曹干-范里安-微观经济分析-中文三版

曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 1 曹乾曹乾曹乾曹乾●●●●经济学译丛精品系列经济学译丛精品系列经济学译丛精品系列经济学译丛精品系列 Microeconomics Analysis （（（（3th edition）））） Hal. R. Varian （University of Michigan Ann Arbor） 范里安 微观经济分析（第 3版） 完美中文翻译版完美中文翻译版完美中文翻译版完美中文翻译版 第 7 章：效用最大化 曹乾 译 (东南大学 caoqianseu@163.com) 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 2 7 效用最大化 在本章我们开始分析消费者行为。在竞争性厂商理论中，供给和需求函数都是从利润最 大化行为模型和基本的技术约束条件中推出。在消费者理论中，我们将根据效用最大化行为 和基本经济约束条件推出需求函数。 7.1 消费者偏好 考虑某消费者面对集合 X 中某些可能的消费束的情形，集合 X 称为他的消费集 ．．． （consumption set）。在本书中，我们通常假定 X是 KR 中的非负象限，但也可以使用更具 体的消费集。例如，为维持消费者生存所必需的那些消费束组成的集合。我们总是假定 X 是闭且凸的集合。 消费者对于 X中的消费束存在着偏好。当我们写出 yx − ≻ 时，我们的意思是说“消费者 认为消费束 x至少和消费束 y一样好”。我们希望偏好能对消费束排序。因此，我们需要假 定偏好满足某些标准的属性。 完备性 ．．． （complete）。对于 X中所有的 x和 y，或者 yx − ≻ 或者 xy − ≻ （或二者都成立）。 反身性 ．．． （reflective）。对于 X中所有的 x， xx − ≻ 。 传递性 ．．． （transitive）。对于 X中所有的 x，y和 z，若 yx − ≻ 且 zy − ≻ ，则 zx − ≻ 。 第一个假设只是说任意两个消费束之间都可以进行比较；第二个假设是微不足道的；第 三个假设是分析偏好最大化（maximization）时所必须的。如果偏好不是传递的，则可能存 在这样的消费束集，它们不含有最优元素。 给定描述“弱偏好”的排序 − ≻，我们可以定义严格偏好≻： yx ≻ 的意思是不是 xy − ≻ 。 我们将 yx ≻ 读为“ x被严格偏好于 y”。类似地，我们可以定义无差异~： yx ~ 当且仅当 yx − ≻ 和 xy − ≻ 同时成立。 我们通常还希望对消费者的偏好作出其他的假设；例如。 连续性 ．．． 。对于 X 中的所有 y ，集合 }:{ yxx − ≻ 和 }:{ yxx − ≺ 都是闭集。由此可知， }:{ yxx ≻ 和 }:{ yxx ≺ 是开集。 这个假设将某些不连续的行为排除了；它的意思是说，如果 )(x′ 是消费束的一个序列， 而且该序列中的每个消费束都至少和消费束 y一样好，如果该序列收敛于某个消费束 *x ， 则 *x 至少和 y一样好。 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 3 连续性最重要的后果是：如果 y严格比 z好，并且如果 x是非常接近于 y的一个消费 束，则 x严格比 z好。这种说法只是严格偏好消费束集合为开集的另外一种表达方法。对于 开集和闭集的简明讨论请见第 26章。 在经济分析中，通常用效用函数 ．．．． （utility function） 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 某个消费者的行为；也就是说， 函数 RXu →: 使得 yx ≻ 当且仅当 )()( yuxu > 。可以证明，如果偏好排序是完备的、反 身的、传递的和连续的，则它可以用一个连续的效用函数表示。下面我们将提供一个相对较 弱版本的证明。效用函数通常是描述偏好的便利方法，但是不应该对此进行任何心理学上的 解释。效用函数唯一重要的特征是它的序数性质。如果 )(xu 代表某个偏好 − ≻而且 RRf →: 是一个单调函数，则 ))(( xuf 将和 )(xu 代表同一偏好，这是由于 ))(())(( yufxuf ≥ ，当且 仅当 )()( yuxu ≥ 。 对于偏好还有一些有用的假设。例如： 弱单调性 ．．．． 。若 yx ≥ ，则 yx − ≻ 。 强单调性 ．．．． 。若 yx ≥ 且 yx ≠ ，则 .yx ≻ 弱公理是说，如果消费束 x中的每种商品的数量都不小于消费束 y中的，则 x至少和 y 一样好。强单调性是说如果消费束 x中的每种商品的数量都不小于消费束 y中的，并且某些 商品的数量严格大于消费束 y中的，则 x严格比 y好。这只是假设商品是好的（good）。 