多元函数的极值问题

多元函数的极值问题 2004年l2月 第6期 江西科技师范学院 JournalofJiangxiScience&TechnologyNormalUniversify Dee.,2004 No.6 文章编号:1007—3558(2004)06—0099-03 多元函数的极值问题 张声年,程冬时 f江西经济管理干部学院,江西南昌市330000) 把一元函数的极值问题推广到多元函摘要:本文主要讨论数学 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 中的极值问题. 数的情形,得到了一些新的结果,并给 出了一些未推广前不能求解.而利用推广后的结论可以求解的例子. 关键词:可导;极值 中图分类号:O17文献标识码:A 函数的极值不仅足函数性态的重要特征,而且在实际巾也有重要的作用.多元函数的檄值问题是多元函数微分学的重要 应用.在讨论多元函数的檄值时,我们有一个充分条件:对于二元函数z=f(x,Y),当Po()【o'y是它的驻点且判别式:l_ o'y(x.'y?0时,可以判定它是否为檄值.但当判别式为零时就没有定的 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 (x.'y)【 了,需要做进一步的讨论.现在 的问题是当判别式为零时.能否给出一个充分条什(在一元的情况下是有的.下面我们讨论这个f.-l~. 根据极值的定义可知,要判定点P0(xo'y0)是否檄值点,只要判定当点P(x,y)在点Po(xo,y的某邻域U(P0)内变化口1『, , )蝴,是否保持定号.设f的所有二阶偏导数连续,于是可以利用Taylor公式讨论的?符号=注意到0 .yo)=O,有 f(x,y)-f(x 口.yo)=l/2DC.(xo+OAx,yo+0Ay)(Ax)+2f.(xo+0Ax,yo+0Ay)AxAy+f.(xo+0Ax,yo+0A y)(Ay)Z] 结论1设二元函数f(x,Y)在点【)o'yo)~J某邻域内具有三阶连续偏导数,且Po是驻点,又(y0)厂n()【o'y0)乏( yo)=0, 则(p0)J+【—(p0)r+【—(p0)】2+【粤(p0)】?0时,f在P0的无极值.0x0x0yOxOydy 证明:山所给的条件及Tayl.r展开公式我们有f(x,y)一f(xo,yo)=l,6(}I砉+k暑)y0)+O(AX3+?y3) 其巾h=x—Xo,k=y—y..而O(ax?y3)为当(x,y)---*(xo,yo)~J无穷小量, 所以,对于充分小的U(Po),只要(x,y)?u(Po),就有1/6(h砉+k)3f(xo,Yo)L~f(x,y)一f(xo,Yo) 因舢6唔~)Sf(xo,yo)=1/6[hsosfhmk旁? 【旁?0删份情况讨论: …(+【熹(晰【毒(P0)】2+ (1)当(Po)?o时,取y=Y.,h:x一】【o,则 0x 当x>x0时,h>0,则h3>O;当x<xo时,h<O,则hs<O, 从而h,坚(的符号是不确定的.即当一0f(Pd#0口,f,f在点P0无极值. 0x0x (2)当立乓(Pd#0时,取x=xo,k=y—Y.,则同理可征,此时f在点P0无极值. ay ?当c,c删嚣3c鳓毒co.不妨设嚣3c,蚴寸 收稿日期:2004—05—20 作者简介:张声年(1966-),.刃,江西南康人,江西经济管理干部学剐教授,研究方向:基础数学.程冬时(1970一),女?江西婺源人?汀量 管理干部学院讲师,研究方向:基础数学. . 99— x.y)一xyo)=1,2hk(h—堡一(Pl0)+k—=!(P0)). ax'avOxOy. 取k>0充分小,使得lh—L(Po)J>lk(Po)l,则f(x,y)一f(x0,y0)的符号山h-'k—之L(P0)决定,从而k取TE负号时导致f(x,ax'/iyddYilx'/iy y卜yo)在(y0)的任何小邻域内可取正也可取负e因此,f(x'y)一yo)的符号是不确定的,即当(=0,(P0)=0,而 (P0)?.时,f在点P0无极值.当【粤(P0)】1+【(】1+【(P0)】'+【(P0)】?.时,f在P0的无极值.结果毕. 例1讨论函数f(x,Y)=2x-3xy+5y在(0,0)点是否有极值. 解:容易算得f(o,0)点的一,二阶偏导数全为0,此时前面的定理均失效,但由于',(0,0)--12#0,故山结论1推得f(o,0)非 极值. 下面我们来讨论f的一阶直到三阶偏导数全为零的情况: 结论2设二元函数f在点y0)的某邻域内具有四阶连续偏导数,Po是f的驻点,且在Po点 粤===.,粤=熹=盎==o. 进一步,若(=(=0,记 det(S(Po))=444 =_了 /i'f 一 9() axayaxay (i)若det(S(Po))>0,则函数f(x,Y)在Oy0)取得极值:且当(>0时, ax ^ 4 r y0)是极小值;当(<0时,r(xo,ydg极大值. ax (ii)若det(S(po))<0,则函数f(x.Y)在(x0.y0)不取得极值. (iii)若det(S(po))=0,则函数f(x,Y)在y0)可能取得极值也可能不取得极值. 证明:山所给的条件及Taylor展开公式有: f(x,y)一r(~yd=1/24(h鱼(Pal+6h-'k—(po)+k()+0(?x4+?y dxdxdydy ^ 4 r (i)当旦(po)>0且det(S(Po))>0时,则对任何(?x2+?y?(0,0),恒使二次型Q=(?x?y,=(?x,Ay2)S(Po)(Ax:,Ay:')T>0 dx ,因此,存在一个与Ax2,Ay无关的正数q,使得Q(?x2-?y,?24q(Ax%Ays).从而,对于充分小的tJ(Po),就有f(x,Y)一f (xo,yo)~q(?x4+?y.)