ch10_有限元方法

nullnull第10章有限元方法有限元法的基本概念有限元法的基本原理有限元法的工程应用 null第一节 有限元法的基本概念在工程分析和科学研究中，常常会遇到大量的由常微分方程、偏微分方程及相应的边界条件描述的场问题，如位移场、应力场和温度场等问题。求解这类场问题的方法主要有两种。解析法数值解法 有限差分法 有限元法 边界元法其中，以有限元法通用性最好，解题效率高，目前在工程中的应用最为广泛。第10章有限元方法null第一节 有限元法的基本概念第10章有限元方法所谓连续体是指所求解的对象（物体或结构）。 所谓离散化就是将求解的对象划分为有限个具有规则形状的微小块体，把每个微小块体称为单元，两相邻单元之间只通过若干点互相连接，每个连接点称为节点。 因而，相邻单元只在节点处连接，载荷也只通过节点在各单元之间传递，这些有限个单元的集合体即是原来的连续体。离散化也称为划分网格或网络格化。单元划分后，给每个单元及节点进行编号；选定坐标系，计算各个节点坐标；确定各个单元的形态和性态参数以及边界条件等。连续化离散化右图是对一悬臂梁建立有限元分析模型的例子，图中将该悬臂梁划分为许多三角形单元，三角形单元的三个顶点都是节点。 null第一节 有限元法的基本概念第10章有限元方法单元分析连续体离散化后，即可对单元体进行特性分析，简称单元分析。单元分析工作主要有两项：选择单元位移模式（位移函数）和分析单元的特性，即建立单元刚度矩阵。 根据材料学、工程力学原理可知，弹性连续体在载荷或其他因素作用下产生的应力、应变和位移，都可以用位置移函数来表示，为此，必须用位移函数模拟位移的分布规律根据所选定的位移模式，就可以导出用节点位移来表示单元体内任一点位移的关系式。所以，正确选定单元位移模式是有限元分析与计算的关键。 选定好单元位移模式后，即可进行单元力学特性分析，将作用在单元上的所有力（表面力、体积力、集中力）等效地移置为节点载荷，采用有关的力学原理建立单元的平衡方程，求得单元内节点位移与节点力之间的关系矩阵——单元刚度矩阵。null第一节 有限元法的基本概念第10章有限元方法整体分析null第一节 有限元法的基本概念第10章有限元方法确定约束条件有限元方程的求解由上述所形成的整体平衡方程是一组线性代数方程，在求解之前，必须根据具体情况，分析与确定求解对象问题的边界约束条件，并对这些方程进行适当修正。 解方程，即可求得各节点的位移，进而根据位移计算单元的应力及应变。 null第一节 有限元法的基本概念第10章有限元方法结果分析与讨论 null第一节 有限元法的基本概念第10章有限元方法有限元法的基本 思想 教师资格思想品德鉴定表下载浅论红楼梦的主题思想员工思想动态调查问卷论语教育思想学生思想教育讲话稿 是把连续的几何结构离散成有限个单元，并在每一单元设定有限个节点，从而将连续体看做仅在节点处相连接的一组单元的集合体，同时选定场函数的节点值作为基本未知量，并在每一单元中假设一个近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律，再建立用于求解节点未知量的有限元方程组，从而将一个连续域中的无限自由度问题转化为离散域中有限自由度问题，求解得到节点值后就可以通过设定的插值函数确定单元上以至整个集合体上的场函数。 有限元法的基本思想 null第二节 有限元法的基本原理第10章有限元方法用有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元作分片插值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。有限元法把连续体离散成有限个单元：杆系结构的单元是每一个杆件；连续体的单元是各种形状（如三角形、四边形、六面体等）的单元体。每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代数方程组，求解此离散方程组就得到有限元法的数值解。 有限元法的基本原理null第10章有限元方法第二节 有限元法的基本原理单元划分方法1将连续体离散化是有限元分析的第一步和基础。由于结构物的形状、载荷特性、边界条件等的差异，所以离散化时，要根据设计对象的具体情况，确定单元（网格）的大小和形状、单元的数目以及划分 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 等。 常用的自然单元有杆单元、板单元、轴对称单元、薄板弯曲单元、板壳单元、多面体单元等。 对于平面问题，可分为三角形单元、四边形单元等。对于空间问题，可分为四面体单元、六面体单元等。 另外，根据单元类型的维数，可分为一维单元（梁单元）、二维单元（面单元）和三维单元（体单元）等。