导数典型例题讲解

导数典型例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 讲解 (二)典型例题讲解: 1(导数的概念 3例1(已知曲线y=上的一点P(0, 0)，求过点P的x 切线方程? 解析:如图，按切线的定义，当x0时，割线, PQ的极限位置是y轴(此时斜率不存在)，因此过P点的切线方程是x=0. 2例2(求曲线y,x在点(2，4)处的切线方程? 2222 2解析:? y=x, ? y=(x，x),x,2xx，(x) =4x，(x),,,,,,000 ,y ? k,. limlim(4)4,，,,x,,,,xx00,x2 ? 曲线y,x在点(2，4)处切线方程为y,4,4(x,2)即4x,y,4,0. 2例3(物体的运动方程是 S,1，t，t，其中 S的单位是米，t的单位是秒，求物体在t,5秒时的瞬时速度及物体在一段时间[5，5，t]内相应的平均速度( , 2222解析:? S=1+t+t, ? S=1+(t+t)+(t+t),(1+t+t)=2t?t+t+(t), ,,,,,, ,S?, 即, ? , vttt()21,，，,vt(5)11,,，,，，,21tt,t 即在[5，5，t]的一段时间内平均速度为(t，11)米,秒 ,, ,S? v(t)=S’, limlim(21)21,，，,,，ttt,,,,tt00,t 即v(5),2×5，1,11. 物体在t,5秒时的瞬时速度是11米,秒( ? 1例4(利用导数的定义求函数y=在x=1处的导数。 x 111,，,x,y,1解析:,y=, ? =, ,,1,x11，,，,xx1(11)，,，，,xx ,y,11? =. limlim,,,,x0,,x0,x2xx1(11)，,，，, 1,2xxsin0,,例5(已知函数f(x)=, 求函数f(x)在点x,0处的导数 x, ,00x,, 12解析:由已知f(x)=0，即f(x)在x=0处有定义，,y=f(0+,x),f(0)=, ()sin,x,x 11,y,y=, ==0, 即 f ’(0),0. ,,xlim,,xsinlimsin,,x0,,x0,x,x,x,x ? 函数f(x)在x,0处导数为0. 1,2(1)1xx，?,,2例6(已知函数f(x)=, 判断f(x)在x,1处是否可导, ,1,(1)1xx，,,,2 12，,，,x[(1)1]1,y12解析:f(1)=1, , ,,，,,xlimlimlim(1)1,,,,,,,,,xxx000,,xx2 1，,，,x(11)1,y,,yy12, ?, limlim,,,limlim,，，，,,,,xx00,,,,xx00,,xx,,xx2 ? 函数y=f(x)在x,1处不可导( 3例7(已知函数 y,2x，3，求 y’. 333223解析:? y=2x+3, ? y=2(x+x)+3,(2x+3)=6x?x+6x?(x)+2(x), ,,,,, ,y,y222? =6x+6x?x+2(x), ? y’==6x. ,,lim,,x0,x,x3例8(已知曲线y,2x，3上一点P，P点横坐标为x,1，求点P处的切线方程 和法线方程( 解析:? x=1, ? y=5, P点的坐标为(1, 5), 2利用例7的结论知函数的导数为y’=6x, ? y’,6, ? 曲线在P点处的切线方程为y,5,6(x,1) |x,1 1即6x,y,1,0, 又曲线在P点处法线的斜率为,， 6 1? 曲线在P点处法线方程为y,5,,( x,1)，即 6y，x,31,0. 62例9(抛物线y,x在哪一点处切线平行于直线y,4x,5, 22()xxx，,,,y解析:? y’==, limlim2,x,,x0,,x0,x,x 令2x,4(? x=2, y,4, 即在点P(2，4)处切线平行于直线y,4x,5. 例10(设mt?0，f(x)在x处可导，求下列极限值 0 ,x()()fxfx，,00fxmxfx()(),,,00t (1) ; (2) . limlim,,x,,x00,x,x 解析:要将所求极限值转化为导数f ’(x)定义中的极限形式。 