【教学目标】 熟练掌握数与式的简单运算
【教学重点】 数与式的运算
【教学难点】 数与式的运算
【进门得分】
【教学内容】
要点回顾:
1.绝对值
[1]绝对值的代数意义: .即
.
[2]绝对值的几何意义: 的距离.
[3]两个数的差的绝对值的几何意义:
表示 的距离.
[4]两个绝对值不等式:
;
.
2.乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:
[1]平方差公式: ;
[2]完全平方和公式: ;
[3]完全平方差公式: .
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:
[公式1]
[公式2]
(立方和公式)
[公式3]
(立方差公式)
说明:上述公式均称为“乘法公式”.
3.根式
[1]式子
叫做二次根式,其性质如下:
(1)
;(2)
;(3)
; (4)
.
[2]平方根与算术平方根的概念: 叫做
的平方根,记作
,其中
叫做
的算术平方根.
[3]立方根的概念: 叫做
的立方根,记为
4.分式
[1]分式的意义 形如
的式子,若B中含有字母,且
,则称
为分式.当M≠0时,分式
具有下列性质: (1) ; (2) .
[2]繁分式 当分式
的分子、分母中至少有一个是分式时,
就叫做繁分式,如
,
说明:繁分式的化简常用以下两种方法:(1) 利用除法法则;(2) 利用分式的基本性质.
[3]分母(子)有理化:把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程
【过手练习】
例1 解下列不等式:
绝对值不等式解法的基本思路是:去掉绝对值符号,把它转化为一般的不等式求解,转化的方法一般有:(1)绝对值定义法;(2)平方法;(3)零点区域法。常见的形式有以下几种。
1. 形如不等式:
利用绝对值的定义得不等式的解集为:
在数轴上的表示如图1。
2. 形如不等式:
它的解集为: 。在数轴上的表示如图2。
3. 形如不等式
它的解法是:先化为不等式组: ,再利用不等式的性质来得解集。
4. 形如
它的解法是:先化为不等式组: ,再利用不等式的性质求出原不等式的解集。
例如:解不等式:
(1)
(2)
例2 计算:
(1)
说明:多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列
(2)
(3)
(4)
例3 已知
,求
的值.
例4 计算(没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数):
(1)
(2)
说明:注意性质
的使用:当化去绝对值符号但字母的范围未知时,要对字母的取值分类讨论.
(3)
(4)
例5 设
,求
的值.
说明:有关代数式的求值问题:(1)先化简后求值;(2)当直接代入运算较复杂时,可根据结论的结构特点,倒推几步,再代入条件,有时整体代入可简化计算量.
例6 化简:(1)
(2)
说明:(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行,当分子、分母为多项式时,应先因式分解再进行约分化简;(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式.
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1. 解不等式
2. 设
,求代数式
的值.
3. 当
,求
的值
4. 设
,求
的值
5. 计算
6.化简或计算:
(1)
2)