已知:如图

已知:如图 數學的內涵博大深遠,精采無比。即使只是一則平淡不起眼的練習題,若用心思索,加以適度一般化、特殊化或類比後,常有令人驚喜的收穫。這樣的學習方式與經驗,對數學思考及解題能力都有相當大的幫助。不信的話,讓我們立刻由下列簡單的問題開始延伸 A已知:如圖, ?ABC及?CDE皆為正三角形 求證:AE=BD CBE D 相信各位在國中階段就做過這種練習了,證明的要訣在於掌握AE、BD為分屬?ACE及?BCD的對應邊,而?ACE及?BCD可因已知的正三角形的條件構成SAS全等,則證明自然水到渠成。以幾何變換的觀點來看,它是旋轉變換的簡單範例:以C為轉軸,將?ACE旋轉60?即成?BCD,則AE=BD已是〝顯然〞的結果, A我們逐步將問題衍生變化。先考慮如右圖的方式 把兩個正三角形併排起來,結果外觀上最大的不同點D P是:AE和BD相交了,但AE=BD的結果還是被保持 下來。 BEC 證明的要訣與 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 幾乎和上面完全相同?? ?ACE及?BCD因SAS全等而推得AE=BD,不過它起碼還多出一個題材可談:AE、BD會 o呈60交角。我們把這當練習留給同學暖暖身: (練習題) 如上圖所示,已知?ABC、?CDE皆為正?,AE與BD交於P,求證?APB=60? 上文實在有點淺顯得另人引不起興趣來。別急,事情總是要按部就班一步一角印走來才算紮實。問題如果成了下左圖模樣,兩三角形不再併排成一直線,是否仍有AE=BD的結果,這只要審視?ACE及?BCD是否維持以C的軸心作旋轉變換立可確認。而AE與BS的交角也還是60?, AA CDC P DEEBB 不過,若圖形如上右,則線段AE與BD也可能不相交,但它們所在的直線仍是呈60?交角的,這情形就類如最原始問題那般。 進一步可以如何演變呢,不妨把BE連起來再作一正三角形成了下圖,則問題的內涵立即充實不少: A D1. 是否必有AE=BD=CF結果成立, C 2. AE、BD、CF是否必共點, P BE3. AE、BD、CF間的交角是否皆相等, 事實上,我們的 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 都是肯定的。茲將證明略述如下: 1. 由上文知AE=BD。同理,因?CDE、?BEF皆為正 F三角形,故亦有BD=CF,所以AE=BD=CF是正確的。 2. 由上文知AE、BD交角?APB=60?,因?ACB=60?=?APB,P點在?ABC的外接圓 上;同理,P點亦在?CDE的外接圓上;因 A ?BPE=360?-?BPC-?CPE=120?,與?BFECD 互補,故P點必在?BEF的外接圓上,參見圖P 示。因此可知:AE、BD、CF三線共點得證。 BE 3. 由上證明過程得知?APC=?ABC=60?;同 理,?APB=?BPF=?FPE=?EPD=?DPC=60 ?。 F 當?BCE的三內角都小於120?時,P點存在於?BCE內。它可是大有來頭的明星級〝點〞物,號稱費馬(P.Fermat,1601~1665)點,是 『?BCE內使PB+PC+PE的值為最小』的點,可以用來解類似下面的應用題?? ,練習題, 有三戶人家住在山上,喝水都須下山挑水上山,現在想在這三戶人家形成的的三角形中挖一口井,要如何選擇開井的地點,使人們走到井的路程最短, 如果F為BE的另一側,則圖形的相對位置如下,CF雖不過P點,其所在的直線還是會過P點的,但CF顯然已變短到不可能等於AE。此時目 F光焦點應移到:ACDF恰是一平行四邊形,我們把證明留A 給同學當練習。當然,我們還可以考慮有兩個正三角形CD向?BCE內側方向作圖的情形。限於篇幅,不作贅述。 P 除了費馬點之外,還有另一個引人入勝的話題是? EB A如圖所示,三個正三角形?ABC、?CDE、?BEF的 CDO1O2形心(正三角形的內、外、重、垂四心重合)O1、O2、 O3恰圍成一正三角形。 EB O3 F 証明: 1.如圖,分別作三個正三角形?ABC、?CDE、?BEF的外接圓,其中O1、O2、O3恰為 它們的圓心,三圓共交於一點P。 A2.連PB、PC、PE,是為其公弦,則PC?O1O2, CPE?O2O3,PB?O3O1 。 DO1O23.?O2 O1 O3 =180?-?BPC=60? P 同理?O1 O2 O3 =60?=?O2 O3 O1 BE 4.故?O1O2O3為正三角形得証, O3 上述?O1O2O3可是赫赫有名的拿破崙(Napoleon Bomapate,1769~1821)三角形,正是那位叱吒一時威震 F歐洲的法國皇帝, 說得更清楚一點,上圖所示是"外拿破崙三角形"。