0 fxmxfx()(),,,fxmxfx()(),,,0000(1) =, limlim()'(),,,,,mmfx0,,x,,x00,x,,mx (其中,m?,x0) , ,x,xfxfx()()，,()()fxfx，,000011ttlim'(),,,fx(2) =. lim00,,x,,x,x0tt,x t 1(其中) ,,x0t fx()例11(设函数f(x)在x,1处连续，且，求f ’(1). ,lim2x,1,x1 解析:? f(x)在x,1处连续，? f(1). lim()fx,x,1 fxfx()() 而又×2=0. ,,,,,,,lim()lim(1)lim(1)lim0fxxxxxxx,,,,1111,,xx11 f(1)=0. ? fxffxf(1)(1)()(1)，,,, ? f ’(1)=(将x换成x,1) ,limlim2,,,,,xx01,,xx1 即f ’(1),2. 2例12(已知抛物线y,ax+bx+c (a?0)，通过点(1，1)，且在点(2，,1)处与直线y,x,3相切，求a，b，c的值( 22axxbxxcaxbxc()()()，,，，,，,，，,y 解析:由y’,=, limlim2,，axb,,x0,,x0,x,x 由函数在点(2，,1)处与直线y,x,3相切, ? 2a×2，b,1， 又函数过点(1，1)，(2，,1), ? a，b，c=1， 4a，2b，c,,1， 由三式解得a,3，b,,11，c=9. ,1,例13(设曲线y,sinx在点A(，)处切线倾斜角为θ，求tan(,θ)的值. 624 ,x,x解析:? y=sinx，? y=sin(x+x),sinx=2cos(x+)sin, ,,22 ,,,xxx2cos()sinsinx，,x,y222? y’=limlimcos()limcos,，,,xx=. lim,,,,,,xxx000,,x0,x,x2,x 2 即y’,(sinx)’,cosx, 33, 令在A点处切线斜率为k=cos=, ? tanθ=, θ?(0, π), 622 31,1tan,,,2,,,743 ? tan(,θ), H， 1tan，4,31，2 例14(设f(x)是定义在R上的函数，且对任何x、x?R，都有f(x，x)=f(x)f(x)，121212若f(0)?0，f ’(0),1，证明:对任何x?R，都有f(x)=f ’(x) 解析:由f(x，x)=f(x)f(x)，令x,x,0得f(0),f(0)f(0), 又f(0)?0 101212 ? f(0)=1 fxffx()(0)()1,,,, 由f ’(0)=1即, limlim1,,,,,,xx00,,xx ? f ’(x), fxxfxfxfxfxfx()()()()()()1，,,,,,,. limlim()lim(),,,,fxfx,,,,,,xxx000,,,xxx 即f ’(x)=f(x)成立( 2(几种常见函数的导数 3例1(已知f(x)=x，求f ’(x) ，f ’(1)，(f(1))’，f ’( 0.5) 32解析:f(x)=x, ? f ’(x),3x, f ’(1)=3, 2 f ’( 0.5),3×(0.5)= 0.75，(f(1))’=(1)’=0. 说明:导函数与函数在某点处导数要弄清区别与联系(后者是导函数的某一函数值，因此在求函数某一点处导数时可先求导函数，再直接求导函数值( 2例2(已知曲线y=x上有两点A(1, 1), B(2, 4)，求 ? 割线AB的斜率;?在[1， 1，x]内的平均变化率;? 过点A处的切线斜率k;? 点A处的切线方程( ,AT 41,解析:? k,,3; AB21, 2,，,,，,,yfxfx(1)(1)(1)1? 平均变化率, ,,,，,2x,,,xxx ? y’,2x , ? y’|,2. 即点A处的切线斜率为K,2. ,x1AT ? 点A处的切线方程为y,1,2(x,1)即2x,y,1,0. 说明:通过本例搞清割线斜率，区间上平均变化率，某点处切线斜率与某点处的导数之间的区别与联系，再次验证了导数与平均变化率之间的关系 ,yy’=. lim,,x0,x 1例3(利用导数定义和导数 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 两种 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 求曲线y=在点P(1，1)处的切线倾斜x 角及该点处的法线方程( 11,,x解析:解法一:f(x)=, y=f(1+x),f(1)=, ,,,,1x11，,，,xx ,y,1? y’|==. limlim1,,x=1,,x0,,x0x,x1，, 即在点P处斜率为k,,1，? 倾斜角为135?， 法线方程y,1,x,1即x,y,0. 