螺旋楼梯的计算方法

螺 旋 楼 梯 的 计 算 方 法 齐 志 成 湖南省建筑研究设计院 【提要 】 本文用矢量算法推导了两端固定和一端固定一端简支的螺旋楼梯的计算公式 , 并提 出了一些在配筋及构造上应该加以注意的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 , 可供设计参考 。 本文所介绍的方法概念清楚 , 推导过程简单 , 对于其他类型的单跨空间曲梁也同样适用 。 螺旋楼梯外形美观新颖 , 既满足功能要求 , 又丰富了建筑造型 , 故高级民用建筑中多有 采用 图 。 过去计算螺旋楼梯时 , 多是参考 日本 ‘ ” 或美国 「 ”的一些资料 , 按不同 公式算出的内 力差别很大 , 而文献 〔 ” 中所列举 的一些公式 又有明显的错误 , 各公式均缺少详细地推导过 程 , 既不知公式的来源 出处 , 又很难看出公式 简化时 曾作过那些假定 , 设计采用时很难灵活 运用 。 为 了工作的需要 , 作者用矢量算法详细 推导了两端固定和一端 固定一端简支时螺旋楼 梯的计算公式 , 并提出了一些构造上应该注意 的问题 。 由本文公式的推导可看出 , 用矢量算 法来计算单跨空间曲梁是十分优越的 , 概念清 楚 、 推导过程简单 , 对于其他类型的单跨空间 曲梁 , 本文的计算方法也同样适用 。 一 、 基本符号与正负号的规定 —垂直于水平面的竖向线荷载 —梯高。 —对于两端 固定的螺旋楼梯为总旋转角的一半 , 为总旋转角 以弧度计 —螺旋楼梯 自固定座标系原点起算的动点可变角中 —螺旋楼梯中轴线倾斜角 以弧度计 , —梯宽—楼梯中轴线半径 —线荷载作用线与楼梯中轴线的偏心距 对于一端固定一端简支的螺旋楼梯 以弧度计 , 一 刀 —楼梯线荷载作用线半径 , 式 中 刀 一瓦一一 厄豆了 。 座标系按右手螺旋规则确定 , 固定座标系用 、 鱿 、 之 笛卡尔座标 , 动点座标系变换为 二 、 , 、 月自然座标系 。 力方向与相应座标轴正向相同者为正 , 反之为负 。 推导公式时 , 外 荷载均假定与 ‘ 轴正方向相同 , 当荷载方向与所选座标系 轴正向相反时 , 数值计算时 值 为 负 。 二 、 作为螺旋楼梯中轴线的螺旋线的参数方程 参数方程是 ‘ ” 于 。 落 歹 七否 其中感、 歹、 冷是 。一 , 座标系各轴正方向上的单位矢 , , , , 、 ‘ 、 一 , , , ‘ , 弟与 釉的交用 , 人 是溯足节犯万的幂叙 , 人 一下不‘ 二 是动点 的矢径于在 。对平面上的投 云 是曲线上 点的切线上指向弧长 “ 增加一方的单位矢 , 与 。甘平面相交成等角 , 石是在 点曲线主 法线上的单位矢 , 主法线指向曲线的凹侧并垂直于 轴 , 在 之 轴 上分量为零 , 歹的正向与主法线的指向相同 , 月是在 点从法线 上的单位矢 , 其正向按右手螺旋规则确定 。 于 、 云 、 月构成佛兰纳 动标三面体 , 以 、 沙 、 月的方向作为座标轴正向的 。月座标系 是用来确定螺旋楼梯正截面上作用力的 自然座标系 图 。 对 任意总旋转角小于 ‘ 的螺旋楼梯 , 由平衡 条件 万尸一 及万 一 可得 出 个平衡方程 , 当边界上的未知反力及 反力矩 多于 时体系为超静定的 , 否则为静定的 。 三 、 螺旋楼梯两端固定的情况 两端固定的螺旋楼梯 , 因 每个固定端有 个未知反力和 个未知反力矩 , 故体系是 次 超静定的 。 切断中轴线的中点 。 , 并以成对的未知力作用于 。 点处 , 使成为两个静定的空间 悬臂曲梁 , 以此作为求解的基本静定体系 , 用 力法求解各赘余未知力 。 由于结构及荷载的对 称性 , 当固定座标系设在 。 点时 , 在 。 点处除 、 外 , 其余各力均为零 因在 。 点处 ” 轴 与 夕轴重合 , 故 、 在 。