2015届高三数学三轮复习《椭圆》.doc
椭圆
班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________
一、选择题:(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括
号内()
22xy121(设椭圆，,1(a>b>0)的离心率为e,，右焦点为F(c,0)，方程ax，bx,c,0的两22ab2
个实根分别为x和x，则点P(x，x)( ) 1212
22A(必在圆x，y,2内
22B(必在圆x，y,2上
22C(必在圆x，y,2外
D(以上三种情形都有可能
2c1abcb222解析:由已知得e,,～c,～x，x,,～xx,,～x，x,(x，x),2xx,，12121212122a22aaa
2222b，2cab，a2c2a22,,<,2～因此点P(x～x)必在圆x，y,2内( 22212aaaa
答案:A
22xy2(已知椭圆，,1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF?x轴，22ab
??直线AB交y轴于点P，若AP,2PB，则椭圆的离心率是( )
32A. B. 22
11C. D. 32
2b,,解析:由题意知:F(,c,0)～A(a,0)～B,c～?. ,,a
APa?BF?x轴～?,. PBc
ac1??又?AP,2PB～?,2即e,,. ca2
答案:D
22xy3((2010?四川卷)椭圆，,1(a>b>0)的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A.在椭圆22ab
上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是( )
21A((0，] B((0，] 22
1C([2,1,1) D([，1) 2
2a,c2ca|PF|解析:设点P到右准线的距离为d～由|PF|,|AF|,,c～再由第二定义知d,,cee222222aaaaaaaaa,,,,,,,,,c×～得P点横坐标x,d,,,c×～由题意～得,a?,,c×
b>0)的中心、右焦点、右顶点及右准线与x轴的交点依次为O、F、22ab
|FG|G、H，则的最大值为( ) |OH|
11A. B. 23
1C. D(不确定 4
a,c|FG|cc111222,,,,解析:由题意得,,,，,,e，e,,e,，?～因此选C. 2,,,,|OH|aaa244
c
答案:C
二、填空题:(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上()
22xy7(已知F、F为椭圆的直线交椭圆于A、B两点(若|FA|，,1的两个焦点，过F1212259
，|FB|,12，则|AB|,________. 2
解析:如图所示～由椭圆定义得
|AF|，|AF|，|BF|，|BF|,4a,20～ 1212
又|AF|，|BF|,12～ 22
所以|AF|，|BF|,8～即|AB|,8. 11
答案:8
22xy8((2011?皖南八校)已知A、B为椭圆C:，,1的长轴的两个端点，P是椭圆C上m，1m
2π的动点，且?APB的最大值是，则实数m的值是________( 3
π解析:由椭圆知识知～当点P位于短轴的端点时～?APB取得最大值～根据题意则有tan3m，11,?m,. 2m
1答案: 2
22xx2029( (2010?湖北)已知椭圆C:，y,1的两焦点为F，F，点P(x，y)满足0<，y<1，1200022
xx0则|PF|，|PF|的取值范围为________，直线，yy,1与椭圆C的公共点个数为________( 1202
解析:依题意得点P位于椭圆C的内部(异于原点O)～因此有|FF|?|PF|，|PF|<2a～即1212
22,1?|PF|，|PF|<22～2?|PF|，|PF|<22～|PF|，|PF|的取值范围是[2,22),依题意～121212
xx0可考虑取特殊点P(,1,0)～相应的直线为x,,2～显然该直线与椭圆没有公共点～即直线，2
yy,1与椭圆的公共点的个数为0. 0
答案:[2,22) 0
10((2010?全国?)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线
??交C于点D，且BF,2FD，则C的离心率为________(
解析:不妨设椭圆C的焦点在x轴上～中心在原点～B点为椭圆的上顶点～F(c,0)(c>0)为
??右焦点～则由BF,2FD～得D点到右准线的距离是B点到右准线距离的一半～则D点横坐标
