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禇圣麟《原子物理学》答案

禇圣麟《原子物理学》答案

ruanbingdu
2008-03-29 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《禇圣麟《原子物理学》答案pdf》,可适用于其他资料领域

原子物理学习题解答原子物理学习题解答原子物理学习题解答原子物理学习题解答刘富义刘富义刘富义刘富义编编编编临沂师范学院物理系临沂师范学院物理系临沂师范学院物理系临沂师范学院物理系理论物理教研室理论物理教研室理论物理教研室理论物理教研室第一章原子的基本状况若卢瑟福散射用的粒子是放射性物质镭放射的其动能为电子伏'C特。散射物质是原子序数的金箔。试问散射角所对应的瞄准距离多大?Zb解:根据卢瑟福散射公式:cotKMvbbZeZe得到:米()()()ZectgctgbK式中是粒子的功能。KMv已知散射角为的粒子与散射核的最短距离为试问上题粒子与散射的金原子核()()sinmZerMv之间的最短距离多大?mr解:将题中各量代入的表达式得:mrmin()()sinZerMv()()sin米若用动能为兆电子伏特的质子射向金箔。问质子与金箔。问质子与金箔原子核可能达到的最小距离多大?又问如果用同样能量的氘核(氘核带一个电荷而质量是质子的e两倍是氢的一种同位素的原子核)代替质子其与金箔原子核的最小距离多大?解:当入射粒子与靶核对心碰撞时散射角为。当入射粒子的动能全部转化为两粒子间的势能时两粒子间的作用距离最小。根据上面的分析可得:故有:minpZeMvKrminpZerK米()由上式看出:与入射粒子的质量无关所以当用相同能量质量和相同电量得到核代minr替质子时其与靶核的作用的最小距离仍为米。钋放射的一种粒子的速度为米秒正面垂直入射于厚度为米、密度为的金箔。试求所有散射在的粒子占全部入射粒子数公斤米的百分比。已知金的原子量为。解:散射角在之间的粒子数与入射到箔上的总粒子数n的比是:ddndnNtdn其中单位体积中的金原子数:AuAuNmNA而散射角大于的粒子数为:'dndnnNtd所以有:'dnNtdncos()()sinAuNZetdAMu等式右边的积分:cossinsinsindId故'()()AuNdnZetnAMu即速度为的粒子在金箔上散射散射角大于以上的粒子数大约是米秒。粒子散射实验的数据在散射角很小时与理论值差得较远时什么原()因?答:粒子散射的理论值是在“一次散射“的假定下得出的。而粒子通过金属箔经过好多原子核的附近实际上经过多次散射。至于实际观察到较小的角那是多次小角散射合成的结果。既然都是小角散射哪一个也不能忽略一次散射的理论就不适用。所以粒子散射的实验数据在散射角很小时与理论值差得较远。已知粒子质量比电子质量大倍。试利用中性粒子碰撞来证明:粒子散射“受电子的影响是微不足道的”。证明:设碰撞前、后粒子与电子的速度分别为:。根据动量守恒定律得:',',,evvv''evmvMvM由此得:……()'''eevvMmvv又根据能量守恒定律得:''emvMvMv……()''evMmvv将()式代入()式得:整理得:cos)()(''vvvv)''vvvv(上式可写为:即粒子散射“受电子的影响是微不足道的”。能量为兆电子伏特的细粒子束射到单位面积上质量为米公斤的银箔上粒子与银箔表面成角。在离L=米处放一窗口面积为米的计数器。测得散射进此窗口的粒子是全部入射粒子的百万分之。若已知银的原子量为。试求银的核电荷数Z。解:设靶厚度为。非垂直入射时引起粒子在靶物质中通过的距离不再是靶物质的厚't度而是如图所示。'