复数·复数的开方
复数?复数的开方?教案
复数r(cosθ，isinθ)的n次方根(
(二)探求复数r(cosθ，isinθ)的n次方根，并推导开方公式
师:(提出课题)求复数r(cosθ，isinθ)的n次方根(
如何研究这一问题呢,首先，我们对复数的n次方根有几个值能有一个预测吗, 生:我认为有n个(
师:这只是预测，这要通过求复数(cosrθ，isinθ)的n次方根来证实或否定(如何求
复数的n次方根,要解决“如何求”，首先要弄清什么是复数n次方根,让学生回忆实数集中方根的概念(
复数n次方根的意义:如果xn=z(n?N，，z?C)，那么x叫做z的n次方根( 因为复数的n次方是复数，所以一个复数的n次方根也是复数(
如何推导复数开n次方的公式呢, 师:在建立复数n次方根概念的基础上，
由上面分析可知，复数r(cosθ，isinθ)的n次方根仍是复数，设它为ρ(cosφ+isinφ)，那么这两个复数有什么联系呢,
生:r(cosθ，isinθ)=[ρ(cosφ+isinφ)]n(n?N，)(
师:求复数的n次方根的问题，就转化为在上面等式中求出ρ和φ(
r(cosθ，isinθ)=[ρ(cosφ+isinφ)]n=ρn(cosnφ+isinnφ)( ?
这样就得到两个用三角形式表示的复数(两个用三角形式表示的复数相等的充要条件是什么,
生:它们的模相等，辐角可以相差2π的整数倍(
师:由?式可得
由复数n次方根的意义和复数相等的条件，得到复数n次方根的表达式，下面的工作是什么,
生甲:用公式解题(
生乙:这个公式还没有推导完，它表示几个值,各是什么,还要对公式进一步认识( 师:对(首先要认识公式(对一个数学公式通常从以下几个方面认识:公式的推导;公式成立的条件;公式所反映的数量关系;公式的使用(
对公式的推导，不是停留在重复推导过程上，而是要求提炼推导的基本想法和所运用的基础知识(本公式是运用复数n次方根的概念和复数相等条件，建立方程求解方程推导的(
公式成立的条件是:n?N+，也就是说，我们研究的是复数开正整数次方(
个虚数根(
进一步深化对复数r(cosθ，isin θ)的n次方根的认识(提出以下问题: 师:问题1 复数r(cos θ，isin θ)的n次方根有几个，它们的模等于什么,
师:问题2 复数r(cos θ，isin θ)的n次方根的几个辐角有什么规律, 学生讨论，教师归纳总结(
解题后思考以下问题:
(1)1的立方根在实数集中有几个值,在复数集中有几个值,各是什么, 1的立方根在实数集中有1个值，是1(在复数集C中，1的立方根有3个值，有一个实数两个虚数，其中实数为1，两个虚数是一对有
(2)方程x3=1除用复数开方公式求解，还有其他解法吗,(因式分解法，本节不展开)
(四)小结
由实数集扩充到复数集我们对一个数的n次方根的认识有了发展(在复数集C中，复数r(cos θ，isin θ)的n次方根有n个值(这n个值可由复数开方公式得到(它们的对应点在复平面内是以原点为圆心，
(五)作业
1(高中代数
下册
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P214,215练习第3，第4题(
2(复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是 [ ](
课堂教学
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
说明
本节课设计的指导思想是:激发兴趣、注重过程、发展思维、指导学法( 1(复数的有关知识比较抽象，离生产、生活实际较远(在复数教学中如何激发学生的学习兴趣，这是值得思考的问题(本节以解方程引入，通过对复数开方公式的推导得出公式，又回到在复数集中解方程x3=1，求出它的一个实根两个虚根，发展了在实数集中方程x3=1只有一根为1的认识(从学生熟悉的数学问题引入，提出问题，分析问题，解决问题，通过问题解决发展学生的认识，引起学生学习兴趣(
2(注重对复数开方公式推导过程的教学(复数开方公式推导是本节课的重点也是难
点(在教学中是分四个层次展开的:由解方程引入;由n次方根的意义切入;通过复数相等求解;由正弦、余弦函数的周期性确定复数的n次方根有n个值完成公式的推导(在推证过程中启发学生探求，发展思维，培养推理能力(
3(指导学法，会学公式(在学习数学过程中学生遇到许多数学公式，如何认识数学公式，学好公式，会学公式是指导学生学法的一个重要方面(本节课通过对复数开方公式的分析，从公式推导、公式成立的条件、公式的数量关系、公式所反映的几何意义等方面去认识公式，从公式的运用中深化对公式的认识(这对学习其他数学公式也是有指导意义的(
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