11 解法(二):y=f(x),，y’=f ’(x)=, ? y’|,,1. ,x=12xx 即在点P处切线斜率为k=,1，以下同法(一) 说明:求导致方法有两种，一种是利用导致定义法求导数，第二种用导数公式，要注意题目 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 ，若无声明，用最简单的方法即可( 3例4(已知曲线y=上的一点P(0，0)，求过点P的切线方程. x 133解析:由y=, ? y’=, 在x=0处导数不存在，由图形知 x()'x,323x 过P点的切线方程是x=0. 3,,例5(设曲线y,cosx在A(，)点处的切线倾斜角为θ，求cot(,θ)的值 642 ,,11解析:y=cosx, y’=,sinx, x=时, k=,sin=,, ? tanθ=,， 6622 11,11tan1，,,2,,,? cot(,θ)=. 1,1tan3,4,tan()1,，,42 3例6(求曲线y,x在点(3，27)处的切线与坐标轴所围成的三角形面积( 32 解析:? y=x, ? y’=3x, y’|=27, x=33? 曲线 y=x在点(3，27)处的切线方程为y,27,27(x,3), 即y,27x,54. 其与x轴，y轴交点分别为(2，0)，(0，,54) 1 ? 切线与坐标轴围成的三角形面积为 S=×2×54,54. 22例7(在抛物线y,x上取横坐标为x,1及x,3的两点，作过这两点的割线，12 问该抛物线上哪一点的切线平行于这一割线, 解析:已知两点A(1，1)B(3，9)，割线斜率为k=4, AB ? y’,2x，令y’=2x,4得x,2, 即在点(2，4)处切线平行于这一割线( 3(函数和、差、积、商的导数 例1(求下列函数的导数: tanx212 ? y=3x，xcosx;? y=; ? y=xtanx,;? y=. 1xcosx1，x 解析:? y’=6x+cosx,xsinx; 2(tan)'tan()'sectanxxxxxxx,,,,? y’=; ,22xx xxsin2,(cossin)cos(sin2)(sin)xxxxxxx，,,,,,? y=, ? y’= 2cosxcosx sin(cos2)xxx,， =. 2cosx ,11x1? y=, y’=. ,,,,122(1)(1)xx，，11，，xx 3例2(已知函数f(x)=x,7x+1，求f ’(x)，f ’(1)，f ’(1.5). 132 解析:f(x)=x,7x+1, ? y’= f ’(x)=3x,7, f ’(1)=,4，f ’(1.5)=,. 4 注意:导函数与导数的区别与联系，函数在某一点的导数是导函数在这一点 处的函数值( 432例3(已知函数y,x，ax,a的导数为0的x值也都使y值为0，求常数a的3 值( 222解析:y’=3x+2ax, 令y’=0, 则3x+2ax=0, x=0, x=,a, 123 4当x=0时，y=0=,a，? a=0，即a,0满足条件, 3 284432 当x=,a时(y,0= 得a,0或a,?3 ,，,aaa32793 检验知a,?3不满足条件， ? 常数的值为0. 2例4(曲线y,,x，4x上有两点A(4，0)，B(2，4)，求? 割线AB的斜率k; AB ? 过点A处的切线斜率k;? 点A处的切线方程。 A 40,解析:? 割线AB的斜率k==,2; AB24, ? y’=,2x+4，? y’|=,4，即k=,4; x=4A 过A点的切线方程为y,0,,4(x,4)，即 y,,4x，16. ? 例5(已知F(x)=f(x)，g(x)，就下列两种情形判断F(x)在x,x处是否可导, 0 ? f(x)在x,x处可导，g(x)在x,x处不可导( 00 f(x)，g(x)在x,x处均不可导( ?0 解析: ? F(k)在x,x处不可导( 0 假设F(x)在x,x处可导， 由F(x)=f(x)，g(x), ?g(x),F(x),f(x). 0 ? f(x)在x,x处可导，? g(x)在x=x处可导，与条件g(x)在x,x处不可000导矛盾， ? F(x)在x,x处不可导( 0 ? F(x)在x,x处不一定可导( 0 11如设 f(x)=sinx+, g(x)=cosx,, 则f(x)，g(x)在x,0处均不可导， xx 但F(x)=f(x)+g(x),sinx，cosx在x,0处可导( 1 另:若(g(x)=tanx+上，在x,0处不可导， x 2 F(x)=f(x)+g(x)=sinx+tanx+在x,0处也不可导( x3例6(曲线y,x，x,1上求一点P，使过P点切线与直线y=4x,7平行( 32 解析: y’=(x，x,1)’,3x，1， 2 由过P点切线与直线y,4x,7平行， 令3x，1,4得x,?1， 当x=1时，y=1，此时切线为y,1,4(x,1)，即y,4x,3与直线y,4x,7平行，? P点坐标为(1，1)。 