tsin'tt因为散射到与之间立体dd角内的粒子数dn与总入射粒子数n的比为:()dnNtdn而为:d()sin)()(dMvzedºt,tº°图'')(vvvv把()式代入()式得:……()sin)()(dMvzeNtndn式中立体角元'',sin,tttLdsdN为原子密度。为单位面上的原子数其中是单位'Nt')(NAmNtAgAg面积式上的质量是银原子的质量是银原子的原子量是阿佛加德罗常数。AgmAgAN将各量代入()式得:sin)()(dMvzeANndnAg由此得:Z=设想铅(Z=)原子的正电荷不是集中在很小的核上而是均匀分布在半径约为米的球形原子内如果有能量为电子伏特的粒子射向这样一个“原子”试通过计算论证这样的粒子不可能被具有上述设想结构的原子产生散射角大于的散射。这个结论与卢瑟福实验结果差的很远这说明原子的汤姆逊模型是不能成立的(原子中电子的影响可以忽略)。解:设粒子和铅原子对心碰撞则粒子到达原子边界而不进入原子内部时的能量有下式决定:电子伏特焦耳RZeMv由此可见具有电子伏特能量的粒子能够很容易的穿过铅原子球。粒子在到达原子表面和原子内部时所受原子中正电荷的排斥力不同它们分别为:。可见原子表面处粒子所受的斥力最大越RrZeFRZeF和靠近原子的中心粒子所受的斥力越小而且瞄准距离越小使粒子发生散射最强的垂直入射方向的分力越小。我们考虑粒子散射最强的情形。设粒子擦原子表面而过。此时受力为。可以认为粒子只在原子大小的范围内受到原子中正电荷的作RZeF用即作用距离为原子的直径D。并且在作用范围D之内力的方向始终与入射方向垂直大小不变。这是一种受力最大的情形。根据上述分析力的作用时间为t=Dv,粒子的动能为因此KMv所以MKvKMDvDt根据动量定理:MvppFdtt而RtZedtRZeFdttt所以有:MvRtZe由此可得:MRtZev粒子所受的平行于入射方向的合力近似为入射方向上速度不变。据此有:MvRDZeMvRtZevvtg这时。弧度大约是很小因此‘tg这就是说按题中假设能量为兆电子伏特的粒子被铅原子散射不可能产生散射角的散射。但是在卢瑟福的原子有核模型的情况下当粒子无限靠近原子核时会受到原子核的无限大的排斥力所以可以产生的散射甚至会产生的散射这与实验相符合。因此原子的汤姆逊模型是不成立的。第二章原子的能级和辐射试计算氢原子的第一玻尔轨道上电子绕核转动的频率、线速度和加速度。解:电子在第一玻尔轨道上即年n=。根据量子化条件hnmvrp可得:频率mahmanhav赫兹速度:米秒mahav加速度:秒米avrvw试由氢原子的里德伯常数计算基态氢原子的电离电势和第一激发电势。解:电离能为把氢原子的能级公式代入得:EEEinRhcEn=电子伏特。RhchcREHi)(电离电势:伏特eEVii第一激发能:电子伏特)(RhchcREHi第一激发电势:伏特eEV用能量为电子伏特的电子去激发基态氢原子问受激发的氢原子向低能基跃迁时会出现那些波长的光谱线?解:把氢原子有基态激发到你n=,,……等能级上去所需要的能量是:其中电子伏特)(nhcREHHhcR电子伏特)(E电子伏特)(E电子伏特)(E其中小于电子伏特大于电子伏特。可见具有电子伏特能量的EE和E电子不足以把基态氢原子激发到的能级上去所以只能出现的能级间的跃迁。nn跃迁时可能发出的光谱线的波长为:ARRARRARRHHHHHH)()()(试估算一次电离的氦离子、二次电离的锂离子的第一玻尔轨道半径、电离电eHiL势、第一激发电势和赖曼系第一条谱线波长分别与氢原子的上述物理量之比值。解:在估算时不考虑原子核的运动所产生的影响即把原子核视为不动这样简单些。a)氢原子和类氢离子的轨道半径:,,,,,,LiHHLiHHHHeZZrrZZrrZLiZHZHZmehanZnamZenhre径之比是因此玻尔第一轨道半对于对于是核电荷数对于一轨道半径米是氢原子的玻尔第其中b)氢和类氢离子的能量公式:,,,)(nnZEhnZmeE其中基态能量。