null第二节 有限元法的基本原理第10章有限元方法平面单元和多面体单元 平面单元属于二维单元，单元厚度假定为远远小于单元在平面中的尺寸，单元内任一点的应力、应变和位移只与两个坐标方向变量有关。在图中，常用的平面单元有三角形单元和矩形单元，单元每个节点有两个位移自由度。多面体单元属于三维单元，即单元的位移分布规律是空间三维坐标的函数。常用的单元类型有四面体单元和六面体单元，单元的每个节点有三个位移自由度。此类单元适用于实心结构的有限元分析，如机床的工作台、动力机械的基础等较厚的弹性结构。单元划分方法null第二节 有限元法的基本原理第10章有限元方法单元划分原则null第二节 有限元法的基本原理第10章有限元方法单元划分原则null第二节 有限元法的基本原理第10章有限元方法有限元方程的建立直接刚度法虚功原理法能量变分法加权残数法null第二节 有限元法的基本原理第10章有限元方法有限元方程的建立直接刚度法是直接利用物理概念来建立单元的有限元方程的一种方法，这一方法仅适用于简单形状的单元，如梁单元。 下面就以一平面内的简支梁为例，用直接刚度法建立单元刚度。 梁在横向外载荷（可以是集中力或分布力或力矩等）作用下产生弯曲变形，在水平载荷作用下产生线位移。平面简支梁元及其计算模型 null第二节 有限元法的基本原理第10章有限元方法对于平面简支梁问题，梁上任一点受有三个力的作用：水平力 、剪切力 和弯矩 ，相应的位移为水平线位移、挠度 和转角 通常规定：水平线位移和水平力向右为正，挠度和剪切力向上为正，转角和弯矩逆时针方向为正。 建立单元有限元方程null第二节 有限元法的基本原理第10章有限元方法利用材料力学中的杆件受力与变形间的关系及叠加原理，可以直接计算出单元刚度矩阵中的各系数 的数值，具体方法如下： 1、假设 ，其余位移分量均为零 ，进行相关计算可以推算出单元刚度矩阵中的各系数null第二节 有限元法的基本原理第10章有限元方法同理可以分别假设 和 ，其余各位移量为零，进行计算，得到的单元刚度矩阵中各系数分别为null第二节 有限元法的基本原理第10章有限元方法将一个连续的弹性体分割为一定形状和数量的单元，从而使连续体转换为有限个单元组成的组合体。单元与单元之间仅通过节点连接，除此之外再无其他连接。也就是说，一个单元上的只能通过节点传递到相邻单元。 现以平面问题中的三角形单元为例，说明利用虚功原理法来建立单元刚度矩阵的步骤。 三节点三角形单元 1）设定位移函数 按照有限元法的思想，首先需设定一种函数来近似表达单元内部的实际位移分布，该函数称为位移函数，或位移模式。 null第二节 有限元法的基本原理第10章有限元方法称为单元应变矩阵，它的意义在于单元内任意点的应变分量也可用基本未知量即节点位移分量来表示。其中单元应变矩阵 null第二节 有限元法的基本原理第10章有限元方法3）利用广义胡克定律求出单元应力方程 根据广义胡克定律，可将单元应力方程改写成由此可求单元内任意点的应力分量，它也可用基本未知量即节点位移分量来表示。 null第二节 有限元法的基本原理第10章有限元方法4）由虚功原理求单元刚度矩阵 根据虚功原理，当弹性结构受到外载荷作用处于平衡状态时，在任意给出的微小的虚位移上，外力在虚位移上所做的虚功 等于结构内应力在虚应变上所存储的虚变形势能 。 根据虚应力和虚位移之间的关系 根据相关计算可以推知，单元刚度矩阵 式中K为6×6阶矩阵，其中每个子矩阵为2×2阶矩阵，并由下式给出null第二节 有限元法的基本原理第10章有限元方法按照力学的一般说法，任何一个实际状态的弹性体的总位能是这个系统从实际状态运动到某一参考状态（通常取弹性体外载荷为零时的状态为参考状态）时它的所有作用力所做的功。弹性体的总位能是一个函数的函数，即泛函。位移是泛函的容许函数。 从能量原理考虑，变形弹性体受外力作用处于平衡状态时，在很多可能的变形状态中，使总位能最小的就是弹性体的真正变形，这就是最小位能原理。用变分法求能量泛函的极值方法就是能量变分原理。null第二节 有限元法的基本原理第10章有限元方法该方法是将假设的场变量的函数（称为试函数）引入问题的控制方程式及边界条件，利用最小二乘法等方法使残差最小，便得到近似的场变量函数形式。该方法的优点是不需要建立要解决问题的泛函式，所以，即使没有泛函表达式也能解题。null第三节 有限元法的工程应用 第10章有限元方法有限元法的解题步骤 1 结构的力学模型简化 采用有限元方法来分析实际工程结构的强度与刚度问题时，首先应从工程实际问题中抽象出力学模型，即对实际问题的边界条件、约束条件和外载荷进行简化。这种简化应尽可能反映实际情况，使简化后的弹性力学问题的解与实际相近，但也不要使计算过于复杂。 力学模型简化时，必须明确以下几点。 判断实际结构的问题类型，是一维问题、二维问题，还是三维问题。如果是二维问题，应分清是平面应力状态，还是平面应变状态。 