当x,,1时，y,,3，此时切线为y，3=,3(x，1)，即y,4x，1也满足条件，? P点坐标为(,1，,3). 综上得P点坐标为(1，1)或(,1，,3). 例7(证明:过抛物线y,a(x,x)(x,x), (a?0，x,x)上两点A(x，0)，B(x，1212120)的切线倾斜角互补( 解析: y’=2ax,a(x+ x). 12 ? , 即k=a(x,x), , 即k=a(x,x), yaxx'|(),,yaxx'|(),,112221xx,12xx,2111 ? k=,k，? 两切线倾斜角互补( 12 例8(已知曲线y=f(x)及y=f(x)sinax，(a?0)，其中f(x),0，且为可导函数，求证: 两曲线在公共点处彼此相切( , 解析:由f(x)=f(x)sinax, f(x)>0，? sinax=1，ax=2kπ+ (k?Z), 2 ,,2k，2k，,,22 ? x=，设曲线交点(x, y)， 即x=. 000aa 又两曲线y=f(x)，y’=f ’(x)，y=f(x)sinax，y’=f ’(x)sinax+a?cosx?f(x) 1112 ,,, , yfx'|'(),yfxkafxkfx'|'()sin(2)()cos(2)'(),，，，,,,10xx,2000xx,0022 ? k=k，即两曲线在公共点处相切. 1232例9(已知直线y,kx与曲线y,x,3x，2x相切，求k的值( 2323232解析:由y’=3x,6x+2=k, 又由kx=x,3x+2x，? 3x,6x+2x=x,3x+2x, 3132 即2x,3x,0得x,0或x=(? k,2或,( 1224 4(复合函数的导数、对数函数与指数函数的导数 223例1(函数y,(sinx)是由函数y, ，u, ，v= 三个函数复合而成( 223解析:答案分别为:y=u, u=sinv. v=x. 例2(求下列函数的导数: 122323254，x3? y=(x+2x);? y=;? y=;? y,(sinx); axbxc，，e cos5x3n+2 ? y,ln(x，);? y,xligx;? y=;? y=x, (x?R, n?R). 1，x3sin2x232222 解析:? y=(x+2x)， y’=3(x+2x)?(2x+2)=6(x+1)(x+2x). 22254，x54，x54，x? y=, y’= ?(8x)=8x?. eee 2,13223 ? y=, y’=?(2ax+b). axbxc，，()axbxx，，3 122,12cosxx22233 ? y=(sinx), y’=?cosx?2x=. (sin)x22333(sin)x 12x12? y,ln(x，), y’==. 1，x,，(1)2221，xxxx，，，121 13232223? y,xligx, y’=3x?ligx+x?lige=3xligx+xlige=xlig(ex). 333333x cos5x? y=, sin2x (cos5)'(sin2)cos5(sin2)'5sin5sin22cos5cos2xxxxxxxx,,,,y’=. ,22(sin2)(sin2)xx 11nnlnlnxnnxnxlnn,1? y=x=, y’==n??x=. ()ee,en,,nxxx 说明:本例集中训练常见函数求导公式，导数的四则运算法则，复合函数的 求导法则等，这些要反复熟记? 22,()()xaxbaxb,,??例3(求函数f(x)=的导数。 ,0xaxb,,或, 2()()[()()]xaxbxbxaaxb,,,，,??,解析:f ’(x)= , ,0xaxb,,或, 2()()(2)xaxbxabaxb,,,,??,? f ’(x)= ,0xaxb,,或, 例4(若f(x)=x，ln(x,5)，g(x),ln(x,1),解不等式f ’(x)>g’(x). 11解析:f ’(x)=1+, g’(x)=, 由f ’(x)>g(x)，有 x,1x,5 2(3)x,111+>, 即, ? x>5或x<1. ,0(5)(1)xx,,x,1x,5 又两函数定义域为x>5, 所以，不等式f ’(x)>g’(x)的解集为(5，，?). 