是357,末三位以前的数字所组成的数是383,这两个数的差是:383,357=26,26能被13整除,因此,383357也一定能被13整除(
方法3、首位缩小法,在首位或前几位,减于7的倍数。
例如,判断456669能不能被7整除,456669-420000=36669,只要32669能被7整除即可。对32669可继续,32669-28000=4669,4669-4200=469,469-420=49,49当然被7整除,所以456669能被7整除。
四、 被8整除的数的特征
如果一个数的末三位数能被8或125整除,那么,这个数就一定能被8或125整除(
例如: 9864的末三位是864,864能被8整除,9864就一定能被8整除(72375的末三位数是375,375能被125整除,72375就一定能被125整除。
五、 被11整除的数的特征
除了前面讲的被7整除的方法二适用于11之外,还可以把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定
能被11整除。例如:判断491678能不能被11整除。 —?奇位数字的和9+6+8=23 ,—?偶位数位的和4+1+7=12 ,23-12=11 因此,491678能被11整除。这种方法叫“奇偶位差法”。
六、 被13整除的数的特征
除了前面讲的被7整除的方法二适用于13之外,还可以把一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果和是13的倍数,则原数能被13整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来,就重复此过程。
例如:判断1284322能不能被13整除。128432+2×4=128440 ,
12844+0×4=12844,1284+4×4=1300,1300?13=100 所以,1284322能被13整除。
(1)1与0的特性:
1是任何整数的约数,即对于任何整数a,总有1|a. 0是任何非零整数的倍数,a?0,a为整数,则a|0. (2)若一个整数的末位是0、2、4、6或8,则这个数能被2整除。
(3)若一个整数的数字和能被3整除,则这个整数能被3整除。
(4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除,则这个数能被4整除。
(5)若一个整数的末位是0或5,则这个数能被5整除。
(6)若一个整数能被2和3整除,则这个数能被6整除。
(7)若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。例如,判断133是否7的倍数的过程如下:13,3×2,7,所以133是7的倍数;又例如判断6139是否7的倍数的过程如下:613,9×2,595 , 59,5×2,49,所以6139是7的倍数,余类推。
(8)若一个整数的未尾三位数能被8整除,则这个数能被8整除。
(9)若一个整数的数字和能被9整除,则这个整数能被9整除。
(10)若一个整数的末位是0,则这个数能被10整除。
(11)若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理~过程唯一不同的是:倍数不是2而是1~
(12)若一个整数能被3和4整除,则这个数能被12整除。
(13)若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果差是13的倍数,则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验
差」的过程,直到能清楚判断为止。 (14)若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数,则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。 (15)若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的2倍,如果差是19的倍数,则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止。 (16)若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除,
则这个数能被17整除。
(17)若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除,则这个数能被19整除。
(18)若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除,则这个数能被23整除