一 互之座标 系与 。一 。尽座标 系中其值不变 , 列出 。 点处的变形协 调 方程 , 。 刁 。 求得各单位变形后代人 式 , 即可求得 、 。 之值 ‘飞 一 认氏百、卜 一一一 飞 对 于图 所示的 。一 梦 固定座标系 , 由于结构及荷载的对称性可仅计算 半段 , 此时螺 旋楼梯的曲线方程应改写为 于 石 一 不 为了计算单位变形 占及 刁 , 并为以后 计算任 一动 点正截面 上的作用力 , 必须首先计算 , , 及 外 荷作用 下在螺 旋楼梯中轴线任一动点 处正截面上所受之力 。 熟一 对动点 的作用力 当动点座标系平行于 。一 之 时 , 无, 一 一 一 石 一 即 , 子‘一盈 一 一 一一 百‘ 石 毋 对配 图 对 , 将 一 , 之座标变换成 一 刀自然座标系 , 首先将旧座标系绕 轴逆时针向旋转 的座标 。 ‘ 、 ⋯ , 二 , 入 、 , , 、 ‘ 变秧丈 ’ , 再作烧 釉逆盯针回旋转叭 甲 下不云厂一 不而节万一 的座标变殃诬 ’ , 其变殃矩阵为、 ‘ 叮 古 “ “ , 一 沪 沪 一一 飞, 一 沪 沪 一一 将原座标系的各力矩分量进行 丁‘的变换 , 再进行 奋’的变换 , 即进行乘积矩阵 于‘ · 丁‘ 的变 换 , 因 , 、 均为正交变换 , 故 护 · 了‘一 , · , 一 ’ , · ‘ , 即 , · 的逆等于 · ‘ 的转置 · 沪 · 沪 — 一 · 沪 一 · 沪 中 中 一一 · 二 。 一 “。竺 一 · 护 艺· 甲 · 中 一 · 沪 沪 沪 经以上座标变换即可求得 一 在动点 的 、 “ 、 月轴向的各力矩分量为 对 , 一 ‘ ’ ’一 ’ 何 刀 一 · · 沪 一 · · 沪 一 一 · · 中 一 · 沪 一一 飞 经同样变换得 不 、 “ 、 月轴向的力分量为 凡 ”一 一 ‘ 一 ‘ 。 一 在动点 的作用力 “‘ “ “ 沪 一 理 ‘ 一 ‘ ’ 沪 一、声了 、 一一 , , 解 , 召 段上外荷对 点的作用力 当 段上外荷载 空为竖向井沿线长度均布时 , 其合力等于 互, 式时认为与 之 轴正向相同 , 合力的作用点 位干 角的平分线上 , 刃元 长等于 因外荷竖向 , 求矩时 点与竖向位置的选择无关 图 荷载的方向在推导公 在水平面上 的投影之 · ·“ 一干乒一一 一「 “ , “ , 一万 一一 “ 令 ‘ 一干 ‘ ‘ 歹 图 。 二二二 不下下 , 不 二 , 、 」 、 二故 一 【 全二一 ’卜名一 】一 、‘ 【 一 、 七 、 ’ 、一 洲尸户一、 , 段上外荷载对 点之矩等于 了 。 、二 二, 一 乙 】夕 ‘ 洽 手‘ , 一 一 ⋯ , 。 一“ “ 一 ⋯万 专 一 , ‘ 一 下一 且’ 乙 一 ‘ ‘“ ‘一 · ‘ 合一一 , 四四约似 化为对 点自然座标系后的各力矩分量为 ﹁ ⋯·“一 一 · 厂 似 刀 。 艺 亡一 亡 ‘ ‘”‘一 二‘ ’ 李 一“了 炙了 ‘ ‘ “‘’ 性 一 “ 甘一 不 ’ 、 仁 匕 ’ 叹 尹吸 石 一 八石 」 经同样变换得 。 ‘ ‘ 留 二 一 ’ ’一 ‘ 一 。 召。 亡 留 忽略轴力及剪力影响的各单位变位 占及 按下式计算 、‘户‘产‘ 勿 二 、 二 , , ‘阿 ‘ 十 、一止令瑞一一 十少 似 ‘何 刀 , 召 刁‘。一 似 , 产 解 。 十 、一会一丫口 —十应二 。 何 ,解 。 二 石 口 式中 , 、 夕, 、 。分别为梯板正截面绕 、 “ 定值 。 饥 , 式中。 ’ 十 ’。 将 一 式代人 式即不难得出 公 、 月轴的抗扭及抗弯刚度 , 当等截面时为 饥 , 忿· · 沪 一 忿· 沪 亡 饥‘ , 一 · 忿 一 ‘· 。。 ‘ · 。 , , 一 , ‘ · 。。 , , ‘ 一刀 明一」一 一 , ‘ 。。 , 。 , 一 二 。 , 一奖乙 ‘ , , 饥 , ’ 梦 · 十 ’切 · 切 · , 饥。。一一二 一二于一一公 下 ·‘ ‘· 。。。 , ‘ 刀 , 刀 ‘ 石 石 日一 一万万一不一一 乙 一 。 户 一 艺· 沪 ’ 爪 夕二 爪 “ ‘ 沪 ’‘ 十厄又下 ’ 名 十 亡 召 中 · 饥 一 夕二 ‘ · 。。 ‘· 。。 , 一 ‘ ‘ · , , , “‘ ‘ · “。 , , 执 十一笼井 万一。 , 一 忿 云 一 艺 忿· 沪 一 · 沪 一 ·鲤 饥 , 口 一 一义一艺 、 , · 瓷井、 · 。 姗 ‘ ’ , · 一 “ ’沪 ’ ‘“ “沪 · ￡ 刀诬 , 七· 沪一 · 沪 中 忿一 一一一一一一一 ‘刁 一 ‘ ‘ ‘ 一 ‘叮一」一 一 · 。 沪一 · 沪 了 卯 亡一 ‘一召叮一」一尽 竹乙 , 一 二 。 。。 , 心 一 二 。。 , , 粤 , 。一粤 。 , 、。 “ 一」一瓦十 ” , 一 一 “ 二 。 。 , 一 、 。 , 尊 , ,、 ‘ 一粤 一 。 , 、, ‘ , ,、了 刁。。 ”乙 一 夕 , · 。毋 中 一 了 刀飞 , 。。 · 一 。。 。 一黑 一 , 。, 。 , 。 卜 。。 ‘ 鲤刀 , “ 中 · 一 ’切 · 。 。 一 卡李粤, , · 一 , , , · 无量纲系数 一 及经过简化后的公式 见后面公式汇集 。 求出 及 代入 式 , 即可求得切 口处的未知力 及 。之值 , 上半段任一动点 正截面所受之力 自应等于 习一 厕 。厕 , 十厄 。 尸 一 十尸。 厄 、 万 , 等取 自公式 一 , 卜半段各对称点除 , 、 尸 , 与上半段为正对称外 , 其余 各力均为反对称 。 四 、 一端固定另一端简支的螺旋楼梯 如果螺旋楼梯一端固定 , 另一端 解 二 、 盯 , 为零 , 此时共有 个赘余未知量 , 体系是 次 超静定的 , 为了利用第三节所得到的一些 现成公式 , 切断简支端 。 使成为一个固定 于 端的静定空间悬臂曲梁 。 固定座标 系 百之 的原点设于 。 , 当螺旋 楼 梯 上端 固 定时 , 座标系如图 , 下端固 定时 如图 , 在所选座标系下 , 曲线方程及座标变 换矩阵均与上节公式相同 , 未知反力及反 力矩均沿 。一 兮 轴正向作用 , 外荷载仍假 定与 轴正 向同向 , 公式的推导与上节相 同 , 本文不予赘述 。 各正向单位未知力及外荷 对动点 正截面上 的作用力 、一 在动点 正截 面上 的 作 用力 为 图 一 七· 沪 一 中 一 · 沪 尺 一 沪 一一 飞叮 了刀盯 · 沪下尸尸 一 · 尹 一 在动点 正截面上的作用力为 一 一 双 俨 一 一 沪 一 云 沪 沪 ‘一 在动点 正截面上的作用力为 沪 沪 ‘ 一一 了岁刀何 一 以及 段上外荷载对 点正截面的作用力同第 三 节 公 式 、 、 、 。 无论是上端固定或是下端固定 , 在所选座标系及外荷沿 轴正向作用的规定下 , 二者公 式完全相同。 利用以上各式 , 即可按 式求出单位变位 占及 刁 有关结果列在第五节公式汇集 中 , 求出 及 刁后代入切断处的变形协调方程中即可求出各未知反力值 , 任一动点 正截 面所受之力自应等于 卫 , 对 。 、 一 , 十 尸 尸。 当简支端可以认为何 。一 时 , 取消有下标 的诸项即可 。 五 、 计算公式的化简及公式汇集 一 令 一万 万一 乃 召 刃 , 一 馆 沪经简单运算后 , 便于实际计﹂召 一」一 一一 、片‘了月已‘卫少 算的全部公式汇集如下 两端固定时 单位变形 · · 七 沪 · · · 七 中 一万一汽 一 价 。、一 令“ 。 一 。, 一 二 一令 · , , 十‘ · 刁 。