说明:求导数有关问题时还要注意原函数定义域( 例5(证明:可导奇函数的导数是偶函数。 解析: 法一:定义法: 设f(x)为可导奇函数，则f(,x),,f(x), fxxfxfxxfx()()[()()],，,,,,,,,? f ’(,x)= limlim,,,,,xx00,,xx fxxfx()(),,,==f ’(x). lim,,x0,,x 即f ’(,x)=f ’(x)(?导函数为偶函数. 法二:复合函数求导法: 设f(x)为可导奇函数，则f(,x),,f(x)，两边对x求导 得:[f (,x)]’=,f ’(x) 即 ,f ’(,x),,f ’( x), ? f ’(,x),f ’(x)(? f ’(x)为偶函数，即命题成立( 同理可证:可导偶函数的导数是奇函数( 例6(石头落在平静水面上，产生同心波纹，若最外一圈波半径增大速度总是 am/s，问在b秒末波扰动水面积的增大速度是多少, 解析:设b秒末最外一圈波纹的半径为R，则R=ab, 2 ? S,πR，又 R’,a， 2 ? S’|=2πR?R’(t)|=2πab. R=abR=ab22 即b秒末波扰动水面积的增大率为2πab m/s. 3例7(将水注入锥形容器中，其速度为4米/分，设锥形容器的高为8米，顶口直径为6米，求当水深为5米时，水面上升的速度((如图) 解析:设注入水t分钟后，水深为h米， 3由相似三角形对应过之比可得水面直径为h米， 4 313,23这时水的体积温V=π(h)?h=，由于水面高h3864 度h随时间t而变化，因此h是t的函数h,h(t)，由此可得水的体积关于时间t 39,,32的导数为V’,V’?h’，? V’=，hhhh,,,()'''thtt tt64643 由假设，注水的速度为 4米,分( 9,464，2 ? Vt’==4, 即h’=,hh,'t t2,9h64 256 ? 当h,5米时，水面上升的速度为h’|=(米/分). h=5,225 5(函数的单调性和极值 x1(求函数y,e,x，1的单调区间 xxx解析:y’=(e,x+1)’=e,1, 由e,1>0得x>0，即函数在(0, +?)上为增函数; x由e,1<0得x<0，即函数在(,?，0)上为减函数( ? 函数的单增区间为(0，，?)，单减区间为(,?，0). 2例2(证明:函数y,在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，2)上单调递2xx, 减( 1,x 解析:? y’=, 22xx, 当x?(0，1)时，y’>0，? f(x)在(0，1)上递增; 当x?(1，2)时，y’<0，? f(x)在(1，2)上递减( 例3(讨论函数y=x,2sinx在(0，2π)内的单调性. ,,5,5,? y’=1,2cosx, x?(0, 2π)，由y’>0，得0, x<, 又函数在(0, 1)上都有意义， a 2? ?1，? a?2, a 11lg(2)lg(2),,axax? y’=， aaeaaa,,,,,,,,lnlog()lg102,ax2x,a ,,,lg0lg0aa,,,或由y’<0，得， 22,,xx,,,,00,,aa,, 22若 00，则x>>2与定义域x?(0, 1)矛盾， x,aa 22? 只有a>1，此时lga>0, <0, x<<2, ? 10时，f ’(x) =<0, 即f(x)在(0，，?)上是递减函数， 2(1)，x 又当x,0时，f(0),0(? f(x)0时，g’(x) 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式. 322解析:? f(x),ax，bx，cx，? f ’(x)=3ax+2bx+c, x?(,?, +?)， 由已加f(x)在x=一1与x,1时有极值( ? f ’(1),f ’(,1),0， 又f(1),,1， 320abc，，,,31,320abc,，,? ，解得 a=, b=0, c=,. ,22,abc，，,,1, 313? f(x)=x,x. 2222例9(已知f(x)=x，c，且g(x)=f[f(x)]=f(x，1)，设φ(x),g(x),λf(x)，问:是否 存在实数λ，使φ(x)在(,?