一道可用拉格朗日乘数法求最值的题[资料]

一道可用拉格朗日乘数法求最值的题[资料]一道可用拉格朗日乘数法求最值的题[资料] 何时可用拉格朗日乘数法求最值, 题目:已知，求的最小值( xy，xxyy,，,，,3132 法一:变式:，则有;xyxy，,，，，,31320xyxy，，，,，，，，1231323 22mnmn，,，，333令xm，,1，，则有; yn，,2 331522从而有; ()()mn,，,,222 315315再令，，其中确保同时取非负数;,,,,,,mcosnsinmn、,2222 315315则有，; m,，cos,n,，sin,2222 31515222所以，,，，，，...

一道可用拉格朗日乘数法求最值的题[资料] 何时可用拉格朗日乘数法求最值, 题目:已知，求的最小值( xy，xxyy,，,，,3132 法一:变式:，则有;xyxy，,，，，,31320xyxy，，，,，，，，1231323 22mnmn，,，，333令xm，,1，，则有; yn，,2 331522从而有; ()()mn,，,,222 315315再令，，其中确保同时取非负数;,,,,,,mcosnsinmn、,2222 315315则有，; m,，cos,n,，sin,2222 31515222所以，,，，，，，,,mn2()3(sincos)222 91533,,，，,，，，,，，即; xy315sin()1215sin(),,222424 3,33,,xy，，31215,当时，取最小值，即取最小值915,;xy，,224 3,3153152315,,,,检验:当时，m,，,，，,,,cos()0，矛盾;不适合;,2222224 故此路不通( 法二:与法一相同: 变式:，则有;xyxy，,，，，,31320xyxy，，，,，，，，1231323 22mnmn，,，，333xm，,1令，，则有; yn，,2 331522()()mn,，,,从而有，(*)其中有:，; m,0n,0222 它的图象是圆的一部分; 22又设; txyxymn,，,，，，,,，,(1)(2)33 22mnt，,，3于是有，(**) 下面利用数形结合方法求最小值: 画出图象如下: 方程(*)的图象在第一象限，包括在坐标轴上点; 方程(**)是以原点为圆心，向外扩张的圆;当它扩张到与第一个图象有第一个公共点时， 321，321，(, 0)(0, )恰好在坐标轴上的点，而A为，(B为); 22 321，9321，9321，所以有即;故的最小值是(xy，t，,3t,minmin222 330( 同时，可知最大值为:tt，,，,,，329315maxmax22 数缺形时少直观，形缺数时难入微(此法数形结合，一目了然( 法三:拉格朗日乘数法(,拉格朗日是法国的超一流的数学家,有空时百度一下看其事迹。, 首先举例说明一下如何使用新方法( 题目:设长4m的绳子围成长为x，宽为y的矩形，矩形最大面积为多少, xy，,2步骤:1(相关条件:x、y永远满足:，令gxyxy(,)2,，,，即gxy(,)0,恒成立; 2(目标函数:所求的最大式子:Sfxyxy,,(,); Fxyfxyngxy(,)(,)(,),，3(构造拉格朗日函数:; 4(求偏导数: Fxy'(,)Fxy(,)(代表函数偏x求导数，具体求导方法是视x为变量，为常数即可)yx Fxy'(,)0,fx'()0,Fxy'(,)0,一元函数中，有极值点，在这里，同样满足:，;yx gx()再联立解出最大的(因为此题有最大值，无最小值，解出的答案即可取，否则xy, 需要讨论) gxyxy(,)2,，,fxyxy(,),解:由题意可得:，; Fxyxn'(,)0,，,Fxyfxyngxyxynxy(,)(,)(,)(2),，,，，,Fxyyn'(,)0,，,;，;yx xy,,1gxyxy(,)20,，,,与联立，解得，由于只存在最大值，所以最大面积:( xy,1 回到本题中( 解:由题可得:，; fxyxy(,),，gxyxyxy(,)3132,，,，,， ; Fxyxynxyxy(,)(3132),，，，,，,， 11,,3n3n22，; ,，,，,,，,，,Fxynx'(,)1(1)0Fxyny'(,)1(2)0xy22 3n3n3n22,0x，,1()y，,2()即有，;此时， 2(1)n，2(1)n，2(1)n，与联立， gxyxyxy(,)31320,，,，,，, 33nn2(1)(2)313232()63xyxy，，，,，,，,,,,,可得:;2(1)2(1)nn，， 3660315n,,3315n，,,,解得:，舍负，取; 2(1)2n，2(1)42n， 315，2; 所以xyxy，,，，，,,,,，(1)(2)32()393152 结合“法二”，发现求出来的是“最大值”～～～Why,,, 道理很简单:多元求导数，最值是在“驻点”处取得，何为“驻点”者，有导数且为零也～可见:用拉格朗日乘数法，所求得的是“驻点”处的最值(由法二的图象可知:最小值是在端点处取得的，而端点处是不可导的，故无法实施拉格朗日乘数法，此意义一定要弄明白，不能乱用方法诶( 综合上述，本题解法二，是可能的方法，答案也就明确了(

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