圆锥曲线的几大大题特征公式:焦半径、准线、弦长、切线方程、弦中点公式、极线方程
/*另外,针对“计算不好”的同学,本人提供“硬解定理”供大家无脑使用。具体的请参考本
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下的【硬解定理的推导和使用】文章。*/
圆锥 曲线 的切 线 方程 在 历年高考题中出现,但是在高中教材及资料都涉及较少。本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。
【基础知识1:切线方程、极线方程】
【1-0】公式小结:x2换成xx0,y2换成yy0,x换成(x+x0)/2,y换成(y+y0)/2.
【1-1】 椭圆的切线方程 :
①椭圆
上一点
处的切线方程是
。
②过椭圆
外一点
所引两条切线的切点弦方程是
。
③椭圆
与直线
相切的条件是
(也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=0的充要条件)
【1-2】双曲线的切线方程:
①双曲线
上一点
处的切线方程是
。
②过椭圆
外一点
所引两条切线的切点弦方程是
。
③椭圆
与直线
相切的条件是
【1-3】抛物线的切线方程:
2 物线
上一点
处的切线方程是
②过抛物线
外一点 处所引两条切线是
③抛物线
与直线
相切的条件是
【1-4】 基础知识的证明:
【公式一:曲线C上切点公式证明】
1、第1种证明思路:过曲线上一点的切线方程
设曲线C上某一点处
的 切 线 方 程 为
, 联立方程,令
,得到
的
表
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达式,再代入原始式,最后得切线方程式
(注:
的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下)
2、第2种证明思路:点差法(求斜率,其余跟第一种方法一样)
证明:设某直线与曲线C交于M、N两点坐标分别为
、
,中点P
则有
,得
又
(弦中点公式的椭圆基本表达式。双曲线则是
)
当M、N无限趋近时,P在椭圆C上。即得切线斜率
3、第三种证明思路(注意:仅供理解,考试使用可能分
证明:由2(圆锥曲线切线证明)(同一目录下文章)可知圆上一点的切线方程。
附言:第1种证明思路中,抛物线证明过程中稍微有些不同。③
①切线斜率可用导数表示。
②得到式子后,要利用
把
消去。
【公式二:曲线外一点引切线,过切点作直线的通式证明】(称为极线方程)
证明思路:过
作两条曲线C的切线,切点为A
,B
。
。所以
过A、B两点直线
方程为
证明(就举椭圆为例)
解:过
作两条曲线C的切线,切点为A
,B
。
过A点切线:
,过B点切线:
。
过A、B两点直线
方程为
【公式三:由公式一的思路可得】
【基础知识2:焦半径与准线】(具体关系与内容省略,详情看圆锥曲线知识表格)
【1-0】
【1-1】焦半径公式(具体推导用“两点间距离公式”也可解决,之后类似“求长度”的题型,求长度式子写“两点间举例公式”,结果可以直接靠背。对于焦半径PF,
口诀
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:椭圆F左加右减。
(记忆:
大则在前)
双曲线F左加右减,双曲线上点P左减右加。
焦半径与点到准线距离关系如下。即(
)/e=
推广应用:
通过
比例
e的值
的值
的值
巧用公式
(注:双曲线交于同侧、抛物线类似)
不过需要注意的是,双曲线交于异侧时,公式就变为
,具体自己推导吧
【基础知识3:弦中点公式及系列类似结论拓展】(坐标变幻只能用于证明部分内容)
【结论一:弦中点公式】
【证明】:设某直线与曲线C交于M、N两点坐标分别为
、
,中点P
则有
,得
又
(常用)
结论:斜率不变的直线与椭圆交于两点,所得两点中点的轨迹是一条过原点的直线。
【抽象理解型证明】
具体理解,可以用“坐标系变幻理解”
证明:设某斜率为定值k的直线与曲线C交于M、N两点坐标分别为
、
,中点P
,令
。
∵变幻后,
,得到中点轨迹方程始终与MN垂直
【结论二:顶点连线斜率乘积公式】(用坐标变幻好理解)(部分设元会用它比较方便)
,具体证明见下面的“拓展性证明”,若要抽象理解的话坐标变幻后两个垂直,证明方法和上面一样。至于双曲线,则是
。结论可以直接背,不过引用的时候还得按照下面的方法老实推导。
【结论三:(上一结论的延伸)对称点连线斜率乘积公式】(没法用坐标变幻)
证明:不建议设直线,直接设两个元最后消元即可(此处只列椭圆的,双曲线的证明类似)
A
、B
在椭圆上,且关于原点对称。
则有
,得