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第二章 行列式及矩阵的秩 第二节 克拉默法则与拉普拉斯定理_[全文]
第二章
行列式及矩阵的秩
第二节 克拉默法则与
拉普拉斯定理
一、克拉默法则
二、拉普拉斯定理
三、行列式的乘法定理
一、克拉默法则
设线性方程组
则称此方程组为非
齐次线性方程组;
此时称方程组为齐次线性方程组3>. 如果线性方程组
的系数行列式不等于零，即
定理1
其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为
此定理称为克拉默法则.
证明
在把 个方程依次相加，得
由代数余子式的性质可知,
于是
当 时,方程组 有唯一的一个解 由于方程组 与方程组 等价, 故
也是方程组的 解.
定理2 如果线性方程组 的系数行列式 则 一定有解,且解是唯一的 .
定理3 如果线性方程组 无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零.
齐次线性方程组的相关定理
定理4 如果齐次线性方程组 的系数行列式
则齐次线性方程组 没有非零解.
定理5 齐次线性方程组
有非零解的充要条件
是它的系数行列式为零.
有非零解.
系数行列式
例1 用克拉默则解方程组
解
例2 用克拉默法则解方程组
解
例3 问 取何值时，齐次方程组
有非零解,
解
齐次方程组有非零解，则
所以 或 时齐次方程组有非零解.
二、拉普拉斯定理
在 阶行列式 中，任选 行 列，位于这些行、
列交叉处的元素按原来顺序排列成一个 阶行列式 称为行列式 的 阶子式;
而划去这 行 列后，剩
余的元素按原来的顺序排列成的 阶行列式 称为 的余子式;
如果 阶子式在 中所在的行、
列的序号依次为 则把
称为 的代数余子式.
例如
从中取第二、第四行，第一、第三列交叉处元素 组成一个二阶子式，记为
的余子式记为
则
的代数余子式为
定理6
在 阶行列式中，任选 行(列)，则 由这 行(列)的元素所组成的所有的 阶子式分 别与它的代数余子式的乘积之和，等于行列式的值. 此定理称为拉普拉斯定理.
例4 计算行列式
解 由拉普拉斯定理，
选取第一、第二行，则
例5 阶计算行列式
解
用拉普拉斯定理，选取第一及最后一行得 例6
计算 阶行列式
解
用拉普拉斯定理，选取第一、第二行得 依此类推，可得
又
所以有
三、行列式的乘法定理
定理7
设 、 为 阶方阵，则有
证
设 为 阶单位阵，
因为 最多
经过 次第三种初等变换就能变成
因此 可写成若干个第三种初等矩阵的 乘积，
则 相当于对 矩阵 进行第三种初等变换， 从而
的值不变，
又
即有
由拉普拉斯定理得
证毕
推论1
若有 阶方阵
则
推论2
阶方阵 可逆的充分必要条件是
证
可逆
存在
四、小 结
1. 用克拉默法则解方程组的两个条件
(1)方程个数等于未知量个数;
(2)系数行列式不等于零.
2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导. 思考题
当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默 法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何? 思考题解答
不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解. 完
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