如果某种商品是坏商品（bad），例如垃圾或污染，那么强单调性就不再合理。但是在这 些情形下，重新将这些商品定义为类似“缺乏垃圾”或“缺乏污染”，那么在这些重新定义 过的商品上，偏好是满足强单调性假设的。 比上述两种单调性都弱的另外一个假设为： 局部非饱和性 ．．．．．． （local nonsatiation）。给定 X 中的任何 x以及任何 0>ε ，则在 X 中存在 着满足 ε<− yx 的某个消费束 y，使得 xy ≻ （一）。 局部非饱和性是说，即使你被限制只能对消费束稍微进行改变，你也总能做得稍微更 好。读者需要验证一下，强单调性蕴涵着局部非饱和性，但反过来则不成立。局部非饱和性 排除了“厚的”无差异曲线。 我们还需要两个假设，这两个假设通常用来保证消费者需求函数表现良好： 凸性 ．． 。给定 X 中 x , y和 z并且 zx − ≻ 和 zy − ≻ ，则 zyttx − −+ ≻)1( ，其中 10 ≤≤ t 。 严格凸性 ．．．． 。给定 X 中 x , y（ yx ≠ ）和 z并且 zx − ≻ 和 zy − ≻ ，则 zyttx ≻)1( −+ ，其中 10 << t 。 给定一个偏好排序，我们通常用图形表示。由彼此无差异的所有消费束组成的集合称 为无差异曲线 ．．．．． （indifference curve）。你可以将无差异曲线想象成效用函数的水平集 ．．． (level （一） 符号 yx − 表示欧式空间中 x和 y 的距离。 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 4 sets)；无差异曲线类似于生产理论中的等产量线。在一条无差异曲线上面或上方（on or above）的所有消费束 X{ 中的 }: yxx − ≻ ，称为上轮廓集 ．．．． （upper contour set）（一）。上轮廓集 类似于生产理论的必要投入集。 凸性意味着消费者偏好平均消费束胜于极端消费束，但是除了这个意义之外，它不具 有其他经济意义。在凸偏好的情形下，无差异曲线可能含有水平段，然而在严格凸偏好的情 形下，无差异曲线是严格圆滑的。凸性是新古典经济学中“边际替代率递减”假设的推广。 例子：效用函数的存在性。 效用函数的存在性 ．．．．．．．． 。假设偏好是完备的、反身的、传递的、连续的而且是强单调的， 则存在着可以代表这些偏好的一个连续效用函数 RRu k →+: 。 证明。令e表示 kR+中的单位向量，即 )1,...,1( 1个k e = 。给定任何向量 x，令 )(xu 是使得 exux )(~ 的那个数。我们需要证明这样的数存在而且是唯一的。 令 RB {= 中的 }: xtet − ≻ 以及 RW {= 中的 }: text − ≻ 。强单调性意味着B是非空的；W 显然是非空的，因为它包含 0。连续性意味着上述两个集合都是闭的。由于实直线是连续的， 存在某个 t，使得 xetx ~ 。我们必须证明这个效用函数真正代表了消费者隐含的偏好。令 xtxu =)( 其中 xetx ~ ytyu =)( 其中 .~ yety 于是如果 yx tt < ，根据强单调性可知 etet yx ≺ ，根据传递性可知， .~~ yetetx yx ≺ 类似地，如果 yx ≻ ，则 etet yx ≻ ，因此 yx tt > 。 证明 )(xu 是连续函数需要额外技术，此处省略。■ 例子：边际替代率 令 ),...,( 1 nxxu 是一个效用函数。假设我们增加商品 i的数量，为了使效用不变，消费者 应该怎样改变商品 j的数量？ 根据第 1章的做法，令 idx 和 jdx 分别表示 ix 和 jx 的变化量。根据假设，效用的变化量 必定为零。因此 .0)()( = ∂ ∂ + ∂ ∂ j j i i dx x xudx x xu （一） 有时翻译为“上水平集”等，译者注。 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 5 因此， .)( )( xj xu x xu dx dx i j i ∂ ∂ ∂ ∂ −= 这个式子称为商品 i和商品 j之间的边际替代率 ．．．．． （marginal rate of substitution）。 边际替代率不取决于我们选取哪个效用函数来代表偏好，也就是说效用函数的单调变 换不会改变边际替代率。为了证明这一点，令 )(uv 是效用函数u的单调变换。这个效用函 数的边际替代率为 .)( )( )()( )()( xj xu x xu xj xu uv x xu uv dx dx ii j i ∂ ∂ ∂ ∂ −= ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ −= 7.2 消费者行为 现在我们有了偏好的描述方法——效用函数，可以分析消费者行为了。我们的基本假设 是理性的消费者总是从他买得起的消费束集中选择最偏好的消费束。 