+0(?x?y.)=(Ax%Ay')(q+0(1))?0.即f在点(y0)取得极小值. . 4 同理可证s(P0)为负定矩阵.即(P0)<0且det(S(Po))>0时,f在点P(yd取得极大值. ax (ii)当det(S(Po))<0时,f在点P(xo,yd:~取得极值.这是因为当det(S(Po))<O时,二次型Q(Ax,Aye)=(Ax2,AyZ)S(Po)(Ax~, ZXy~)是不定的.此在P0的任意充分小的邻域巾,都可以找到PI与P1,使得t(p.)4(pO>O而1j—f(po)<O.故f在点(x0.yo)不取得 极小值. (jii)当det(S(Po))=0时,此时f在点(】y0)可能取得极值也可能不取得极值.(例如:f(x,Y)=X5+Y与g(x,Y): x6+Y在(0,0)点都满足det(S(Po))=0,但f(x,Y)=XS+Y在(0,0)点不取得极值,而g(x,Y)=x6+Y在(0,0)点取 得极小值0). 例2讨论函数f(X,Y)=1/24(x%y4)在(0,0)点是否有极值. 解:可以算得f(x,Y)在(0,0)点的一至三阶偏导数仝为0,此时前面的定理和结论l均失效.我们容易求出fx~(O.o)= 1,fx-~y(O,O)=fxy3(o,O)=tx~-y~0,O)--O,fy,0)=1 ? 100— 山结论2,s:l>0,>0,可以得出f(0,0)为极小值. 0x 通过1ji『面的几个例子,我们可以利用已经证明的结论解决一些实际的例子. 参考文献: 【lJG.B.Folland.RealAnalysjs(SecondEditor).1999. 数学分析( 上册 三年级上册必备古诗语文八年级上册教案下载人教社三年级上册数学 pdf四年级上册口算下载三年级数学教材上册pdf )【圳.高等教育出版社,1999(第二版). 【2J华东师范大学数学系编. 【3J华东师范大学数学系编.,数学分析(下册【)MJ.高等教育出版社,1999(第二版). 北京大学数学系几何与代数教研窄代数小组编.高等代数【MJ.高等教育出版社,1999 TheIssueofExtremeValueofPoly-function ZhangShengnian&ChenDongshi qiangxiCadresCollegeofEconomicalManagement,Nanchang330000,China) Abstract:Thispapermainlydiscussestheissueofextremevalueinthemathanalysis.Itgetsso menewresults,when theissueofextremevalueofmono-functionisappliedinthepoly-function,andgivessomeexa mplesthatsolutionis unavailablebeforeitsapplication,whileavailableaftertheapplication. Keywords:derivable;extremevalue (上接第95页) AStudyoftheCombination Hamming Yang OiangxiMechanicalWorkers ApplicationofHopfield& Networks Jinyun College,Nanchang330001,China) Abstract:ThepapercomparestheperformanceofHopfieldnetworkandHammingnetworkfromthe angleofHammingdistance,andanalyzestheadvantagesanddisadvantagesofthetwonetworksintheir respectiveapplication,anddiscussesthecombinationapplicationofthetwonetworksbasedontheexamples ofdigitaldisplaymode. Keywords:Hopfieldnetwork;Hammingnetwork;Hammingdistance;nervenetwork;energyfunction (上接第98页) TheDesign&RealizationoftheNetwork ManagementofWebinPWLAN . ZhouYuhui.MeiZhendong&ZhuHaidong (SoutheastUniversity,Nanjing210096,China;JiangxiBiologicalCollegeofScience&Technology, Nanchang330200,China;NanchangUniversity,Jiangxi330029,China) Abstract:ThepaperanalyzesthedesigningmethodofwebinPWLAN,realizesthediscoveryof topologicalstructureinthemanagementsystem,MIBmanagement,breakdownmanagementantithemodeof distributionmanagement,andexpoundsthedesigningstructureofdifferentmodesandtheoperatingmethod. Keywords:networkmanagementbasedonweb; distributionmanagement networkmanagement;topologicalstructureofnetwork; l0l