基本不等式及其应用

基本不等式及其应用 基本不等式及应用 王少泉 2011.09.06 一、知识归纳: 1(基本不等式: a，ba,0,b,0?，(当且仅当时，取等号) a,b,ab2 a，bab2变形:，， ，,2(),aba，b,2abba2 22a,b,Ra，b,2ab?重要不等式:如果，则(当且仅当时，a,b ,取“”号) 2(最值问题: 已知是正数， x,y ?如果积是定值P，则当时，和x，y有最小值; xyx,y2P 12?如果和x，y是定值S，则当时，积有最大值. x,yxyS4 利用基本不等式求最值时，要注意变量是否为正，和或积是否为 定值，等号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不 等式的条件。 x，yxy3(称为x,y的算术平均数，称为x,y的几何平均数。 2 abc，，3,abc4((文科不作 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 )三元基本不等式:若，则 abcR,,,，3二、学习要点: 1(掌握基本不等式的结构特点，利用基本不等式可以求涉及和、积 结构的代数式的最值，难点在于定值的确定。 2(基本不等式的应用在于“定和求积、定积求和”。必要时可以通过 变形(拆补)、运算(指、对数等)构造定值。 3(只有在满足“一正、二定、三等”条件下，才能取到最值。 1 4(基本不等式的主要应用有:求最值、 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 不等式、解决实际问题。 三、例题分析: 4例1(已知，则的最大值是________. 2，3x，x,0x x,0,y,02x，8y,xy,0例2(已知，且， 求(1)的最小值;(2)的最小值。 x，yxy 例3(求下列函数的最小值 2x，7x，10y,(x,,1)(1) x，1 x,0,y,03x，4y,12,lgx，lgy(2)已知，且求的最大值及相应的，yx的值。 2例4. 围建一个面积为360m的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为(单位:x元)。 (1)将总造价y表示为的函数; x (2)试确定,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总x 费用。 2 四、练习题: ab2，2a,b,R1(设，且，则的最小值是 a，b,3 A(6 B( C( D( 264222 2(下列不等式中恒成立的是 2214x，2x，4A( B( C( D( x，,22,3x,,2,2,222xxx，5x，2 3(下列结论正确的是 11当x,0lgx，x，,2,2 A(当x,0且x,1时，时， B( lgxx 11当x,2时,x，0,x,2时,x, C(的最小值为2 D(当无最xx大值 1a()()9xy，，,4(对任意正实数，y恒成立,则正实数的最小值为 xaxy A(2 B(4 C(6 D(8 11ab,,0,05(已知，则的最小值是 ，，2abab A(2 B( C(4 D(5 22 mM6(函数的最大值为，最小值为，则的值是 fxxx()13,,，，mM 2311A( B( C( D( 2242 7(下列函数中最小值是4的是 441，x1,xy,sinx，y,x， A( B( C( y,2，2xsinx 3 12D( y,x，，3,x,02x，1 11abab,,0,0.8(设若是与的等比中项，则，的最小值为 333ab 1 A( 8 B(4 C( D(1 4 222ax,by，2,0(a,0,b,0)9(若直线过圆的圆心，则x，y，2x,4y，1,0的最大值是 ab 11A( B( C(1 D(2 42 22a,2a，1,a，4a,2p,10(已知，，，则 a,2q,2a,2 p,qp,qA( B( C( D( p,qp,q (m,n)x，y,111(点在直线位于第一象限内的图象上运动，则 的最大值是 logm，logn22 ____________. 112(函数的最小值是_____________. y,log(x，，5)(x,1)3x,1 2y，xyz,，,23013(已知，，则的最小值 . xyzR,,,xz 1171a,0,b,0ab，,14(已知ab,，且a，b,1，则下列不等式?;?;4ab4 11?;?。其中正确的序号是，,22a，b,2a2b ________________. 22a,0,b,0,15(已知且2a，b,1，求的最大值。 S,2ab,4a,b 4 16(经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量(千辆/小时)与汽车的平均速度(千米/小时)之间的函数关yv 920v系为:。 yv,,(0)2vv，，31600 (1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大,最v 大车流量为多少,(精确到千辆/小时) 0.1 (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内, 17(某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的 后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙 砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元。 yfx,()(1)设铁栅长为y米，一堵砖墙长为米，求函数的解析x 式; S(2)为使仓库总面积达到最大，正面铁栅长应为多少米, x 5 18(周长为12的矩形围成圆柱(无底)，当圆柱的体积最大时，圆柱 1:2的底面周长与圆柱的高的比为多少, 6 (二)基本不等式及应用参考答案 三、例题分析: 4例1(已知，则2，3x，的最大值是_________. x,02,43x x,0,y,02x，8y,xy,0例2(已知，且， 求(1)的最小值;(2)x，y的最小值。 