在偏好最大化的基本问题中，消费者能够买得起的消费束集合就是满足消费者预算约束 的所有消费束。令m表示消费者的既定收入，令 ),...,( 1 kppp = 表示商品 k,...,1 的价格向量。 消费者能够买得起的消费束集合，即消费者的预算集为 XB {= 中的 }.: mpxx ≤ 效用最大化的问题因此可以写为： )(max xu x 使得 mpx ≤ x在 X 中. 我们先来分析一下这个问题的一些基本特征。第一个问题为解的存在性问题。根据第 27 章可知，我们需要检验目标函数是连续的，并且约束集是闭且有界的。根据假设可知， 效用函数是连续的，约束集明显是闭的。如果 0>ip （其中 ki ,...,1= ）并且 0≥m ，不难 证明约束集是有界的。如果某种商品的价格为零，消费者对于该商品的需求可能是无限的。 我们一般忽略这样的边界问题。 第二个问题是偏好的代表性问题。这里我们注意到最大化的选择 * x 和我们选择用哪个 效用函数代表这些偏好无关。这是因为最优选择 * x 必定满足下列性质：对于 B中的所有 x， 都有 xx − ≻ * ，因此代表偏好 − ≻的任何效用函数必然都会选择 * x 作为约束最大化的解。 第三，如果我们将所有商品的价格以及消费者的收入同乘以一个正常数，我们不会改 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 6 变预算集，因此我们不会改变最优选择集。也就是说，如果 *x 具有下列性质： xx − ≻ * 对于 所有满足 mpx ≤ 的 x成立，那么 yx − ≻ * 对于所有满足 tmtpy ≤ 的所有 y成立。大致来说， 最优选择集关于价格和收入是“零次齐次”的。 如果我们对偏好再作出一些正规性的假设，我们对消费者效用最大化行为描述得会更 详细。例如，假设偏好满足局部非饱和性；我们能否得到某个 *x 使得 mpx <* ？假设我们 能够得到；于是，由于 *x 的花费严格小于m， X 中每个充分接近 *x 的消费束也是可行的。 但是根据局部非饱和性假设，存在无限接近于 *x 的某个消费束 x， x比 *x 更受偏好。但是 这意味着 *x 在预算集上并未使得效用最大。 因此，在局部非饱和性的假设下，效用最大化的消费束 *x 必定在预算线上，即 mpx =* 。 这样，我们可以将消费者的最大化问题重新表述为 )(max),( xumpv x = 使得 .mpx = 函数 ),( mpv 称为间接效用函数 ．．．．．． （indirect utility function），它是在既定价格和收入条 件下能实现的最大效用值。这个最大化问题的解 x称为消费者的需求束 ．．． （demanded bundle）。 需求束给出了在价格和收入既定条件下消费者想要的每种商品的数量。我们假设每个预算集 都有唯一的需求束；作出这个假设的目的是出于方便，对于分析来说，这个假设不是必需的。 需求束是 p和m的函数，这个函数称为消费者的需求函数 ．．．． （demand function）。我们 用 ),( mpx 表示需求函数。就象企业的情形一样，我们需要作出一些假设确保需求函数是定 义清晰的。特别地，我们假设使效用最大的消费束是唯一的。稍后我们将看到，偏好的严格 凸性将满足上述唯一性的行为。 正象企业的情形一样，消费者的需求函数是 ),( mp 的零次齐次函数。我们在前面已经 说过这个结论，将价格和收入同乘以一个正数，丝毫不会改变预算集，因此也不会改变效用 最大化问题的解。 和生产的情形一样，我们可以使用微积分刻画最优化行为，只要效用函数是可微的。 效用最大化问题的拉格朗日函数可以写为 )()( mpxxuL −−= λ , 其中λ是拉格朗日乘子。将这个拉格朗日函数对 ix 求导，可得到一阶条件 .,...,10)( kip x xu i i ==− ∂ ∂ λ 为了解释这些条件，我们将第 i个一阶条件除以第 j个一阶条件可得 .,...,1,)( )( * * kji p p x xu x xu j i j i == ∂ ∂ ∂ ∂ 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 7 上式的左侧是商品 i和商品 j之间的边际替代率，右侧可以称为商品 i和商品 j之间的 经济替代率（economic rate of substitution）。最大化意味着这两个替代率必定相等。如果不 相等，假设 . 1 2 1 1 )( )( * * j i j i p p x xu x xu =≠= ∂ ∂ ∂ ∂ 于是，如果消费者放弃一单位商品商品 i并且购买一单位商品 j，那么他将位于同一条无差 异曲线上，并且还余下一元钱。所以，总效用会增加，这与最大化矛盾。 这个结论也可以用几何方法论证，如图 7.1 所示。消费者的预算线为 }:{ 2211 mxpxpx =+ 。