一 二 〔 一 〕‘ , 专 仁 一 〕 告 。 一 七 , 刁 。一 、 〔 一 、 〕 令 ‘ 。一 未知力 一 ’ 「刁 , 刁一一一 ︸ ,﹃一﹄ 、吸‘了胜‘ 沪 上半段任一动点 正截面所受之力 降 ‘ “ , “ 勺 。 · 势 一‘ 二‘ 乙 华尸 一 不 艺 ’ 甲 诵 尹 一 岁 · 沪 · 十 刀 沪 口一 刀 〕 十 刀 “ 一 一 刃 沪 口 一 刃 。 亡 卯· ⋯一 ‘ ‘ ’ “ 卯 “ ”’子‘ “夕 」‘ 一 , 、 一 石 ’ 甲 」 十 刀夕 艺 一 蓑 一 式中 为确定动点 位置的参数 , 。 为 总旋转角的一半 , 沪 一 。 , 占 、 刁 、 厉 、 厕 、 下并不代 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 真实值 , 而采用便于计算的无因次系数 , 按 式求得的 尸 乘以 , 万乘以 即为 点正截面上实际所受之力 。 应注意 , 由于 的方向与所选 固定座标系 轴正向相反 , 故数值计算时 应代以负值 , 截面切法及各 号力如图 所示 。 顺便指出 , 对于 下半段诸点 , 如选用 图 座标系 , 则有关公式完全相同 , 此时 由于 的方向与所选 固定座标系 轴正向相同 , 数值计算时 , 应代以正值并按图 确定各十号力 , 由此不难看出 , 与中点 对 称 诸点 , 何 , 、 尸 , 是正对称的 , 其余各力为反对称的 , 并在中点 为零 。 一端固定一端简支时 单位变形 , 一 · 无 沪十 何 一 一 ” 沪 一谁二 · ’ 一 ’ 一 。 了 ’ 一 、 一 了 ’ 勺 ’ 户 一 一 图 。 一 · 。 · , , 。 · · 。、 , 十令“ · 七 , 礼一 “ 十 吕。。一 。 · 工 一 , 一 十 一 、 、 , 十 , 。一 二 一 七 , · “ 一 一“ ”一 、 一专‘ · “ 一带 ” · ‘ , 。 。 。 。一 。 , 一万 ’ 户 ’ 沪 一 , 。 一 ‘ 。 姚 一 。。一 。 一 。 、 , 一牛 , 一牛 ,‘ 尸 , 、 , , 。一 一 艺。 一 · 一万 , · ‘ · ‘ 甲 ,,,‘ ”。一“。 , 一专 , 。 。 一 。 口 。一 , 〔 。 一 〕、 , 一专 , 。 于 。一 、卜令 。 一 ‘ 中 乙 。一 。 〔 一 ‘ , 专‘〔 一 〕 令 、 “ 一 尸 , , 刁 。一 二 士‘ 。 一 〕一令 、 口。。一士 ‘〔 。。 。。一 士 , 。 未知力 , ,月,卫口夕刁刁刁刁卫怪 、二 一 ,占 , , 占 , 占 。 各 。 占 。 · 。。 一一一 , , 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方向上所加之力 , 为此仅需将楼涕 端点在 启流动座标轴向各力经座标变换 化为 、 、 之 轴向各力即可 , 矩阵已在第三 节中列出。 , 下卜召对 , 、 ,一一 对解 下卜日 尸尸巨 一一 之乡之尸尸改 矩形截面抗扭刚度 夕二 一若 心 式中 为正截面长边 , 为短边 , 对于钢筋混凝 上 工 妇叭︸一一犷七︸ 结构 ‘ , 在扭矩作用下的最大剪应力位于两长边的中央 , 其值等于瑞 。 , 一 在剪力作用下的最大剪应力均等于按全截面平均剪应力求得的 倍 , 在中性轴处最大 。 乙 及 曹值可按下表采用 录 自 。的材料 力学 斗招井井二幸牛牛一井阵牛‘ ”““ 。” 。’ “ , ‘ 。 。‘ ‘ 。‘ ‘ 。’ ‘ ‘ 。’ 。, 。‘ , 。’ “ 二 。‘ 兰 丫胜 “ 尹 。 忍‘ 。 ‘ “ ’。 ‘ “ 。’ ⋯。 ‘ 粉⋯止二 。 ‘ 汽 。刃 由于螺旋楼梯具有复杂的曲线形状 , 混凝土不易浇好 , 所以活载值宜取得大些 , 欧美各 国规定活载为 一 公斤 米 ’ , 日本为 公斤 米 。 