第四章第3节多维随机变量的数学期望与协方差

第四章第3节多维随机变量的数学期望与协方差null第四章随机变量的数字特征第四章随机变量的数字特征§4.1 随机变量的数学期望与方差 §4.2 常见随机变量的期望与方差 §4.3 协方差、相关系数与矩4.3.1 多维随机变量函数的数学期望4.3.1 多维随机变量函数的数学期望定理 4.3.1 设 (X, Y) 是二维随机变量， Z = g(X, Y)，则E(Z) = E[g(X, Y)] =§4.3 协方差、相关系数与矩null课堂练习在长为 a 的线段上任取两点 X...

null第四章随机变量的数字特征第四章随机变量的数字特征§4.1 随机变量的数学期望与方差 §4.2 常见随机变量的期望与方差 §4.3 协方差、相关系数与矩4.3.1 多维随机变量函数的数学期望4.3.1 多维随机变量函数的数学期望定理 4.3.1 设 (X, Y) 是二维随机变量， Z = g(X, Y)，则E(Z) = E[g(X, Y)] =§4.3 协方差、相关系数与矩null课堂练习在长为 a 的线段上任取两点 X 与 Y，求两点间的平均长度.求 E(|XY|)4.3.2 数学期望与方差的运算性质4.3.2 数学期望与方差的运算性质1. E(X+Y)=E(X)+E(Y)2. 当X与Y独立时，E(XY)=E(X) E(Y), (性质3.4.1) (性质3.4.2)讨论 X+Y 的方差讨论 X+Y 的方差1. Var(XY) = Var(X)+ Var (Y) 2E[XE(X)][YE(Y)]3. 当X与Y独立时，E[XE(X)][YE(Y)] = 0.4. 当X与Y独立时， Var(X Y) = Var(X)+ Var (Y) .2. E[XE(X)][YE(Y)] = E(XY)  E(X)E(Y)注意：以上命题反之不成立.4.3.3 协方差4.3.3 协方差定义4.3.1 称 Cov(X, Y) = E[XE(X)][YE(Y)] 为 X 与 Y 的协方差.协方差的性质协方差的性质(4) Cov(X, Y) = Cov(Y, X). (性质3.4.7)(1) Cov(X, Y) = E(XY)  E(X)E(Y). (性质3.4.4)(2) 若 X 与 Y 独立，则 Cov(X, Y) = 0. (性质3.4.5)(6) Cov(aX, bY) = abCov(X, Y) . (性质3.4.9)(3) Var(XY) = Var(X)+ Var (Y)  2 Cov(X, Y) (性质3.4.6)(5) Cov(X, a) = 0. (性质3.4.8)(7) Cov(X+Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z). (性质3.4.10)课堂练习1课堂练习1 X 与 Y 独立，Var(X) = 6，Var(Y) = 3，则 Var(2XY) = ( ). 27课堂练习2课堂练习2 X ~ P(2)，Y ~ N(2, 4)， X与Y独立，则 E( XY) = ( ); E( XY)2 = ( ).422配对模型的数学期望和方差配对模型的数学期望和方差解：记 “Xi = 1” = “第 i 个人拿对自己的礼物” “Xi = 0” = “第 i 个人未拿对自己的礼物” n 个人、n 件礼物，任意取. X 为拿对自已礼物的人数，求 E(X), Var(X) 则因为 E(Xi) = 1/n, 所以 E(X) = 1.又因为null所以 E(XiXj) = 1/[n(n1)],XiXjP0 111/[n(n1)] 1/[n(n1)]由此得又因为所以先计算 E(XiXj),XiXj的分布列为null所以4.3.4 相关系数4.3.4 相关系数定义4.3.2 称 Corr(X, Y) =为 X 与 Y 的相关系数.注意点注意点若记则相关系数的性质(1)相关系数的性质(1)(1) 施瓦茨不等式{ Cov(X, Y) }2  Var(X)Var(Y). 相关系数的性质(2)相关系数的性质(2)(2) 1  Corr(X, Y)  1. (3) Corr(X, Y) = 1X 与 Y 几乎处处有线性关系。(性质3.4.11)(性质3.4.12)P(Y=aX+b)=1注意点注意点Corr(X, Y) 的大小反映了X与Y之间的线性关系： Corr(X, Y) 接近于1， X 与 Y 间正相关. Corr(X, Y) 接近于 1， X 与 Y 间负相关. Corr(X, Y) 接近于 0， X 与 Y 间不相关.没有线性关系null例4.3.1 设 (X, Y) 的联合分布列为求 X, Y 的相关系数.解:= 0同理= 3/4E(Y) = E(X) = 0另一方面= 1/81/81/8+1/8= 0所以Cov(X, Y)即 Corr(X, Y) = 0E(Y2) = E(X2) = 3/4= E(XY)E(X)E(Y) = 0null例4.3.2 (X, Y) ~ p(x, y) =求 X, Y 的相关系数解:= 7/6= 5/3所以, Var(X) = Var(Y) = 11/36= 4/3null 二维正态分布的特征数(1) X ~ N( 1, 12), Y~ N( 2, 22);(2) 参数  为 X 和 Y 的相关系数;(4) 不相关与独立等价.4.3.5 随机向量的数学期望与协方差阵4.3.5 随机向量的数学期望与协方差阵定义4.3.3 记称，则为的协方差阵，记为或协方差阵的性质协方差阵的性质定理4.3.2 协方差阵对称、非负定.注意点注意点称为的相关矩阵.课堂练习1课堂练习1 设 X ~ N(0, 1), Y ~ N(0, 1), Var(XY) = 0, 求 (X, Y) 的协差阵  .课堂练习2课堂练习2 设 X, Y 的协差阵为求相关阵 R.

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