，,1)上是减函数，并且在(,1，0)上是增函数( 22222解析:由f[f(x)],f( x，1)得 (x，c)，c,(x，1)，1，得c,1， 42? φ(x),g(x),λf(x),x，(2,λ)x，(2,λ)是连续函数， 2φ’(x),2x(2x，2,λ) 由φ(x)在(,?，,1)上是减函数，且在(,1，0)上是增函数， ? φ’(x)|=φ’(,1)=0，? λ=4， ,x=1 即存在实数λ,4，使φ(x)满足条件( 说明:本题若用函数单调性定义太繁～ 6(函数的最大值和最小值 例1(求函数f(x),5x，2的值域. xx，,,34 x，30?,解析:由得f(x)的定义域为,3?x?4，原问题转化为求f(x)在区,40,x?, 间[,3, 4]上的最值问题。 11 ? y’,f ’(x),, 5，， xx，,324 在[,3，4]上f ’(x),0恒成立, ? f(x)在[,3，4]上单调递增( ? 当x,,3时y,,15,， 当x=4时y=20，2， 77minmax 函数的值域为[,15,，20，2]. ?77 2332例2(设f(a)，f(,1)0，? f(x)的最大值为f(0),b,1， 2 1132 又f(,1),f(a)=(a,3a,2)=(a+1)(a,)<0， 22 3366 ? f(x)|=f(,1)，? ,a,1+b=,a=,, ? a=，b=1. min2223例3(若函数f(x)在[0，a]上单调递增且可导，f(x)<0，f(x)是严格单调递增的，求fx()在(0，a]上的最大值。 x fxfxxfx()'()(),,解析:，? f(x)是严格单调递增的， []',2xx ? f ’(x)>0，? f(x)<0，x>0，?f ’(x)?x,f(x)>0， fxfxxfx()'()(),,fx()? >0，? 在(0，a]上是增函数。 []',2xxx fx()fa()? 在(0，a]上最大值为( xa234例4(设g(y),1,x，4 xy,y在y?[,1，0]上最大值为f(x)，x?R， ? 求f(x)表达式;? 求f(x)最大值。 2解析:g’(y)=,4y(y,3x), y?[,1, 0]， 2当x?0时，g’(y)?0，? g(y)在[,1, 0]上递增, ? f(x)=g(0)=1,x. 1当,0，在[,1，3x]上恒成立，在(3x，0)上恒成立， 324? f(x)=g(3x)=1,x+27x. 12当x?,时，g’(y)，g(y)在[,1，0]上递减, ? f(x)=g(,1)=,x,4x, 3 ,2,10,xx? ,1,24? f(x)=. 1270,，,,,xxx,3, 1,2,,,xxx4?,3, ? 当x?0时，f(x)?f(0)=1， 1111112 当x?(,，0)时，f(x)=27[(x,),]+1 时f ’(x),0， ()()22 1a5? x,是唯一的极值点，是极小值点且是最小值点. ()2 要使f(x)?20恒成立，? f(x)|?20, min 122aaa5555 ? , 解得a?64. fa(())3()20,,，,,?3222a55()22 例6(圆柱形金属饮料罐的表面积一定时，应怎样制作，其容积最大, 2解析:设圆柱的高为h，底面半径为R，则S=2πRh+2πR， 22SR,21,SR,2,22? h=, ? V(R),S?h=, ,,,RSRR,,底面22R2R,, 12222 由V’(R)=0得S,3πR=0得S=6πR，? 6πR=2πRh+2πR，? h=2R， 2 即当罐的高和底面直径相等时容积最大( 例7(已知三次函数f(x)=x(x,a)(x,b)，其中0,a,b( (1)设f(x)在x,s及x=t处取最值，其中s,t，求证:0,s,a,t,b; (2)设A(s，f(s))，B(t，f(t))，求证:AB中点C在曲线y,f(x)上; (3)若a，b,2，求证:过原点且与曲线y,f(x)相切的两直线不可能垂2 直。 2 解析:(1)f ’(x),3x,2(a，b)x+ab， 由f(x)在x,s和x,t处取最值，? s，t分别是方程f ’(x),0的两实根( 2? f ’(0)=ab>0，f ’(a),3a,2(a，b)a+ab=a(a,b)<0， 2f ’(b),b,ab=b(b,a)>0，? f ’(x),0在(0，a)及(a，b)内分别有一个实根， ? s0，a+b<2，? kk=[,(a+b)+ab], 2124 12222Ab=(ab),(a+b)+ab>(ab),2ab=(ab,1),1?,1 4 ? kk?,1，即两切线不可能垂直。 12