量子力学（课后15题）

1．2 在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv， 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（ ），那么 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即 ，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 在这里，利用了 以及 最后，对 作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。 1．3 氦原子的动能是 （k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。 解 根据 ， 知本题的氦原子的动能为 显然远远小于 这样，便有 这里，利用了 最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT，这样，其相应的德布罗意波长就为 据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。 2.1.证明在定态中，几率流密度与时间无关。 证：对于定态，可令 可见 无关。 2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是 证： （2.6-14） 由归一化，得 ∴归一化常数 2.5 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。 解： 令 ，得 由 的表达式可知， 时， 。显然不是最大几率的位置。 可见 是所求几率最大的位置。 # 3.7 一维运动粒子的状态是 其中 ，求： (1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。 解：(1)先求归一化常数，由 ∴ 动量几率分布函数为 (2) # 3.9.设氢原子处于状态 求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。 解：在此能量中，氢原子能量有确定值 角动量平方有确定值为 角动量Z分量的可能值为 EMBED Equation.3 其相应的几率分别为 ， 其平均值为 4.4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。 解： # 4.6. 求连续性方程的矩阵表示 解：连续性方程为 ∴ 而 ∴ 写成矩阵形式为 # 5.3 设一体系未受微扰作用时有两个能级： ，现在受到微扰 的作用，微扰矩阵元为 ； 都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。 解：由微扰公式得 得 ∴ 能量的二级修正值为 # 5.7 计算氢原子由2p态跃迁到1s态时所发出的光谱线强度。 解： 若 ，则 # 7.1.证明： 证：由对易关系 及 反对易关系 ， 得 上式两边乘 ，得 ∵ ∴ 7.6 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？ 解：体系可能的状态有4个。设两个单粒子态为 ， ，则体系可能的状态为 _1078291838.unknown _1080910858.unknown _1084974830.unknown _1208935845.unknown _1208936560.unknown _1208964819.unknown _1209203034.unknown _1209203337.unknown _1263041073.unknown _1209203362.unknown _1209203071.unknown _1208965035.unknown _1208965042.unknown _1208964832.unknown _1208936669.unknown _1208936898.unknown _1208937033.unknown _1208936738.unknown _1208936626.unknown _1208936330.unknown _1208936343.unknown _1208936238.unknown _1084974834.unknown _1208935660.unknown _1208935708.unknown _1084974836.unknown _1208935619.unknown _1084974837.unknown _1084974835.unknown _1084974832.unknown _1084974833.unknown _1084974831.unknown _1084974693.unknown _1084974697.unknown _1084974700.unknown _1084974701.unknown _1084974698.unknown _1084974695.unknown _1084974696.unknown _1084974694.unknown _1081500384.unknown _1084974691.unknown _1084974692.unknown _1084974690.unknown _1080910860.unknown _1080910862.unknown _1080910863.unknown _1080910864.unknown _1080910861.unknown _1080910859.unknown _1080910789.unknown _1080910793.unknown _1080910795.unknown _1080910857.unknown _1080910794.unknown _1080910791.unknown _1080910792.unknown _1080910790.unknown _1078291842.unknown _1078291844.unknown _1080910788.unknown _1078291843.unknown _1078291840.unknown _1078291841.unknown _1078291839.unknown _1060782198.unknown _1061134708.unknown _1078291833.unknown _1078291836.unknown _1078291837.unknown _1078291835.unknown _1078291830.unknown _1078291831.unknown _1061809660.unknown _1078291789.unknown _1061809645.unknown _1061134704.unknown _1061134706.unknown _1061134707.unknown _1061134705.unknown _1060782297.unknown _1061134702.unknown _1061134703.unknown _1061134701.unknown _1060782261.unknown _1060780570.unknown _1060781015.unknown _1060782170.unknown _1060782185.unknown _1060781144.unknown _1060780606.unknown _1060780843.unknown _1060780580.unknown _1060778837.unknown _1060780405.unknown _1060780500.unknown _1060780532.unknown _1060780452.unknown _1060779186.unknown _1060780197.unknown _1060778926.unknown _1060779165.unknown _1060778863.unknown _1060778645.unknown _1060778754.unknown _1060778780.unknown _1060778702.unknown _1060778459.unknown _1060778582.unknown _1060778150.unknown