如果三個正三角形係向?BCE內作去,則同樣亦可得到一個正三角形,這個就稱為"內拿破崙F 三角形"。它的証明是個很好的練習,就留給同學自我 磨練了。 CO3 附帶一提,任一三角形的內、外拿破崙三角形的面 O2積差恰等於原三角形的面積。而且,內、外拿破崙三BEO1D角形共用相同的形心。夠神奇罷,有興趣的同學不妨 A自行鑽研一番。 說了半天,好像都只繞著正三角形在打轉。其實, 只要所作的圖形是相對應的相似形,結果也會得到類似的結果。當它是三角形時,大家比較熟悉,轉的角度是60?,情況較特殊(簡化)罷了。一般化到相似形的圖形與証法都不再贅述,留給"有志之士"自我品味。 能不能把三角形推廣到四邊形以上呢,答案是可以的。相信大家也都做過正方形的例子: E以?ABC之邊AB、AC向外作正方形ABFG、 G ACDE,連接BE、CG, A D求証BE=CG且BE?CG。 F BC 這時,同樣是找一個點A為軸心旋轉,只是把60?改成90?(由?AGC轉到?ABE位置),看穿了就不覺得難。 如果順此延伸,我們連接EG,並過A作BC的垂線交EG於M,則必有EM=GM。 證明:1.分別過E、G作直線AH的垂線得P、Q為垂足, EM G則可得 ,ABH,,GAQ,,ACH,,EAP(R.H.S) A？EP,AH,GQ 2. D 3. ？,NEP,,MGQ(A.A.S)F BHCEM,GM 4.故得証。 BCEG你相不相信,若把過程調整為:過A作的垂線,則反過來也會把平分(請同學練習證明),一端是垂直,另一端則是平分,這不免令人聯想到"蝴蝶定理"。幾何世界的迷人處實在多不勝數,令人嘆為觀止。 EG[練習題] A已知?ABC,以AB、AC為邊分別向形外作正方形ABFG、 DACDE,自D、F引BC直線的垂線DP、DQ(P、Q為垂足), F 求証:1.BQ=CP 2.DP+FQ=BC 3.?FGB+?DPC=?ABC QPBC 把上文中對三角形討論的過程搬來對正方形重複一遍,可以推導出類似的結論。我們就此打住,該換個話題了, 讓我們換討論一個有關圓的問題?? D1、O2外切於P點,過P任作二直線得交 兩圓OL1 A點A、B、C、D, POO求証:AB?CD 12 BL2C LD L1 A 2 OO1P12 BL2C証明的要訣是,過P作公切線L, ？，BAP,，1(弦切角) ，1,，2(對頂角，)，2,，DCP又 ？，BAP,，DCP 故由內錯角相等知:AB?CD得証。 如果把兩圓外切改成內切,結果又將如何, DL1事實上,問題反而變得更〝顯然〞;此時P點可視 為一縮放中心,兩圓與AB、CD間用同一縮放比例O1 2P率在作幾何伸縮變換,理所當然會有ABCD的結? L2C果, 讓我們再進一步看看兩個圓變成相交於兩點的情形。由於有兩交點,過交點分別作直線與兩圓相交可概分成下圖四種?? 無論是那一種相關位置,都有相同的結果?AB?CD, 我們只証其中一種,其他留給同學〝舉一反三〞: 連接公弦PQ, ？，PQC,，PAB(A、B、C、D四點共圓) 且，PQC，，PDC,180:(P、Q、C、D四點共圓) ？，PAB，，PDC,180: ?AB?CD得証,同側內角互補, 特別地,當過P、Q的兩直線恰交在其中一圓上 時,AB、CD之一將退化成一點,則顯然不會再有AB ?CD出現了,好像碰到無法挽救的破壞結局者,事實 上還是可以轉圜的。你只要如右圖般過C點作切線L, 即可發現AB?L再度光臨,證明就留給同學當作加強 練習。 L 當兩圓不相交時,沒有交點不就沒戲可唱了,這 樣的話,也太小看數學了,大家努力想想,若兩圓外離,有沒有什麼可以搭橋引線的,想到了嗎,想不出來就回頭看上文探討過程裡有沒有引發靈感的線索,想到了吧,,答案就是外公切線,如果P、Q分別為兩圓切點,連心線O1O2與公切線PQ交於T點,過T作任一直線L1與PQ分別交兩圓於A、A'及C、C';則過T作另一直線L2與兩圓的交點B、B'及D、D';大家看看是不是會有AB?CD且A'B'?C'D'產生,你開竅了嗎,如果你感覺得到答案是肯定的,它們的証明也就是你最好的練習了, Q L2 P T L1 參 考 資 料: [1].王昌銳譯:幾何研究?徐氏基金會?科學圖書大庫 [2]. G.波利亞:數學與猜想?九章出版社 [3].湯錫珩:微妙的補助線?偉文圖書公司 [4].中小學科展優勝作品專輯 國中組數學科?科學教育館編印 [5].吳英格等譯:數學是什麼?徐氏基金會 [6].鄭再添:圓的尺規作圖系列探討?科學教育月刊第217期P.25~29;第218期P.23~37