xy 82x，8y,xy,0，,1解:(1)由，得， xy 82828x,0,y,0xy,64 又，则1,，,2,,，得， xyxyxy 当且仅当x,y时，等号成立。 8yx，8y,xy,0？x,0？y,2x, (2)法1:由，得， y,2 8y16x，y,y，,(y,2)，，10,18 则 ， y,2y,2 16y,6,x,12(y,2),当且仅当，即时，等号成立。 y,2 82x，8y,xy,0，,1法2:由，得， xy 7 822x8y2x8y(，),(x，y),10，，,则=。 x，y10，2,,18xyyxyx例3(求下列函数的最小值 2x，7x，10y,(x,,1)(1) x，1 x,0,y,03x，4y,12,lgx，lgy(2)已知，且求的最大值及相应的x，y的值。 解:(1)换元法，设，，则， t,x，1？x,,1t,0x,t,1 22(t1)7(t1)10,，,，t，5t，44y,, 且, t，，5,4，5,9ttt 4当且仅当，即时，等号成立。则函数的最小值是9。 t,t,2x,1t 113x，4y2x,0,y,03x，4y,12, (2)由，且得 xy,(3x)(4y),(),312122 3？lgx，lgy,lgxy,lg33x,4y,6 ，当且仅当，即，y,时， x,22 3lgx，lgylg3等号成立。故当，y,时，的最大值是 x,22 2例4(围建一个面积为360m的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为(单位:x元)。 (1)将总造价y表示为的函数: x (2)试确定,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最x 小总费用。 解:(1)如图，设矩形的另一边长为 m a yxxaxa,，,，,,，,45180(2)1802225360360则 8 360由已知,得, ax,360a,x 2360所以 yxx,，,,225360(0)x 23602(II) xx,？，,，,0225222536010800x 22360360？y,225x，,360,10440.当且仅当=时，等号成立. 225xxx 即当时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.x,24 四、练习题: 1~10: B(A(B(B(C( C(C( D( A(A( 解析: 1a()()9xy，，,4(解析 不等式对任意正实数，恒成立， yxxy yax1，，，a则??9，? ?2或?,4(舍去)， aaaa，，21xy 所以正实数的最小值为4，选B( a 1111，，,，,，,2222()4ababab5(解析 因为当且仅当ababab 11ab,，且 ，即时，取“=”号。 ,ab ,211(______12( ____3______.13( __ 3____.14( _??? ?_____. 22a,0,b,0,2a，b,115(已知且，求的最大值。 S,2ab,4a,b ？a,0,b,0,2a，b,1,解: 9 222 4a，b,(2a，b),4ab,1,4ab？ 12ab,且，即，ab, 1,2a，b,22ab48 2,122, ,2ab,(1,4ab)？S,2ab,4a,b,2ab，4ab,12 11当且仅当a,,b,时，等号成立。 42 16(经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流 量(千辆/小时)与汽车的平均速度(千米/小时)之间的函yv 920v数关系为:。 yv,,(0)2vv，，31600 (1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大,最v 大车流量为多少,(精确到千辆/小时) 0.1 (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内, 17(某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的 后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙 砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元。 10 yfx,()(1)设铁栅长为米，一堵砖墙长为米，求函数的解析yx 式; (2)为使仓库总面积达到最大，正面铁栅应设计为多长, S S,xy17(解:(1)因铁栅长为米，一堵砖墙长为米，则顶部面积为 yx 40x，2，45y，20xy,3200 依题设，，则3204,x(080),,x， y,29x， 3204,x故 fxx()(080),,,29x， 23204xx,S,xy(080),,x(2), 29x， 1令，则 tx,，29xtt,,,(9),92 2160(9)(9)1699tt,,,，则St,,,，178() ,,，,17821699100tt 当且仅当t,39，即x,15时，等号成立 所以当铁栅的长是15米时，仓库总面积S达到最大，最大值 2100m是 解法二: 40x，2，45y，20xy,3200S,xy依题设，，由基本不等式得 3200,240x,90y，20xy,120xy，20xy， ,120S，20S ，即，故，从而(S,10)(S，6),0？S，6S,160,0S,10S,100 S所以的最大允许值是100平方米， 40x,90yxy,100x,15取得此最大值的条件是且，求得，即铁栅的长是15米。 18(周长为12的矩形围成圆柱(无底)，当圆柱的体积最大时，圆柱 11 的底面周长与圆柱的高的比为多少, x解:设矩形长为，宽为，成圆柱的底面半径，休积为 yVr xxy，,6yx,,6则有，，， rxr,2,？,2, x1222则，其中 06,,x,,,,,,Vryyxx()(6)24,, 1168xx3则 ,,,,,,,Vx(6)(),,,223 xy,2当且仅当，即时，等号成立。这时 x,4,,6x2 ？,,2::2:1,ryxy，即圆柱的底面周长与圆柱的高的比为 12