电子伏特是氢原子的)(hmeE电离能之比:,HLiHLiHHeHHeZZEEZZEEc)第一激发能之比:EEEEEEEEEEEEEEEEHHLiLiHHHeHed)氢原子和类氢离子的广义巴耳末公式:)(~nnRZv,,)(),({nnnn其中是里德伯常数。)(hmeR氢原子赖曼系第一条谱线的波数为:()HHvR相应地对类氢离子有:()()HeHeLiLivRvR因此,HLiHHe试问二次电离的锂离子从其第一激发态向基态跃迁时发出的光子是否有可能iL使处于基态的一次电离的氦粒子的电子电离掉?eH解:由第一激发态向基态跃迁时发出的光子的能量为:iL的电离能量为:eHLiHeHeLiHeLiHeHeHeMmMmRRhvhvhcRhcRv)(由于LiHeLiHeMmMmMM,所以从而有所以能将的电子电离掉。HeLihvhveH氢与其同位素氘(质量数为)混在同一放电管中摄下两种原子的光谱线。试问其巴耳末系的第一条()光谱线之间的波长差有多大?已知氢的里德伯常数H氘的里德伯常数。米HR米DR解:)(HHRHHR)(DDRDDRARRDHDH)(已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子结构的“正电子素”。试计算“正电子素”由第一激发态向基态跃迁发射光谱的波长为多少?A解:RmmRRee)(AR米试证明氢原子中的电子从n轨道跃迁到n轨道发射光子的频率。当n>>时n光子频率即为电子绕第n玻尔轨道转动的频率。证明:在氢原子中电子从n轨道跃迁到n轨道所发光子的波数为:)(~nnRvnn频率为:RcnnnnnRccvn)()(当n>>时有所以在n>>时氢原子中)()(nnnnnn电子从n轨道跃迁到n轨道所发光子的频率为:。nRcvn设电子在第n轨道上的转动频率为则nfnRcmrPmrmvrrvfn因此在n>>时有nnfv由上可见当n>>时请原子中电子跃迁所发出的光子的频率即等于电子绕第n玻尔轨道转动的频率。这说明在n很大时玻尔理论过渡到经典理论这就是对应原理。原子序数Z=其光谱的主线系可用下式表示:Li。已知锂原子电离成离子需要电子伏特的)()(~nRRvLi功。问如把离子电离成离子需要多少电子伏特的功?LiLi解:与氢光谱类似碱金属光谱亦是单电子原子光谱。锂光谱的主线系是锂原子的价电子由高的p能级向基态跃迁而产生的。一次电离能对应于主线系的系限能量所以离子Li电离成离子时有Li电子伏特)()(hcRRhcRhcE是类氢离子可用氢原子的能量公式因此时电离能为:LiLiLiE。电子伏特hcRZRhcZER设的电离能为。而需要的总能量是E=电子伏特所以有LiLiELiLi电子伏特EEEE具有磁矩的原子在横向均匀磁场和横向非均匀磁场中运动时有什么不同?答:设原子的磁矩为磁场沿Z方向则原子磁矩在磁场方向的分量记为于是Z具有磁矩的原子在磁场中所受的力为其中是磁场沿Z方向的梯度。ZBFZZB对均匀磁场原子在磁场中不受力原子磁矩绕磁场方向做拉摩进动且对磁场ZB的取向服从空间量子化规则。对于非均磁场原子在磁场中除做上述运动外还ZB受到力的作用原子射束的路径要发生偏转。史特恩盖拉赫实验中处于基态的窄银原子束通过不均匀横向磁场磁场的梯度为特斯拉米磁极纵向范围=米(见图)从磁极到屏距离=米ZBLL原子的速度米秒。在屏上两束分开的距离米。试确定原子磁矩在磁vd场方向上投影的大小(设磁场边缘的影响可忽略不计)。解:银原子在非均匀磁场中受到垂直于入射方向的磁场力作用。其轨道为抛物线在区域粒子不受力作惯性运动。经磁场区域后向外射出时粒子的速度为出射方向与LL'v入射方向间的夹角为。