这个式子也可以写成隐函数的图形形式： 12122 )/(/ xpppmx −= 。 因此，预算线的斜率为 21 / pp− ，纵截距为 2/ pm 。消费者希望在预算线上找到一点使得他 的效用最大。这显然必须满足相切条件，即无差异曲线的斜率等于预算线的斜率。将这些语 句翻译成代数语言，就得到了前面的条件。 图图图图 7.1：：：：效用最大化效用最大化效用最大化效用最大化。最优消费束位于无差异曲线和预算线的切点之处。 最后，我们可以使用向量术语表达这个条件。令 *x 为一个最优选择，令dx表示满足预 算约束的 * x 的扰动。因此，我们必然有 .)( * mdxxp =± 由于 mpx = ，这个式子意味着 0=pdx ，这反过来意味着dx必定与 p正交。 对于dx的这类任何扰动，效用不会发生变化，否则 *x 不是最优的。因此，我们也有 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 8 0)( * =dxxDu 这表明 )( *xDu 与 dx也是正交的。既然这个结论对于满足 0=pdx 的所有扰动 dx成立， )( *xDu 必然和 p成比例，这就是我们已经发现的一阶条件。 效用最大化的二阶条件可用第 27章的知识进行分析。拉格朗日函数对商品 i和商品 j的 二阶导数为 ji xxxu ∂∂∂ /)(2 。因此，二阶条件可以写为 0)( *2 ≤hxuDht 对于所有满足 0=ph 的 h成立. (7.1) 这个条件要求效用函数的海赛矩阵对于与价格向量正交的 h是负半定的。这等价于要求 )(xu 是局部拟凹的。从几何上来说，这个条件表示上轮廓集在最优选择 *x 之处必然位于预 算超平面的上方。 和往常一样，二阶条件可用涉及加边的海赛矩阵表示。通过第 27章的知识可知，（7.1） 式为严格不等式的充分必要条件是加边海赛行列式的自然序主子式交替改变符号。因此， 0 0 22212 12111 21 > − − −− uup uup pp 0 0 3332313 2322212 1312111 321 < − − − −−− uuup uuup uuup ppp 等等。 7.3 间接效用 我们在前面定义了间接效用函数的概念。这个函数 ),( mpv 是指最大效用是价格 p和收 入 m的函数。 间接效用函数的性质 ．．．．．．．．． 。 （1） ),( mpv 是价格 p的非增函数；也就是说，如果 ,pp ≥′ 则 ),(),( mpvmpv ≤′ 。类似 地， ),( mpv 是收入m的非减函数。 （2） ),( mpv 是 ),( mp 的零次齐次函数。 （3） ),( mpv 是价格 p的拟凹函数；也就是说， }),(:{ kmpvp ≤ 对于所有 k来说都是凸集。 （4） ),( mpv 是连续的，若 .0,0 >>> mp 证明。 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 9 （1）令 }:{ mpxxB ≤= 以及 }:{ mxpxB ≤′=′ ，其中 .pp ≥′ 则B′包含于B。因此， )(xu 在B上的极大值，至少和 )(xu 在B′上的极大值一样大。类似地，可以证明关于m的结论。 （2）如果价格和收入同乘以一个正数，预算线根本不会改变。因此， ),(),( mpvtmtpv = ， 其中 .0>t （3）假设 p和 p′分别满足 kmpv ≤),( 和 kmpv ≤′ ),( 。令 pttpp ′−+=′′ )1( 。我们想证 明 kmpv ≤′′ ),( 。定义以下预算集： }:{ mpxxB ≤= }:{ mxpxB ≤′=′ }:{ mxpxB ≤′′=′′ 我们将证明，任何 x若在B ′′ 中，则 x必然在B中或在B′中；也就是说， BBB ′′⊃′∪ 。 假设不是如此；则 x满足 mxpttpx ≤′−+ )1( 但 mpx > 且 mxp >′ 。这两个不等式可以写 为 tmtpx > .)1()1( mtxpt −>′− 将上面两个式子相加，可得 .)1( mxpttpx >′−+ 这与原来的假设矛盾。 现在注意到 )(max),( xumpv =′′ 使得 x在B ′′ 中 )(max xu≤ 使得 x在 BB ′∪ 中 （因为 BBB ′′⊃′∪ ） k≤ （因为 kmpv ≤),( 且 kmpv ≤′ ),( ）。 （4）从第 27章的最大化定理可以推知。■ 在图 7.2 中，我们画出了一种特别的集合，称为“价格无差异曲线”，这些曲线就是间 接效用函数的水平集。根据上面定理中的性质（1）可知，当我们向原点移动时，效用是非 减的；根据性质（3）可知，下轮廓集是凸的。注意，下轮廓集位于价格无差异曲线的东北 方，这是因为间接效用随着价格增高而下降。 我们注意到如果偏好满足局部非饱和性假设，则 ),( mpv 是m的严格增函数。在图 7.3 中，我们已经画出了在价格既定不变的情形下， ),( mpv 和m之间的关系。