弦长
公式
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的应用
弦长公式的应用,教法荟萃,
申一品 约1178字
解析几何中，在学习了圆和圆锥曲线之后，经常会遇到直线和圆相交，或直线和圆锥曲
线相交，求弦长或直线方程的问题，解决这一类问题常用到弦长公式。
关键词:弦长公式、韦达定理
一、弦长公式及其推导
直线与二次曲线相交于 、 两点，截得弦 ，利用两点间的距离公式及韦达定理可推导出
弦长 的公式。
或
( 其中 , 为两根之和,, 为两根之积,可通过直线方程与圆及锥曲线方程联立求得 )
推导如下:
设直线 的方程为 ，截二次曲线得弦 ，设 ， ，则:
又 ，
二、弦长公式在圆里的应用
例1:求直线 截圆 所得的弦 的长度.
解:由方程组得:
上题另一解法:利用半弦长，弦心距，半径组成的直角三角形来解。
设圆心 到直线 的距离为 ，则: ，
又半径
比较上述两种
方法
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，我们会发现第二种方法要简单，在圆里求弦长，提倡用第二种方法。
第一种方法是弦长公式的直接应用。
三、弦长公式在圆锥曲线里的应用
例2:已知直线 与双曲线 相交于 ， 两点，求弦 的长。
解:由方程组 得
由弦长公式得:
例3:设 是抛物线 的焦点， ， 是抛物线 上异于顶点的两点，且满足，延长 ， 分别
交抛物线 于点 ， ，求四边形 面积的最小值。
解:易知，直线 的斜率存在且不为0，
设直线 为:
则:直线 为:
由方程组 得
弦长
由方程组得
弦长
记四边形 的面积为 ，则:
当且仅当 即 时，上式取“=”
四边形 面积的最小值为32
例4:已知椭圆 : 的离心率为 ，短轴的一个端点到右焦点的距离为 ，(1)求椭圆 的
方程;
(1)设直线 与椭圆 交于 ， 两点，坐标原点 到
(2)直线 的距离为， 求 面积的最大值。
解:(1)易知 ，又
，
椭圆 的方程为:
(2)若直线 的斜率存在且不等于0时，设其方程为:
原点 到直线 的距离为: ，
由方程组 得
，
当且仅当即 时上式取“=”此时最大面积为
若 的斜率不存在时， 的方程为 ，代入 ，得此时面积为当 时，直线 的方程为: ，代
入 ，得 此时面积为 综上: 面积的最大值为
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