六 、 计 算 实 例 两端固定的螺旋楼梯 , 总旋转角 亡。一 “ , 。一 。 , 一 , 一 , 层高 九一 , 梯板厚 宽 , 两侧各挑出 长的薄板梯级 , 计算涕 板时不计在内 。 由以上条件求得 艺。一 , 艺急一 急 。 。一 一 。一 一 。 一 刀 , 一 艺。一 、 一令一 , , 一 , 。。。 , 一 竺 , 一 中一 卯 一 。 ‘ 梦一 由梯板尺寸求得各向抗弯及抗扭的相对刚度为 。一 , , 一 二 一 。 · 。 , 。一 十一 告 一 按以上数据 , 求得 式中所需各系数值 一 一 一 一 一 一 一 一 由 式求得 占 一 生 了 刁 。一 一 了 』 一 由 式求得 按 式求得的各正截面所受之力绘如图 所示 已考虑 了 的符号 , 经过支座处 的平衡校核可知结果无误 , 赘余未知力 , 。 无法通过计算结果加以简单校核 , 故应 计算 仔细 。 价。 哪绷哪 几别州 公 。 ﹃ 肠 二 乃 下 七、 一 些 构 造 措 施 由于计算公式是按螺旋楼梯中轴线进行推导的 , 当为板式楼梯时 , 由于内圈 长度要比 外圈长度小很多 , 按中轴线推异的公式必然与实际 内力情况存在差 异 , 并有附加内力产 生 , 当内外圈曲线 长度相差较大时 , 影响可能很大 , 这 个问题还没有仔细研究过 , 因此按 本文 计 算结果 应留有较大的安全储备 , 外圈钢筋也应布置得比 内 剑为 多 。 螺旋楼 梯的剪应力 , 如土 所述因齐种条件往往 与实际情况有 异。 为安全计 , 扭矩与剪 力 的最大值虽不在同一 位贵 , 亦均按最大值的共同作用 来校核截面剪应力 ‘ ’, 并使 其在混凝 土的允许剪应力范围以内 , 截面在抵抗剪应力方面必须留有较多余地 。 螺旋楼梯 上半段 受 拉 , 钢筋的锚固必须特别注意 。 对于两端固定的螺旋楼梯 , 最大挠度位于跨中 , 而跨中的各种变形 , 利用计算内力的 基本体系及求得的赘余力 、 。, 根据叠加原理是容易求得的 , 但是需要补充 计算一些为 计算变形所需的单位变位及荷载作用下基本体系的变位 , 例如当计算跨中截面中点 刀向线变 位时 , 尚须计算刁 。、 各, 及 。, 这些系数利用 前面所介绍的方法是不难求得的 , 由于刚度的 需要 , 对于常用的板式楼梯 , 我们经常使梯板厚度控制在梯板中轴线总长的 范围内 , 当 截面的选择满足此条件时 , 一般其挠度及变形总能满足使用及观瞻的要求 , 因此国内外螺旋 楼梯的设计都很少进行挠度计算 。 在本文中计算变形的有关系数 , 由于实用意义不大 , 故未 予列出以省篇幅 。 当采用两端固定的计算简图时 , 必须特别注意支座处应有较大的刚度 , 以保证边界条 件的实现 , 当下端是基础时比较容易作到 , 当梯板末端支承于承重主梁上时 , 必须 另加措 施 , 如梯板延伸处另加次梁等 , 如果支座刚度尚不够理想 , 而建筑造型又不允许 过多 加强 时 , 此时螺旋楼梯的边界条件界乎两端固定和一端 固定一端简支之间 , 设计时可按一端 固定 一端简支的计算公式加以补充校核 , 并宜按内力之大者进行强度计算 。 一端固定一端简支的 计算公式除作为附加校核之用外 , 尚可用于小型楼梯的设计以简化支座构造 。 总旋转角超过 二时 , 受力状态复杂不应采用 。 板式螺旋楼梯一般梯板较厚 , 设计时多采用梯板宽度较梯宽略小 , 而在梯板两侧挑出 一定长度的薄板梯级 , 这样将使螺旋楼梯的外形更加丰富轻快 , 有所变化 , 不致产生笨重之 感 , 图 及所举实例均采用 了这一手法 。 〕 〔 〕 〔 〕 参 考 文 献 水原旭等编 构造计算便览 , 产业图书株式会社 , 昭和 年版 。 。 , 、 , , 日 高里德凡著 矢算概 ’, 高教 出版社 。 , 一