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高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社)习题六答案详解

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高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社)习题六答案详解高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社) 习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数: (1)一阶          (2)二阶          (3)三阶          (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解: ; 解:由 得 代入方程得 故是方程的解. ; 解: 代入方程得    . 故是方程的解. ; 解: 代入方程得    . 故不是方程的解. 解: 代入方程得 故是方程的解. 3. 在下列各题中,验证所给二元方程为所给微分方程的解: 证:方程 ...

高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社)习题六答案详解
高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社) 习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数: (1)一阶          (2)二阶          (3)三阶          (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解: ; 解:由 得 代入方程得 故是方程的解. ; 解: 代入方程得    . 故是方程的解. ; 解: 代入方程得    . 故不是方程的解. 解: 代入方程得 故是方程的解. 3. 在下列各题中,验证所给二元方程为所给微分方程的解: 证:方程 两端对x求导: 得 代入微分方程,等式恒成立.故是微分方程的解. 证:方程 两端对x求导: (*) 得 . (*)式两端对x再求导得 将 代入到微分方程,等式恒成立,故是微分方程的解. 4. 从下列各题中的曲线族里,找出满足所给的初始条件的曲线: 解:当 时,y=5.故C=-25 故所求曲线为: 解:  当x=0时,y=0故有 . 又当x=0时, .故有 . 故所求曲线为: . 5. 求下列各微分方程的通解: ; 解:分离变量,得  积分得          得              . 解:分离变量,得      积分得            得通解:          ; 解:分离变量,得      积分得              得通解为            . ; 解:分离变量,得        积分得                  得通解为              ; 解:分离变量,得    积分得              得通解为              ; 解: 积分得        得通解为        . ; 解:分离变量,得    积分得        即为通解. . 解:分离变量,得    积分得          得通解为:      . 6. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解: ; 解:分离变量,得      积分得            . 以 代入上式得 故方程特解为      . . 解:分离变量,得    积分得          将 代入上式得 故所求特解为        . 7. 求下列齐次方程的通解: ; 解: 令        原方程变为    两端积分得      即通解为:      ; 解: 令 ,          则 原方程变为        积分得          即方程通解为      解:        令 ,  则 原方程变为      即            积分得        故方程通解为    ; 解:    令 ,  则 原方程变为    即          积分得    以 代替u,并整理得方程通解为  . ; 解: 令 , 则 原方程变为  分离变量,得        积分得  以 代替u,并整理得方程通解为到  解:    即        令 , 则 , 原方程可变为 即        分离变量,得      积分得        . 即            以 代入上式,得  即方程通解为    . 8. 求下列各齐次方程满足所给初始条件的解: ; 解:      令 ,则得  分离变量,得        积分得          即              得方程通解为      以x=0,y=1代入上式得c=1. 故所求特解为      . . 解:设 ,  则 原方程可变为        积分得          . 得方程通解为      以x=1,y=2代入上式得c=e2. 故所求特解为      . 9. 利用适当的变换化下列方程为齐次方程,并求出通解: 解:设 ,则原方程化为 令          代回并整理得 . 解: 作变量替换,令  原方程化为    令 ,则得 分离变量,得  积分得 即        代回并整理得    ; 解:作变量替换   则 原方程化为            代回并整理得    . 解:令 则 原方程可化为      分离变量,得      积分得          故原方程通解为  10. 求下列线性微分方程的通解: ; 解:由通解公式 ; 解:方程可化为    由通解公式得 解:    ; 解:    . ; 解:方程可化为  解:方程可化为    11. 求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解: ; 解:  以 代入上式得 , 故所求特解为  . . 解: 以x=1,y=0代入上式,得 . 故所求特解为    . 12. 求下列伯努利方程的通解: 解:令 ,则有 即为原方程通解. . 解:令 . 即为原方程通解. 13. 求下列各微分方程的通解: ; 解:方程两边连续积分两次得 ; 解:积分得    ; 解:令 ,则原方程变为 故        . ; 解:设 , 则 原方程可化为    即        由p=0知y=c,这是原方程的一个解. 当 时, 解: ; 解: ; 解:令 ,则得 得            故            . . 解:令 ,则 . 原方程可化为    14.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解: ; 解:令 ,则 , 原方程可化为        由 知, ,从而有 由 ,得 故          或  . ; 解:令 ,则 . 原方程可化为                则                            以 代入上式得 则                              当x=1时,y=0代入得 故所求特解为                  . ; 解: 当 ,得 以x=0,y=0代入上式得 故所求特解为    . ; 解:令 ,则 . 原方程可化为    以 代入上式得 . 以x=0,y=1代入上式得 故所求特解为 ; 解:令 ,则 . 原方程可化为        即                积分得              以 代入上式得 , 则              以x=0,y=0代入得 , 故所求特解为                  即 .      即 . . 解:令 原方程可化为        以 代入得 故                由于 .  故 ,即  积分得                          以x=0,y=1代入得 故所求特解为    . 15. 求下列微分方程的通解: ; 解:特征方程为                  解得                          故原方程通解为                ; 解:特征方程为                    解得                                故原方程通解为                ; 解:特征方程为                解得                              故原方程通解为    . ; 解:特征方程为                  解得                              故原方程通解为            . ; 解:特征方程为                  解得                              故原方程通解为                . 解:特征方程为                  解得                              故原方程通解为                  . 16. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解: ; 解:特征方程为                  解得                            通解为                          由初始条件得                故方程所求特解为              . 解:特征方程为                解得                            通解为                        由初始条件得                故方程所求特解为                . 解:特征方程为                  解得                            通解为                    由初始条件得                故方程所求特解为              . . 解:特征方程为                    解得                              通解为                      由初始条件得                    故方程所求特解为                . 17. 求下各微分方程的通解: ; 解:  得相应齐次方程的通解为 令特解为 ,代入原方程得 , 解得 ,  故 , 故原方程通解为  . ; 解: 对应齐次方程通解为  令 , 代入原方程得 比较等式两边系数得 则                          故方程所求通解为  . ; 解: , 对应齐次方程通解为      令 代入原方程得 解得                            则                            故所求通解为    . ; 解: 相应齐次方程的通解为 令 ,代入原方程并整理得 得                        则                      故所求通解为  . ; 解: 相应齐次方程通解为              令 代入原方程得 得                              则                                故所求通解为  . 解: 对应齐次方程通解为  令 代入原方程得 故原方程通解为      . 18. 求下列各微分方程满足已给初始条件的特解: ; 解:特征方程为                      得                                  对应齐次方程通解为    令 代入原方程并整理得 得                            故通解为    . 将初始条件代入上式得        故所求特解为    . . 解: 对应齐次方程通解为    令 ,代入原方程求得  则原方程通解为  由初始条件可求得      故所求特解为    . *19. 求下列欧拉方程的通解: 解:作变换 ,即t=lnx, 原方程变为      即            特征方程为        故                        . . 解:设 ,则原方程化为 ① 特征方程为          故①所对应齐次方程的通解为 又设 为①的特解,代入①化简得 ,    故 
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分类:工学
上传时间:2019-07-20
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