结构是否对称。如果结构对称，则充分利用结构对称性简化计算（即取1/2部分或1/4部分来计算）。 简化后的力学模型必须是静定结构或超静定结构。 进行力学模型简化时，还要给定结构力学参数，如材料弹性模量、泊松系数、外载荷大小及作用位置，以及结构的几何形状及尺寸等。null第10章有限元方法第三节 有限元法的工程应用 2 单元划分和插值函数的确定 根据分析对象的结构几何特性、载荷情况及所要求的变形点，建立由各种单元所组成的计算模型。 单元划分后，利用单元的性质和精度要求，写出表示单元内任意点的位移函数；并利用节点处的边界条件，写出用节点位移表示的单元体内任意点位移的插值函数式。 3 单元特性分析 根据位移插值函数，由弹性力学中给出的应变和位移关系，可计算出单元内任意点的应变；再由物理关系，得到应变与应力的关系，进而可求单元内任意点的应力；然后由虚功原理，可得单元的有限元方程，即节点力与节点位移之间的关系，从而得到单元的刚度矩阵。 null第10章有限元方法第三节 有限元法的工程应用 4 整体分析（单元组集） 整体分析是对由各个单元组成的整体进行分析。它的目的是建立节点外载荷与节点位移之间的关系，以求解节点位移。把各单元按节点组集成与原结构体相似的整体结构，得到整体结构的节点力与节点位移之间的关系 整体有限元方程式中的K、q和F可按以下步骤建立。 （1）整体节点位移列阵q：q的建立较为简单，即直接按节点编号顺序和每个节点的自由度数排列而成。这相当于将各个单元的节点位移 直接叠加，共同节点只取一个表示即可。 （2）刚度矩阵K：K由各个单元刚度矩阵 直接叠加而成。这种叠加是按各单元节点编号的顺序，将每个单元刚度矩阵送人入总刚度矩阵K对应节点编号的行、列位置，而且交于同一节点编号的不同单元，对应于该节点的刚度矩阵子块要互相叠加。总刚度矩阵中其余元素均为零。 null第10章有限元方法第三节 有限元法的工程应用 5 解有限元方程 可采用不同的计算方法解有限元方程，得出各节点的位移。在解题之前，应根据求解问题的边界条件，可将单元刚度矩阵进行缩减，这样更有利于方程的求解，然后再解出节点位移q。6 计算应力应变 若要求计算应力、应变，则在计算出节点位移后，可通过前述有关 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 计算出相应的节点应力和应变值。null第10章有限元方法第三节 有限元法的工程应用 应用实例 平面梁的受载状态及单元划分 null第10章有限元方法第三节 有限元法的工程应用 由于此结构的长度和宽度远大于梁厚，而载荷作用于梁的平面内，且沿厚度方向均匀分布，因此可按平面应力问题处理。 因为此结构与外载荷相对其垂直方向的中线是对称的，所以取其一半作为分析对象，如图(b)，对称轴上的点约束横向位移为零。由于该问题属于平面应力问题，本例选用单元类型为三节点三角形单元。然后对该结构进行结构离散化，共划分两个单元，并对单元和节点进行编号，如图 (b)所示。null第10章有限元方法第三节 有限元法的工程应用 根据确定的力学模型，及相关公式对单元1求应变矩阵B和弹性矩阵D再求得应力矩阵同理对单元2可求得相应的应变矩阵、应力矩阵。null第10章有限元方法第三节 有限元法的工程应用 根据前述单元刚度矩阵的相关公式可以求得两单元的单元刚度矩阵null第10章有限元方法第三节 有限元法的工程应用 根据刚度集成方法，按节点位移序号组建整体结构的总刚度矩阵。 如图 (b)所示，作用在1、4边上的均布载荷按静力等效原理移置到1、4节点上，得整体结构的等效节点载荷列阵F为进一步可得null第10章有限元方法第三节 有限元法的工程应用 6、引入边界约束简化有限元方程组 考虑到支点2为固定铰支点，则整体有限元方程式可化为 解上面方程组，可得各节点位移为 null第10章有限元方法第三节 有限元法的工程应用 根据单元应力方程计算各单元的应力至此，便完成了用有限元法对实际工程结构的强度与刚度问题的分析。null第10章有限元方法习题101．试说明有限元法解题的主要步骤。 2．单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有什么特征? 3．在单元刚度矩阵和整体刚度矩阵中，每一项元素的物理意义是什么? 4．试说明如何按虚位移原理导出有限元法的计算公式。 5．单元的形函数具有什么性质？ 6．构造单元位移函数应遵循哪些原则？ 7．在对三角形单元节点排序时，通常需要按逆时针方向进行，为什么？null第10章有限元方法8．当单元的尺寸逐步缩小时，单元内的位移、应变和应力具有什么特征？ 9．现有一悬臂梁如图所示，在梁的右端作用有均布拉力 ，其合力为 ，采用图示的划分，设弹性模量为 ，泊松比为0.3，厚度为 ，求各节点位移。 习题10