与速度间的关系为:vvtg粒子经过磁场出射时偏离入射方向的距离S为:L……()ZvLZBmS)(将上式中用已知量表示出来变可以求出Z'',,vLLZBmdSdSvLLZBmtgLSvLZBmvvLtZBmmfaatvZZZ把S代入()式中得:vLZBmvLLZBmdZZ整理得:)(dLLvLZBmZ由此得:特焦耳Z观察高真空玻璃管中由激发原子束所发光谱线的强度沿原子射线束的减弱情况可以测定各激发态的平均寿命。若已知原子束中原子速度在沿粒子束方向秒米v上相距毫米其共振光谱线强度减少到。试计算这种原子在共振激发态的平均寿命。解:设沿粒子束上某点A和距这点的距离S=毫米的B点共振谱线强度分别为并设粒子束在A点的时刻为零时刻且此时处于激发态的粒子数为原子束II和N经过t时间间隔从A到达B点在B点处于激发态的粒子数为。N光谱线的强度与处于激发态的原子数和单位时间内的跃迁几率成正比。设发射共振谱线的跃迁几率为则有ANNNANAII适当选取单位使NNII并注意到vSteNNtA,而则有:tAeNN由此求得:秒lnlnln)ln(lnvsAtsvtA第三章量子力学初步波长为的X光光子的动量和能量各为多少?A解:根据德布罗意关系式得:动量为:秒米千克hp能量为:hchvE。焦耳经过伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长用上述电压加速的质子束的德布罗意波长是多少?解:德布罗意波长与加速电压之间有如下关系:对于电子:meVh库仑公斤em把上述二量及h的值代入波长的表示式可得:AAAV对于质子代入波长的表示式得:库仑公斤emA电子被加速后的速度很大必须考虑相对论修正。因而原来的电子德AV布罗意波长与加速电压的关系式应改为:AVV)(其中V是以伏特为单位的电子加速电压。试证明之。证明:德布罗意波长:ph对高速粒子在考虑相对论效应时其动能K与其动量p之间有如下关系:cpcKmK而被电压V加速的电子的动能为:eVK)()(ceVeVmpeVmceVp因此有:cmeVeVmhph一般情况下等式右边根式中一项的值都是很小的。所以可以将上式的cmeV根式作泰勒展开。只取前两项得:)()(VeVmhcmeVeVmh由于上式中其中V以伏特为单位代回原式得:AVeVmhAVV)(由此可见随着加速电压逐渐升高电子的速度增大由于相对论效应引起的德布罗意波长变短。试证明氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波波长。上述结果不但适用于圆轨道同样适用于椭圆轨道试证明之。证明:轨道量子化条件是:nhpdq对氢原子圆轨道来说mvrmrppr,所以有:,,,nnmvhnrSnhmvrpd所以,氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波长。椭圆轨道的量子化条件是:hndrphndprr其中rrrnnnnhdpdrpmrprmp其中,)(,而)()(dmrdrrmdpdrprndsdshdsrhmvdsdtmvdtdtdmrdtdtdrrm)(因此椭圆轨道也正好包含整数个德布罗意波波长。带电粒子在威耳孙云室(一种径迹探测器)中的轨迹是一串小雾滴雾滴德线度约为微米。当观察能量为电子伏特的电子径迹时其动量与精典力学动量的相对偏差不小于多少?解:由题知,电子动能K=电子伏特米动量相对偏差为。xpp根据测不准原理有由此得:hxpxhp经典力学的动量为:mKxhppmKp电子横向动量的不准确量与经典力学动量之比如此之小足见电子的径迹与直线不会有明显区别。证明自由运动的粒子(势能)的能量可以有连续的值。V证明:自由粒子的波函数为:……())(EtrphiAe自由粒子的哈密顿量是:……()mhH自由粒子的能量的本征方程为:……()EH把()式和()式代入()式得:EAemhEtrphi)(即:mpEEmpEedzddyddxdAmhEtzpypxphizyx)()(自由粒子的动量p可以取任意连续值所以它的能量E也可以有任意的连续值。