高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社)
习题六
1. 指出下列各微分方程的阶数:
(1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶
2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解:
;
解:由
得
代入方程得
故是方程的解.
;
解:
代入方程得
.
故是方程的解.
;
解:
代入方程得
.
故不是方程的解.
解:
代入方程得
故是方程的解.
3. 在下列各题中,验证所给二元方程为所给微分方程的解:
证:方程
两端对x求导:
得
代入微分方程,等式恒成立.故是微分方程的解.
证:方程
两端对x求导:
(*)
得
.
(*)式两端对x再求导得
将
代入到微分方程,等式恒成立,故是微分方程的解.
4. 从下列各题中的曲线族里,找出满足所给的初始条件的曲线:
解:当
时,y=5.故C=-25
故所求曲线为:
解:
当x=0时,y=0故有
.
又当x=0时,
.故有
.
故所求曲线为:
.
5. 求下列各微分方程的通解:
;
解:分离变量,得
积分得
得
.
解:分离变量,得
积分得
得通解:
;
解:分离变量,得
积分得
得通解为
.
;
解:分离变量,得
积分得
得通解为
;
解:分离变量,得
积分得
得通解为
;
解:
积分得
得通解为
.
;
解:分离变量,得
积分得
即为通解.
.
解:分离变量,得
积分得
得通解为:
.
6. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:
;
解:分离变量,得
积分得
.
以
代入上式得
故方程特解为
.
.
解:分离变量,得
积分得
将
代入上式得
故所求特解为
.
7. 求下列齐次方程的通解:
;
解:
令
原方程变为
两端积分得
即通解为:
;
解:
令
, 则
原方程变为
积分得
即方程通解为
解:
令
, 则
原方程变为
即
积分得
故方程通解为
;
解:
令
, 则
原方程变为
即
积分得
以
代替u,并整理得方程通解为
.
;
解:
令
, 则
原方程变为
分离变量,得
积分得
以
代替u,并整理得方程通解为到
解:
即
令
, 则
,
原方程可变为
即
分离变量,得
积分得
.
即
以
代入上式,得
即方程通解为
.
8. 求下列各齐次方程满足所给初始条件的解:
;
解:
令
,则得
分离变量,得
积分得
即
得方程通解为
以x=0,y=1代入上式得c=1.
故所求特解为
.
.
解:设
, 则
原方程可变为
积分得
.
得方程通解为
以x=1,y=2代入上式得c=e2.
故所求特解为
.
9. 利用适当的变换化下列方程为齐次方程,并求出通解:
解:设
,则原方程化为
令
代回并整理得
.
解:
作变量替换,令
原方程化为
令
,则得
分离变量,得
积分得
即
代回并整理得
;
解:作变量替换
则
原方程化为
代回并整理得
.
解:令
则
原方程可化为
分离变量,得
积分得
故原方程通解为
10. 求下列线性微分方程的通解:
;
解:由通解公式
;
解:方程可化为
由通解公式得
解:
;
解:
.
;
解:方程可化为
解:方程可化为
11. 求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解:
;
解:
以
代入上式得
,
故所求特解为
.
.
解:
以x=1,y=0代入上式,得
.
故所求特解为
.
12. 求下列伯努利方程的通解:
解:令
,则有
即为原方程通解.
.
解:令
.
即为原方程通解.
13. 求下列各微分方程的通解:
;
解:方程两边连续积分两次得
;
解:积分得
;
解:令
,则原方程变为
故
.
;
解:设
, 则
原方程可化为
即
由p=0知y=c,这是原方程的一个解.
当
时,
解:
;
解:
;
解:令
,则得
得
故
.
.
解:令
,则
.
原方程可化为
14.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:
;
解:令
,则
,
原方程可化为
由
知,
,从而有
由
,得
故
或
.
;
解:令
,则
.
原方程可化为
则
以
代入上式得
则
当x=1时,y=0代入得
故所求特解为
.
;
解:
当
,得
以x=0,y=0代入上式得
故所求特解为
.
;
解:令
,则
.
原方程可化为
以
代入上式得
.
以x=0,y=1代入上式得
故所求特解为
;
解:令
,则
.
原方程可化为
即
积分得
以
代入上式得
,
则
以x=0,y=0代入得
,
故所求特解为
即
. 即
.
.
解:令
原方程可化为
以
代入得
故
由于
. 故
,即
积分得
以x=0,y=1代入得
故所求特解为
.
15. 求下列微分方程的通解:
;
解:特征方程为
解得
故原方程通解为
;
解:特征方程为
解得
故原方程通解为
;
解:特征方程为
解得
故原方程通解为
.
;
解:特征方程为
解得
故原方程通解为
.
;
解:特征方程为
解得
故原方程通解为
.
解:特征方程为
解得
故原方程通解为
.
16. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:
;
解:特征方程为
解得
通解为
由初始条件得
故方程所求特解为
.
解:特征方程为
解得
通解为
由初始条件得
故方程所求特解为
.
解:特征方程为
解得
通解为
由初始条件得
故方程所求特解为
.
.
解:特征方程为
解得
通解为
由初始条件得
故方程所求特解为
.
17. 求下各微分方程的通解:
;
解:
得相应齐次方程的通解为
令特解为
,代入原方程得
,
解得
, 故
,
故原方程通解为
.
;
解:
对应齐次方程通解为
令
, 代入原方程得
比较等式两边系数得
则
故方程所求通解为
.
;
解:
,
对应齐次方程通解为
令
代入原方程得
解得
则
故所求通解为
.
;
解:
相应齐次方程的通解为
令
,代入原方程并整理得
得
则
故所求通解为
.
;
解:
相应齐次方程通解为
令
代入原方程得
得
则
故所求通解为
.
解:
对应齐次方程通解为
令
代入原方程得
故原方程通解为
.
18. 求下列各微分方程满足已给初始条件的特解:
;
解:特征方程为
得
对应齐次方程通解为
令
代入原方程并整理得
得
故通解为
.
将初始条件代入上式得
故所求特解为
.
.
解:
对应齐次方程通解为
令
,代入原方程求得
则原方程通解为
由初始条件可求得
故所求特解为
.
*19. 求下列欧拉方程的通解:
解:作变换
,即t=lnx,
原方程变为
即
特征方程为
故
.
.
解:设
,则原方程化为
①
特征方程为
故①所对应齐次方程的通解为
又设
为①的特解,代入①化简得
,
故
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