基于频率域的电路分析

基于频率域的暂态响应分析 顾恩伟 上方能源 2012年 10月 15日 概要：当系统用传递函数建模后，就需要考察这个传递函数进而得到系统的暂态特性。得到 暂态特性的路有两条：一、将传递函数倒回时域，然后用电脑做图，进而特到暂态特性。二、 直接基于传递函数，用量化分析的方法得到系统的暂态特性。其中，第一种方法费时费力， 工程师得不到对系统的一种直观感受。而用量化分析的方法，工程师可以直接从传递函数中 用简单的代数方法得到系统的暂态特性，本文将细致介绍第二种方法。 关键词：一阶系统、二阶系统、量化分析 1. 一、二阶系统分析的意义 a) 尽管一、二阶系统多属于开环类的子系统，但是这些子系统是一个大的闭环系统的 组成部分，工程师在完成总系统前，势必需要对子系统进行分析。 b) 一、二阶系统的暂态特性分析时，用阶跃信号作为输入。 c) 注意：本章分析的是开环系统的暂态响应，而根轨迹是单位反馈闭环系统，二阶系 统暂态分析是对二阶欠阻尼系统而言的。 2. 传递函数的零极点 a) 传递函数分母为零的根，即为这个传递函数的极点。很好理解，因为这个根趋于零 时，这个函数趋于无穷。 b) 传递函数分子为零的根，即为这个传递函数的零。一样，当分子为零时，整个函数 为零。 c) 只有极点对系统的暂态响应有影响，零和极共同影响增益。所以只需要考察传递函 数极点的位置就可知道暂态特性。 3. 暂态特性的种类 a) 一阶系统  上升时间：Tr = 2.2 a  安定时间：Ts = 4 a b) 二阶欠阻尼系统  峰值时间：Tp  过冲百分比：%OS  安定时间：Ts 4. 传递函数中零极点的来源 一个系统的输出是由输入函数与系统函数相乘得到，如：input = 1 s ，sys = s+2 s+5 。那么， output = s+2 s(s+5) ，这个输出有两个极点（-5、0），一个零点（-2）。其中，极点 0是有输 入函数贡献的，-5是系统函数贡献的。在时域中，对应输入极点的响应就做受迫响应， 对应系统函数的极点叫自然响应。 图 1：零极点与其在 s坐标系的位置 5. 一阶系统 光从系统的传递函数上看，一阶系统的形式为 α s+α ，将其转回时域后，会发现它是一个 以− 1 α 为时间常数的自然指数函数，即e−at。不难看出α越大，函数衰减（增长）的越快 速，下面分析一个以阶跃信号作为输入的一阶系统。 a) 量化参数  输入：𝑅(𝑠) = 1 𝑠  系统：𝐺(𝑠) = 𝛼 𝑠+𝛼  输出：𝐶(𝑠) = 𝑅(𝑠)𝐺(𝑠) = 𝛼 𝑠(𝑠+𝛼)  输出的时域形式：𝑐(𝑡) = 𝑐𝑓(𝑡) + 𝑐𝑛(𝑡) = 1 − 𝑒 −𝛼𝑡  系统零极点坐标图：  指数函数频率：𝛼 b) 暂态特性计算  指数函数时间常数： 1 𝑎  上升时间：𝑇𝑟 = 2.2 𝑎  安定时间：𝑇𝑠 = 4 𝑎 图 2：一阶系统的阶跃响应 c) 分析路线 6. 二阶系统 系统的阶数与其根的个数是相同的，二阶系统就有两个根。只有极点对二阶系统的暂态 响应有影响，零和极共同影响增益。所以，只要求出二阶系统的两个极点，就能直接得 出暂态特性。二阶系统的一般 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式如下： a) 量化参数  系统方框图 𝛼（指数函数 频率）越大 图形初始斜 率越大 上升时间越 快 安定时间越 短  套公式求根（即求极点位置） ωn：自然频率-natural frequency，表示系统中去除阻尼后响应。如，一个 RLC电路阶跃响应的信号线为振荡阻尼，这根线的包线为指数阻尼，而自然频 率为电路去除 R之后的振荡线，即图中黄线信号的频率。 ξ：指数阻尼频率与自然频率的比， σd ωn 或cos (θ)，阻尼系数-damping ratio 𝐺(𝑠) = 𝜔𝑛 2 𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2 𝜔𝑛 = √𝑏 𝜉 = a 2√𝑏 s1,2 = − 𝜉𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛√𝜉2 − 1  根据阻尼系数𝜉判断系统类型 根据阻尼不同，可分四种：无阻尼 0、欠阻尼（0，1）、关键阻尼 1 和过阻尼 （1，∞）。 图 3：不同阻尼系数下的二阶系统 可以发现，根的实部频率为时域中自然指数函数的频率，虚部频率为正弦函数 频率。  二阶欠阻尼系统 二阶系统的暂态特性分析指的是对二阶欠阻尼系统的分析，这种系统在应用中 具有代表性。 σd：复数根的实部，指数阻尼频率-exponential decay frequency ，图中红 线信号的频率。 ωd：复数根的虚部，振荡阻尼频率-damped frequency of oscillation，图 中蓝线信号的频率。 ωn：复数根的模，自然频率-natural frequency，表示系统中去除阻尼后响 应。如，一个 RLC电路阶跃响应的信号线为振荡阻尼，这根线的包线为指数阻 尼，而自然频率为电路去除 R之后的振荡线，即图中黄线信号的频率。 ξ：指数阻尼频率与自然频率的比， σd ωn 或cos (θ)，阻尼系数-damping ratio 图 4：欠阻尼二阶系统的极（分母的根）在频率坐标系  传递函数返回时域的图形 二阶系统（欠阻尼）返回到时域后，可以发现它的波形（蓝线）是由频率为σd的 自然指数函数与频率为ωd的正弦函数相乘的结果。即： 𝑔(𝑡) = 𝑘 ∗ 𝑒−𝜎𝑑 ∗ sin(𝜔𝑑𝑡) 其中，k是有零点与极点共同作用的结果，不响应暂态特性，所以在量化分析 时不需要考虑。 图 5：欠阻尼二阶系统在时域中的暂态响应 b) 二阶欠阻尼系统暂态特性计算  峰值时间-peak time：波形到达第一个峰值所花费的时间。 𝑇𝑝 = 𝜋 𝜔𝑑 = 𝜋 𝜔𝑛√1 − 𝜉2  过冲百分比-percent overshoot：最高峰值与稳态值的一个百分比。 %𝑂𝑆 = 𝑒 −( 𝜉𝜋 √1−𝜉2 ) × 100  安定时间-setting time：振荡范围到达在稳态值上下 2%时花费的时间。 𝑇𝑠 = 4 𝜎𝑑 = 4 𝜉𝜔𝑛 c) 二阶欠阻尼系统根与时域波形的关系  复数根的实部为指数阻尼频率，即振荡阻尼函数包线函数的频率。虚部为振荡 阻尼函数频率。 暂态特性 相关频率 安定时间 反比指数阻尼频率 峰值时间 反比振荡阻尼函数 过冲百分比 正比振荡阻尼函数，反比指数阻尼频率 图 6：根的位置对暂态特性参数的影响 d) 分析路线 套用公式，计 算𝜔𝑛与𝜉 根据𝜉，判断系 统阻尼类型 如果是欠阻尼系统， 计算 3个暂态特性