粒子位于一维对称势场中势场形式入图即,,,{VLxVVLxx()试推导粒子在情况下其总能量E满足的关系式。VE()试利用上述关系式以图解法证明粒子的能量只能是一些不连续的值。解:为方便起见,将势场划分为Ⅰ‚Ⅱ‚Ⅲ三个区域。()定态振幅方程为)()()()(xxxVEhdxd式中是粒子的质量。Ⅰ区:)(EVhdxd其中波函数处处为有限的解是:。是一任意常数AAexx,)(Ⅱ区:Ehdxd其中处处有限的解是:是任意常数。,),sin()(BxBxⅢ区:)(EVhdxd其中处处有限的解是:是任意常数。DDexx,)(有上面可以得到:,),(,dxdxctgdxddxd有连续性条件得:ctgLctg)({解得:)(Ltg因此得:)(tgnL这就是总能量所满足的关系式。()有上式可得:)(Lntg偶数包括零奇数nLtgnLctg{亦即)()(LtgLLLctgLL令则上面两方程变为:vLuL,)()(uutgvuutgv另外注意到还必须满足关系:vu和)(hLVvu所以方程()和()要分别与方程()联立求解。有一粒子其质量为,在一个三维势箱中运动。势箱的长、宽、高分别为m在势箱外势能在势箱内。式计算出粒子可能具有的能量。cba、、VV解:势能分布情况由题意知:czzVbyyVaxxVczVbyVaxVzyxzyx和和和,,,,,,在势箱内波函数满足方程:),,(zyx)(zyxVVVEhmzyx解这类问题通常是运用分离变量法将偏微分方程分成三个常微分方程。令)()()(),,(zZyYxXzyx代入()式并将两边同除以得:)()()(zZyYxXEhmVhmdzZdZVhmdyYdYVhmdxXdXzyx)()()(方程左边分解成三个相互独立的部分它们之和等于一个常数。因此每一部分都应等于一个常数。由此得到三个方程如下:皆为常数。其中zyxzyxzzyyxxEEEEEEEEhmVhmdzZdZEhmVhmdyYdYEhmVhmdxXdX,,,将上面三个方程中的第一个整数得:……())(XVEhmdxXdxx边界条件:)()(lXX可见方程()的形式及边界条件与一维箱完全相同因此其解为:,,,sinxxxxnnnahExanaX类似地有)(sinsinsin),,(,,,sin,,,sincnbnanmhEcznbynaxnabczyxnnchEzcncZnnbhEybnbYzyxzyxzzzznyyyyn可见三维势箱中粒子的波函数相当于三个一维箱中粒子的波函数之积。而粒子的能量相当于三个一维箱中粒子的能量之和。对于方势箱,波函数和能量为:cba,sinsinsin),,(zyxzyxnnnnnmahEaznaynaxnazyx第四章碱金属原子已知原子光谱主线系最长波长辅线系系限波长。求LiAA锂原子第一激发电势和电离电势。解:主线系最长波长是电子从第一激发态向基态跃迁产生的。辅线系系限波长是电子从无穷处向第一激发态跃迁产生的。设第一激发电势为电离电势为则有:VV伏特。伏特)(ehcVchcheVehcVcheV原子的基态S。已知其共振线波长为漫线系第一条的波长为NaAA基线系第一条的波长为主线系的系限波长为。试求S、P、D、F各谱AA项的项值。解:将上述波长依次记为AAAApfdppfdp,,,,,,,maxmaxmaxmaxmaxmax即容易看出:maxmaxmax~米米米米fDFdpDpPPPSTTTTTvTK原子共振线波长主线系的系限波长为。已知K原子的基态S。AA试求S、P谱项的量子数修正项值各为多少?ps,解:由题意知:PPsppvTAA~,,max由得:)(sRTSSkTRs设,则有RRKmax,PPPTs与上类似PTRp原子的基态项S。当把原子激发到P态后问当P激发态向低能级跃迁时LiLi可能产生哪些谱线(不考虑精细结构)?