因为 ),( mpv 是m 的严格增函数，所以它是可逆的，我们可以从该函数中解出m :它是效用水平的函数；也就 是说，给定任何效用水平u，我们可以找到当价格为 p时实现效用u所必需的最小收入额。 如图 7.3 所示。收入和效用的这种函数关系，即间接效用函数的反函数，称为支出函数 （expenditure function），并用 ),( upe 表示它。 支出函数的一个等价定义是： 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 10 pxupe min),( = 使得 .)( uxu ≥ 支出函数给出了实现既定效用水平的所必需的最小成本。 图图图图 7.2：：：：价格无差异曲线价格无差异曲线价格无差异曲线价格无差异曲线。。。。价格无差异曲线是指满足 kmpv =),( （其中 k为常数）的所有价 格组合。下轮廓集包含所有满足 kmpv ≤),( 的价格组合。 图图图图 7.3：：：：效用作为收入的函数效用作为收入的函数效用作为收入的函数效用作为收入的函数。当收入增加时，间接效用必然增加。 支出函数完全类似于我们曾研究过的企业行为中的成本函数，因此，它具有成本函数 的全部性质（参见第 5章）。为方便起见，我们将这些性质重复表述如下。 支出函数的性质 ．．．．．．． 。 （1） ),( upe 是 p的非减函数。 （2） ),( upe 是 p的一次齐次函数。 （3） ),( upe 是 p的凹函数。 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 11 （4） ),( upe 是 p的连续函数，若 0>>p 。 （5）若 ),( uph 是价格为 p时实现效用水平u的最小支出最小支出最小支出最小支出 ．．．． 束，则 i i p upe uph ∂ ∂ = ),(),( ，其中 ki ,...,1= ，假设导数存在而且 .0>ip 证明。这些性质正是成本函数的性质。请参见第 5章的证明。■ 函数 ),( uph 称为希克斯 ．．． （Hicksian）需求函数 ．．．． 。希克斯需求函数类似于前几章中的 条件要素需求函数。希克斯需求函数告诉我们实现既定效用水平所必需的最小支出。 希克斯需求函数有时又称为补偿需求函数补偿需求函数补偿需求函数补偿需求函数 ．．．．．． （compensated demand function）。这个名字来 源于下列对需求函数的构造方法：变动价格和收入是的消费者保持在既定的效用水平上。因 此，我们调整收入的目的是“补偿”价格的变化。 希克斯需求函数不是可以直接观测到的，因为它依赖于效用，但效用是不可直接观测 到的。作为价格和收入函数的需求函数是可以观测到的；当我们想强调希克斯需求函数和通 常的需求函数的区别时，我们通常将后者称为马歇尔 ．．． （Marshallian）需求函数 ．．．． ),( mpx 。 马歇尔需求函数就是我们一直讨论的普通需求函数。 7.4 一些重要的恒等式 有一些重要的恒等式，它们将支出函数、间接效用函数、马歇尔需求函数和希克斯需 求函数连接在一起。 我们考虑以下的效用最大化问题 )(max),( * xumpv = 使得 *mpx ≤ . 令 *x 是上述最大化问题的解并且令 )( ** xuu = 。考虑支出函数问题 pxupe min),( * = 使得 *)( mxu ≥ . 分析图 7.4可知，在非反常的情形下，这两个问题的解都应该为 *x 。（更严格的论证参见本 章的附录。）这个简单的结论使我们得到四个重要的恒等式： （1） mmpvpe ≡)),(,( 。实现效用 ),( mpv 的必要最小支出为m。 （2） uupepv ≡)),(,( 。收入 ),( upe 能实现的最大效用为u。 （3） )),(,(),( mpvphmpx ii ≡ 。收入为m时的马歇尔需求函数与效用为 ),( mpv 时的希 克斯需求函数是相同的。 （4） )),(,(),( upepxuph ii ≡ 。效用为u时的希克斯需求函数与收入为 ),( upe 时的马歇 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 12 尔需求函数是相同的。 最后一个恒等式也许是最重要的，因为它将“可观测的”马歇尔需求函数和“不可观测 的”希克斯需求函数联系起来。这个恒等式表明，希克斯需求函数——支出最小化的解—— 等于在相应收入水平时的马歇尔需求函数——即，在给定价格水平下，为实现合意的效用水 平所必需的最小收入。因此，任何需求束都可以表达为效用最大化问题的解，也可以表达为 支出最小化问题的解。在本章的附录部分，我们给出了二者相等的条件。目前，我们只是分 析这个对偶性的结果。 正是这种联系产生了“补偿需求函数”的概念。在价格变动的情形下，我们调整消费 者的收入，即对他进行“补偿”以让他维持在既定的效用水平上，这种情形下他对商品的马 歇尔需求就是希克斯需求。 