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论矩阵可交换的充要条件.pdf

论矩阵可交换的充要条件

ztdatou_zjcgk
2012-12-21 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《论矩阵可交换的充要条件pdf》,可适用于高等教育领域

 收稿日期第卷第期大 学 数 学Vol,№年月COLLEGEMATHEMATICSOct论矩阵可交换的充要条件钱微微, 蔡耀志(浙江中医药大学,杭州 浙江大学,杭州)  摘 要从分析二阶矩阵可交换的情况出发,推测出一般矩阵可交换的充要条件,通过将矩阵A化成约当标准型后的不同情形,可最后证明若A矩阵中没有纯量阵的对角块,那么与它可交换的矩阵B必可表示为A矩阵的n次多项式,其中n为A矩阵的阶数关键词矩阵可交换充要条件多项式矩阵中图分类号O  文献标识码C  文章编号()本文揭示了与一个A矩阵可交换(即AB=BA)的B矩阵所应满足的充要条件为:除A很特殊的情形外(参看本文)B与A可交换的充要条件为B是A的n次多项式:Pn(A)=pIpApA⋯pnAn引理 (i)A=O时(即A为零矩阵时),与A可交换的矩阵B可以是任意的与A同阶的B矩阵(ii)当A是纯量矩阵时,即A=aIn,a是实数,In是n阶单位矩阵,则与A可交换的B矩阵也可以是任意与A同阶的矩阵(iii)A的幂矩阵总是与A可交换的推论 A的任意次多项式矩阵总是与A可交换的定理 与A可交换的多项式矩阵总可以转化为小于等于n次的多项式矩阵证 应用哈密顿凯莱定理,即可将高于n次的A的幂矩阵转化为小于等于n次的多项式矩阵本定理即为本文结论的充分性结论然而必要性的证明却并不容易为了相信必要性的正确性,我们不妨先分析一下一般二阶矩阵的情形:设A=aaaa,此时,与它可交换的矩阵B不妨写成X=xxxx考虑到AX=XA,我们获得等价的一个线性方程组axax=axax,()axax=axax,()axax=axax,()axax=axax()消去方程组中左右相同的项后,(),()二式是相同的,ax=ax()由()得(设a≠)xx=(aa)xa()由()得(设a≠)xx=(aa)xa()从(),(),()推得与A可交换的条件为一、当a=a=,a=a时,A矩阵是纯量矩阵此时由引理中的(ii)即知X可任取二阶矩阵都与A可交换二、当a≠,a≠时,推得可交换条件为xxaa=xa=xa=t′再令x=t′,那么X有解X=t′aaaat′=taaaat可验证,AX=(aaaa)tat(aa)atat(aa)atat(aaaa)tat=XA而对于a=,a≠及a=,a≠等条件下求解也都能归结于以上的X的解的形式因此我们从二阶矩阵的分析中就可猜测一般矩阵可交换的条件,但是仍用解方程组的办法来分析,对于三阶以上矩阵已非常繁琐,显然不能用此方法下面我们考虑另外的方法引理 当A矩阵为对角阵,即A=diag(a,a,⋯,an),且ai(i=,,⋯,n)互不相同时,与它可交换的B矩阵必可表示成A的n次多项式证 与对角矩阵可交换的矩阵用求解方程(AB=BA)的办法可得到结论:B必须是一个对角阵B=diag(c,c,⋯,cn),ci(i=,,⋯,n)可以取任何实数如果我们考察下面方程:B=pInpA⋯pnAn它实质上是一个p,p,⋯,pn作为未知数的线性方程组其系数矩阵正好是一个范得蒙行列式当ai互不相同时,该系数行列式不为零,所以可求得pi,i=,,,⋯,n是唯一解故引理的结论得证引理 当A为约当块矩阵,即大 学 数 学              第卷  定理 一个矩阵A化成约当标准型J后,若J中没有纯量矩阵的约当块Jc,那么与A可交换的B矩阵其充要条件为B可以化成A的n次多项式,即B=Pn(A)=pIpApA⋯pnAn证 对于与A可交换的B矩阵应满足的方程AB=BA中,若将A化成约当标准型A=PJP,其中P为满秩阵J为标准型将A代入上面方程,得PJPB=BPJP若令X=PBP,则方程化成JX=XJ这就表明:要求A的可交换矩阵,可先求A的约当标准型J的可交换矩阵C,则与A可交换的矩阵B=PCP由于本定理的前提中表明约当标准型J中没有Jc型(纯量矩阵约当块),Ja型约当块由引理即知与Ja可交换的矩阵可表示为Ja的n次多项式对于Jb型约当块,由引理即知与Jb可交换的矩阵也必可表示为Jb的n次多项式由定理条件,J现在只有这两种类型的约当块,所以与J可交换的矩阵必可表示为J的n次多项式Pn(J)那么与A可交换的矩阵必为B=PPn(J)P=Pn(PJP)=Pn(A)这就证明了在定理前提下与A可交换矩阵B的充要条件为B=Pn(A)我们知道,将一个矩阵化成约当标准型工作量很大,要等到标准型化成才能应用本定理作出判断,那也太麻烦了事实上不必作出约当标准型的分解即可判别一个矩阵是否含有纯量矩阵约当块例 设A=PJaJbJcP=PJaOOOJbOOOJcP=PJaOOOJbOPOOJc第期           钱微微,等:论矩阵可交换的充要条件这表明,纯量约当块Jc在A矩阵中会直接显示出来一目了然于是本定理可表达为若A矩阵中没有纯量矩阵的对角块,那么与它可交换的矩阵B必可表示为A矩阵的n次多项式参 考 文 献 戴华矩阵论M北京:科学出版社,大 学 数 学              第卷

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