2a0，2×222caa???x,,～则BF,2FD知～F分BD所成的比为2～由定比分点坐标公式得c,～得D23c1，2c
3223c,a～得e,. 3
3答案: 3
三、解答题:(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤()
3,,11(已知，椭圆C经过点A1，，两个焦点为(,1,0)，(1,0)( ,,2
(1)求椭圆C的方程;
(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直
线EF的斜率为定值，并求出这个定值(
解析:(1)由题意～c,1～
22xy可设椭圆方程为，,1. 221，bb
19因为A在椭圆上～所以，,1～ 221，b4b
322解得b,3～b,,(舍去)( 4
22xy所以椭圆方程为，,1. 43
223xy(2)设直线AE的方程为:y,k(x,1)，～代入，,1～ 243
3222,,得(3，4k)x，4k(3,2k)x，4,k,12,0. ,,2
3,,设E(x～y)～F(x～y)(因为点A1～在椭圆上～ EEFF,,2
32,,,k,124,,23所以x,～y,kx，,k. E2EE3，4k2
32,,，k,124,,2又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数～在上式中以,k代替k～可得x,～F23，4k
3y,,kx，，k. FF2
所以直线EF的斜率为
,y，x，，2ky,k，x1FEEFk,,,. EFx,xx,x2FEFE
1即直线EF的斜率为定值～其值为. 2
22xy12(若F、F分别是椭圆，,1(a,b,0)的左、右焦点，P是该椭圆上的一个动点，1222ab
且|PF|，|PF|,4，|FF|,23. 1212
(1)求出这个椭圆的方程;
??(2)是否存在过定点N(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，使OA?OB(其中O为坐
标原点),若存在，求出直线l的斜率k;若不存在，说明理由(
解析:(1)依题意～得2a,4,2c,23～
22所以a,2～c,3～?b,a,c,1.
2x2?椭圆的方程为，y,1. 4
(2)显然当直线的斜率不存在～即x,0时～不满足条件(
设l的方程为y,kx，2～
由A、B是直线l与椭圆的两个不同的交点～ 设A(x～y)～B(x～y)～ 1122
2x2,,，y,1～4由消去y并整理～得 , ,,y,kx，2～
22(1，4k)x，16kx，12,0,
222?Δ,(16k),4(1，4k)×12,16(4k,3),0～
32得k,.? 4
16k12x，x,,～xx,～ 1221221，4k1，4k
?????OA?OB～?OA?OB,0～
???OA?OB,xx，yy,xx，(kx，2)(kx，2) 12121212
2,xx，kxx，2k(x，x)，4 121212
2,(1，k)xx，2k(x，x)，4 1212
16k122,,,,(1，k)?，2k，4 22,,1，4k1，4k
24，4,k，,,0～ 21，4k
2?k,4.?
由??可知k,?2～
所以～存在斜率k,?2的直线l符合题意(
22xy13((2011?山东临沂一模)已知F、F是椭圆C:，,1(a,b,0)的左、右焦点，点P(,1222ab
??2，1)在椭圆上，线段PF与y轴的交点M满足PM，FM,0. 22(1)求椭圆C的方程;
(2)椭圆C上任一动点N(x，y)关于直线y,2x的对称点为N(x，y)，求3x,4y的取值0011111
范围(
解析:(1)由已知～点P(,2～1)在椭圆上～
21?有，,1.? 22ab
??又?PM，FM,0～M在y轴上～ 2
?M为PF的中点～ 2
?,2，c,0～c,2.
22?a,b,2～?
22解??～得b,2(b,,1舍去)～
2?a,4.
22xy故所求椭圆C的方程为，,1. 42
(2)?点N(x～y)关于直线y,2x的对称点为N(x～y)～ 00111
y,y01×2,,1～,x,x01? ,y，y，xx0101 ,2×.,22
,3x4y00x,～,15解得 ,3y，4x00 y,.1,5
?3x,4y,,5x. 110
22xy?点N(x～y)在椭圆C:，,1上～ 0042
?,2?x?2～ 0
?,10?,5x?10～ 0
即3x,4y的取值范围为[,10,10]( 11
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