图 7.4：最大化效用和最小化支出。一般来说，使效用最大化的消费束也使支出最小化；反 之亦然。 下列定理给出了这些恒等式的一个应用： 罗伊 ．． (Roy)恒等式 ．．． 。如果 ),( mpx 是马歇尔需求函数，那么 ki m mpv p mpv mpx ii ,...,1),( ),( ),( = ∂ ∂ ∂ ∂ −= 当然前提条件是上式右侧是良好定义的，而且 0>ip 以及 0>m 。 证明。假设 * x 在 ),( ** mp 处使得效用最大，最大值为 *u ，从前面的恒等式我们知道 ).,(),( **** uphmpx ≡ （7.2） 从另外一个恒等式，我们还知道 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 13 )).,(,( ** upepvu ≡ 这个恒等式是说，不管价格在什么水平上，如果在这些价格下为使消费者达到效用 *u ，你 给他一笔最小的收入，那么他能达到的最大效用就是 *u 。 由于这是一个恒等式，该式两侧同时对 ip 求导可得 ii p upe m mpv p mpv ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ),(),(),(0 ****** 将上式变形并结合（7.2）式可知 .),( ),( ),(),(),( ** ** ** **** m mpv p mpv p upe uphmpx i i ii ∂ ∂ ∂ ∂ −≡ ∂ ∂ ≡≡ 由于这个恒等式对于所有 ),( ** mp 成立，而且由于 ),( *** mpxx = ，就证明了最终的结果。 ■ 以上的证明，尽管简练，但它的启发性不够强。下面我们再给出另外一种直接的证明 方法。间接效用函数为 )),((),( mpxumpv ≡ （7.3） 如果我们将上式对 jp 求导，可得 . )(),( 1 j i n i ij p x p xu p mpv ∂ ∂ ∂ ∂ ≡ ∂ ∂ ∑ = （7.4） 由于 ),( mpx 为需求函数，它满足利润最大化的一阶条件。将这些一阶条件代入（7.4）式可 得 . ),( 1 j i n i i j p xp p mpv ∂ ∂ = ∂ ∂ ∑ = λ （7.5） 需求函数还满足预算约束 mmppx ≡),( ，将该式两侧对 jp 求导可得 .0),( 1 = ∂ ∂ + ∑ = j i n i ij p xpmpx λ （7.6） 将（7.6）代入（7.5）可得 ).,(),( mpx p mpv j j λ−= ∂ ∂ （7.7） 现在将（7.3）式两侧对m求导可得 . ),( 1 m xp m mpv i k i i ∂ ∂ = ∂ ∂ ∑ = λ （7.8） 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 14 将预算约束对m求导可得 1 1 =∂ ∂ ∑ = m xp i k i i （7.9） 将（7.9）代入（7.8）可得 . ),( λ= ∂ ∂ m mpv （7.10） 这个式子只是说，一阶条件中的拉格朗日乘子就是收入的边际效用。将（7.7）和（7.10）合 在一起就得到了罗伊恒等式。 最后，罗伊恒等式还有一种证明方法，这就是直接使用包络定理进行证明（参见第 27 章）。上述的论证过程就是将包络定理的证明过程重述了一遍。 7.5 以货币度量的效用函数 关于支出函数有一个漂亮的构造，福利经济学不少地方都要用到它。考虑某些价格 p和 某个给定的商品束 x。我们提出以下问题：为了和消费商品束 x的状况一样好，在价格 p下 某个既定的消费者至少需要多少钱？ 图 7.5告诉我们如何使用图形构建这个问题的 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ，前提是我们知道消费者偏好。我们 只要看看消费者为了达到经过 x的无差异曲线需要多少钱即可。在数学上，我们要求解下列 问题： pz z min 使得 )()( xuzu ≥ 图图图图 7.5：：：：以以以以货币货币货币货币度量度量度量度量的的的的直接直接直接直接效用函数效用函数效用函数效用函数。货币制的效用函数，给出了在价格 p下为使消费者的 效用至少和商品束 x一样好，他应该拥有的最小钱数。 这类函数经常出现，因此需要给它起个名字；遵循萨缪尔森（Samuelson, 1974）的叫法， 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 15 我们将其称为以 ． 货币度量的效用函数 ．．．．．．．．． （money metric utility function）。有时也称为“最低 收入函数”，或“直接补偿函数”等其他名字。另外的一种定义方法是 )).