答:由于原子实的极化和轨道贯穿的影响使碱金属原子中n相同而l不同的能级有很大差别即碱金属原子价电子的能量不仅与主量子数n有关而且与角量子数l有关可以记为。理论计算和实验结果都表明l越小能量越低于相应的氢原子的能量。),(lnEE当从P激发态向低能级跃迁时考虑到选择定则:可能产生四条光谱分别由l以下能级跃迁产生:。SPSPPSSP为什么谱项S项的精细结构总是单层结构?试直接从碱金属光谱双线的规律和从电子自旋与轨道相互作用的物理概念两方面分别说明之。答:碱金属光谱线三个线系头四条谱线精细结构的规律性。第二辅线系每一条谱线的二成分的间隔相等这必然是由于同一原因。第二辅线系是诸S能级到最低P能级的跃迁产生的。最低P能级是这线系中诸线共同有关的所以如果我们认为P能级是双层的而S能级是单层的就可以得到第二辅线系的每一条谱线都是双线且波数差是相等的情况。主线系的每条谱线中二成分的波数差随着波数的增加逐渐减少足见不是同一个来源。主线系是诸P能级跃迁到最低S能级所产生的。我们同样认定S能级是单层的而推广所有P能级是双层的且这双层结构的间隔随主量子数n的增加而逐渐减小。这样的推论完全符合碱金属原子光谱双线的规律性。因此肯定S项是单层结构与实验结果相符合。碱金属能级的精细结构是由于碱金属原子中电子的轨道磁矩与自旋磁矩相互作用产生附加能量的结果。S能级的轨道磁矩等于不产生附加能量只有一个能量值因而S能级是单层的。计算氢原子赖曼系第一条的精细结构分裂的波长差。解:赖曼系的第一条谱线是n=的能级跃迁到n=的能级产生的。根据选择定则跃迁只能发生在之间。而S能级是单层的所以赖曼系的第一条谱线之精细结构SP是由P能级分裂产生的。氢原子能级的能量值由下式决定:)()()(njnSZRhcanZRhcE其中)()(SZZ)()()()()()()()(SEPEhcchSEPESEPEhcchSEPE因此有:)()()()()()()()()(aRhcSEaRhcPEaRhcPESEPESEPESEPEhc将以上三个能量值代入的表达式得:AaaaRRaaa))((米原子光谱中得知其D项的项值试计算该谱项之精细Na米DT结构裂距。解:已知,米米NaDRT****)(米所以有:而llnZRaTnnZTRnDNa原子在热平衡条件下处在各种不同能量激发态的原子的数目是按玻尔兹曼分布的即能量为E的激发态原子数目。其中是能量为的状态的KTEEeggNN)(NE原子数是相应能量状态的统计权重K是玻尔兹曼常数。从高温铯原子气体光谱中gg和测出其共振光谱双线。试估算此气体,::的强度比IIAA的温度。已知相应能级的统计权重。,gg解:相应于的能量分别为:hcEhcE所测得的光谱线的强度正比于该谱线所对应的激发态能级上的粒子数N即ggeeggNNIINIKTEEKTEE由此求得T为:KggKEETln第五章多电子原子原子的两个电子处在pd电子组态。问可能组成哪几种原子态用原子态的符eH号表示之。已知电子间是LS耦合。解:因为,,ssll,,,,,,LSllllllLssssS或所以可以有如下个组态:,,,,,,,,,,,,,,,,,,FSLFSLDSLDSLPSLPSL已知原子的两个电子被分别激发到p和d轨道器所构成的原子态为eHD问这两电子的轨道角动量之间的夹角自旋角动量之间的夹角分别为多llpp与sspp与少?解:()已知原子态为电子组态为pdD,,,llSL因此')(coscos)()()(LllllLLLllllLLllppppPppppPLLPllphllp()hhSSPhhssppssS)()(而')(coscos

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禇圣麟《原子物理学》答案

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