(,(),( xupexpm ≡ 容易看出，如果 x固定不变，则 )(xu 也是固定不变的，因此 ),( xpm 的行为和支出函 数的行为是一样的：它对于价格 p是单调的、齐次的和凹的，等等。但下列事实不怎么明 显：当 p固定不变时， ),( xpm 实际上就是一个效用函数。证明很简单：价格固定不变时， 支出函数是效用水平的增函数，如果你想得到更高的效用水平，你必须花费更多的钱。事实 上，如果偏好是连续的、局部非饱和的，则支出函数是u的严格增函数。 因此，对于固定不变的 p， ),( xpm 只是效用函数的单调变换，因此它本身也是个效用 函数。 由图 7.5不难看出这一点。对于通过 x的无差异曲线上的所有点，我们赋予相同的数值； 对于更高无差异曲线上的所有点，我们赋予更大的数值。这正是效用函数要求的全部条件， 因此 ),( xpm 是一个效用函数。 对于间接效用函数也有一个类似的构造，称为以货币度量的间接效用函数 ．．．．．．．．．．．． （money metric indirect utility function）。它的表达式为 )).,(,(),;( mqvpemqp ≡µ 也就是说， ),;( mqpµ 衡量当价格为 p时某人需要多少钱才能使他的状况，和当价格为q且 他的收入为m时的状况一样好。和前面直接效用情形一样， ),;( mqpµ 的行为类似支出函 数关于 p的行为，但是现在它的行为类似于间接效用函数关于 q和m的行为。这是因为， 它毕竟是间接效用函数的单调变换。图 7.6给出了一个例子。 图图图图 7.6:以货币单位衡量的间接效用函数以货币单位衡量的间接效用函数以货币单位衡量的间接效用函数以货币单位衡量的间接效用函数。。。。这个函数是说当价格为 p时，消费者至少应拥有多 少钱，才能使他的状况和当价格为q且他的收入为m时的状况一样好。 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 16 直接和间接补偿函数的一个没好特征是他们仅包含可以观测到的可以观测到的可以观测到的可以观测到的 ．．．．．． 变量。它们是一类特特特特 ． 别的别的别的别的 ．． 直接和间接效用函数，使用它们可以衡量我们感兴趣的一些东西，而且关于单调变换也 是很明确的。在讨论可积理论（integrability theory）和福利经济学时，我们将发现这一特征 非常有用。 例子：柯布-道格拉斯效用函数 柯布-道格拉斯效用函数形式为 .),( 12121 aa xxxxu −= 由于该函数的任何单调变换仍然代 表着相同的偏好，我们也可以将它写为 .ln)1(ln),( 2121 xaxaxxu −+= 支出函数和希克斯需求函数是相同的，只要相应将符号改变一下即可；成本函数和条 件要素需求函数（请参见第 4章）也是相同的。马歇尔需求函数和间接效用函数可用求解下 列问题的方法推导出来： 21 ln)1(lnmax xaxa −+ 使得 .2211 mxpxp =+ 构造拉格朗日函数 ).(ln)1(ln 221121 mxpxpxaxaL −+−−+= λ 一阶条件为 01 0 2 2 1 1 =− − =− p x a p x a λ λ .02211 =−+ mxpxp 由前两个式子可得 . 1 2211 xp a xp a − = 将上式交叉相乘并使用预算约束可得 1 211 11 111122 ),,( p am mppx xpam xapxpxap = = −= 将 1x 代入预算约束可得商品 2的马歇尔需求函数 2 212 )1(),,( p ma mppx −= 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 17 将商品 1和 2的马歇尔需求函数代入目标函数并整理可得到间接效用函数： .ln)1(lnln),,( 2121 papammppv −−−= （7.11） 得到间接效用函数的一种更快方法是求柯布-道格拉斯成本函数或支出函数（参见第 4 章）的逆函数。我们已知道这样的支出函数为 ,),,( 12121 upKpuppe aa −= 其中K是取决于参数 a的常数。求上述函数的逆时，用m替换上式中的 ),,( 21 uppe ，用 ),,( 21 mppv 替代u可得 .),,( 1 21 21 aa pKp m mppv − = 这个式子只是（7.11）式的一个单调变换，对上式两侧同时取对数就可以看清这一点。 以货币度量的效用函数可用替代的方法得到。我们有 aaaa aa xxpKp xxupKpxpm −− − = = 1 21 1 21 21 1 21 ),(),( 以及 . ),,(),;( 1 21 1 21 21 1 21 mqqpKp mqqvpKpmqp aaaa aa −−− − = =µ 例子：CES 效用函数 CES 效用函数的形式为 .)(),( /12121 ρρρ xxxxu += 由于效用函数的单调变换不会改变原 来的偏好，我们可以选择 ).ln(1),( 2121 ρρρ xxxxu += 在以前我们已经知道 CES 技术的成本函数的形式为 yxxywc rrr /121 )(),( += ，其中 )1/( −= ρρr 。因此，CES效用函数的支出函数必然具有下列形式 .)(),( /121 uppupe rrr += 需求函数可通过罗伊法则求出： .)()( )(1 /),( /),(),( 21 1 1 /1 21 1 1 )11( 21 1 1 1 rr r rrr rrrr pp mp pp mrppp r mmpv pmpv mpx + = + + = ∂∂− ∂∂− = − − − +− CES效用函数的以货币度量的效用函数也可以使用替代的方法得到： ρρρ /1 21 /1 21 )()(),( xxppxpm rrr ++= .)()(),;( /121/121 maqppmqp rrrrrr −++=µ 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 18 附录 考虑下列两个问题： ... )(max mpxts xu ≤ （7.12） .)(.. min uxuts px ≥ （7.13） 假设： （1）效用函数是连续的；（2）偏好满足局部非饱和性；（3）上述两个最优化问题的解存在。 效用最大化蕴涵支出最小化 ．．．．．．．．．．．． 。假设上述假设都得到满足。令 *x 是（7.12）的解，令 )( *xuu = 。则 *x 也是（7.13）的解。 证明。假设不是，令 x′是（7.13）的解，因此 *pxxp <′ 而且 )()( *xuxu ≥′ 。根据局部非饱 和性可知，存在充分接近于 x′的消费束 x ′′ ，使得 mpxxp =<′ *ɺ 而且 )()( *xuxu >′′ 。但这 样一来， * x 就不可能是（7.12）的解。■ 支出最小化蕴涵效用最大化 ．．．．．．．．．．．． 。假设上述假设都得到满足。令 * x 是（7.13）的解，令 *pxm = ，并假设 0>m 。则 *x 也是（7.12）的解。 证明。假设不是，令令 x′是（7.12）的解，因此 )()( *xuxu ≥′ 并且 .* mpxxp ==′ 由于 0* >px 且效用函数是连续的，我们可以找到 10 << t 使得 mpxxpt =<′ * 且 )()( *xuxtu >′ 。因此， * x 不可能是（7.13）的解。■ 注释 文中对效用函数存在性的证明参考了 Wold（1943）的文献。效用函数存在性一般定理 可在 Debru(1964)中找到。 间接效用函数的重要性首先由 Roy（1942，1947）提出。支出函数似乎源于 Hicks（1946）。 使用对偶方法研究消费者理论，参考的是McFadden & Winter(1968)。货币度量的效用函数 要归功于McKenzie（1957）和 Samuelson（1974）。 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 19 习题 7.1 考虑定义在非负象限的偏好 ),(),( 2121 yyxx ≻ 若 2121 yyxx +<+ 。这样的偏好是否是 局部非饱和的？如果消费品只有上面两种，而且它们的价格均为正，消费者会将他的收入全 部花完吗？请解释。 7.2 某消费者的效用函数为 },max{),( 2121 xxxxu = 。求该消费者对于商品 1 的需求函数。 求他的间接效用函数和支出函数。 7.3某个消费者的间接效用函数具有下列形式 1 2 1 2 ( , , ) . min{ , } m v p p m x x = 求这个消费者的支出函数、（拟凹）效用函数和他对商品 1的需求函数。 7.4考虑下列间接效用函数 1 2 1 2 ( , , ) .mv p p m p p = + （a）求需求函数； （b）求支出函数； （c）求直接效用函数 7.5某个消费者的直接效用函数为下列形式 1 2 1 2( , ) ( ) .u x x v x x= + 商品 1是离散商品；商品 1的可能消费水平只有两种即 1 0x = 和 1 1x = 。为简单起见，假设 (0) 0u = 和 2 1p = 。 （a）这个消费者有什么样的偏好？ （b）如果 1p 严格小于多少时，消费者将肯定选择 1 1x = ？ （c）与这个直接效用函数相伴的间接效用函数的代数表达式是什么？ 7.6 某个消费者的间接效用函数为 ( , ) ( ) .v m A m=p p （a）这个消费者有什么样的偏好？ （b）他的支出函数 ( , )e up 是什么样的？ （c）他的以货币度量的间接效用函数 ( ; , )q mµ p 是什么样的？ （d）现在假设消费者的间接效用函数为 ( , ) ( ) bv m A m=p p ，其中 1b > 。在这种情形下， 该消费者的以货币度量的间接效用函数是什么样的？