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多元函数微积分.doc

多元函数微积分.doc

上传者: Elijah邹兵 2017-10-19 评分 5 0 187 25 848 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《多元函数微积分doc》,可适用于IT/计算机领域,主题内容包含多元函数微积分项目三多元函数微积分实验多元函数积分学(基础实验)实验目的注:Integrate命令先对后边的变量积分计算三重积分时,命令Integr符等。

多元函数微积分项目三多元函数微积分实验多元函数积分学(基础实验)实验目的注:Integrate命令先对后边的变量积分计算三重积分时,命令Integrate的使用格式与微积分项目三多元函数,NiudownCOMNiudownCOMNiudownCOMNiudownCOM掌握用Mathematica计算二重积分与三重积分的方法深入理解曲线积分、曲面积分的概念和计算方法提高应用重积分和曲线、曲面积分解决各种问题的能力计算重积分的命令lntegrate和NIntegratex例如,计算,输入xydydx,,Integratex*y^,{x,,},{y,,x}则输出又如,计算sin(xy)dydx的近似值,输入,,NIntegrateSinx*y^,{x,,},{y,,}则输出:Integrate命令先对后边的变量积分计算三重积分时,命令Integrate的使用格式与计算二重积分时类似由此可见,利用Mathematica计算重积分,关键是确定各个积分变量的积分限柱坐标系中作三维图形的命令CylindricalPlotD使用命令CylindricalplotD,首先要调出作图软件包输入<<Graphics`ParametricPlotD`执行成功后便可继续下面的工作使用命令CylindricalplotD时,一定要把rz表示成,的函数例如,在直角坐标系中方,程是一旋转抛物面,在柱坐标系中它的方程为因此,输入z,xyz,rCylindricalPlotDr^,{r,,},{t,,Pi}则在柱坐标系中作出了该旋转抛物面的图形球面坐标系中作三维图形命令SphericalPlotD使用命令SphericalPlotD,首先要调出作图软件包输入<<Graphics`ParametricPlotD`执行成功后便可继续下面的工作命令SphericalPlotD的基本格式为SphericalPlotDr,{,,,,,},{,,,,,},,,r,其中r是曲面的球面坐标方程,使用时一定要把球面坐标中的表示成、的函数,,,,例如,在球面坐标系中作出球面xyz,,输入SphericalplotD,{u,,pi},|v,,,pi|,plotpoints>则在球面坐标系中作出了该球面的图形向量的内积用“”表示两个向量的内积例如,输入vecl={al,bl,cl}vec={a,b,c}则定义了两个三维向量,再输入vecvec则得到它们的内积aabbccDxydxdy,其中为由xy,,x,y,所围成的有y,,,(教材例)计算D界区域先作出区域D的草图,易直接确定积分限,且应先对x积分,因此,输入Integratex*y^,{y,,},{x,y,Sqrty}则输出所求二重积分的计算结果,()xy(教材例)计算Dedxdy,其中为xy,,,D如果用直角坐标计算,输入Clearf,rfx,y=Exp(x^y^)Integratefx,y,{x,,},{y,Sqrtx^,Sqrtx^}则输出为,x,eErf,xdx,,,,其中Erf是误差函数显然积分遇到了困难如果改用极坐标来计算,也可用手工确定积分限输入Integrate(fx,y{x>r*Cost,y>r*Sint})*r,{t,,Pi},{r,,}则输出所求二重积分的计算结果,,,e如果输入NIntegrate(fx,y{x>r*Cost,y>r*Sint})*r,{t,,Pi},{r,,}则输出积分的近似值,(xyz)dxdydzz,,x,y,其中由曲面与,,,(教材例)计算,z,xy围成先作出区域,的图形输入g=ParametricPlotD{Sqrt*Sinfi*Costh,Sqrt*Sinfi*Sinth,Sqrt*Cosfi},{fi,,Pi},{th,,Pi}g=ParametricPlotD{z*Cost,z*Sint,z},{z,,},{t,,Pi}Showg,g,ViewPoint>{,,}则分别输出三个图形(图(a),(b),(c))(a)(b)考察上述图形,可用手工确定积分限如果用直角坐标计算,输入gx,y,z=x^y^zIntegrategx,y,z,{x,,},{y,Sqrtx^,Sqrtx^},{z,Sqrtx^y^,Sqrtx^y^}执行后计算时间很长,且未得到明确结果现在改用柱面坐标和球面坐标来计算如果用柱坐标计算,输入Integrate(gx,y,z{x>r*Coss,y>r*Sins})*r,{r,,},{s,,Pi},{z,r,Sqrtr^}则输出,,,,,,,,,,如果用球面坐标计算,输入Integrate(gx,y,z{x>r*Sinfi*Cost,y>r*Sinfi*Sint,z>r*Cosfi})*r^*Sinfi,{s,,Pi},{fi,,Pi},{r,,Sqrt}则输出,,,,,,,,,,这与柱面坐标的结果相同求由曲面,gx,y,,x,yfx,y,,x,y与所围成的空间区域的体积输入Clearf,gfx,y=xygx,y=x^y^PlotDfx,y,{x,,},{y,,}PlotDgx,y,{x,,},{y,,}Show,一共输出三个图形,最后一个图形是图首先观察到,的形状为了确定积分限,要把两曲面的交线投影到平面上输入Oxyjx=Solvefx,y==gx,y,y得到输出,,,,,,,,,,yxx,yxx,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,为了取出这两条曲线方程,输入y=jx,,y=jx,,输出为,,xx,,,,,,,,xx,,,,,再输入tu=Ploty,{x,,},PlotStyle>{Dashing{}},DisplayFunction>Identitytu=Ploty,{x,,},DisplayFunction>IdentityShowtu,tu,AspectRatio>,DisplayFunction>$DisplayFunction输出为图,由此可见,是下半圆(虚线),是上半圆,因此投影区域是一个圆yy设x的解为与,则为的积分限输入xy,yxx,xxvals=Solvey==y,x,,,,,,输出为x,,,x,,,,,,,,,,,,,为了取出,输入x,xx=xvals,,x=xvals,,输出为,这时可以作最后的计算了输入Volume=Integrategx,yfx,y,{x,x,x},{y,y,y}Simplify,输出结果为(教材例)求旋转抛物面在平面上部的面积z,,x,yOxyS先调用软件包,输入<<Graphics`ParametricPlotD`再输入CylindricalPlotDr^,{r,,},{t,,Pi}则输出图利用计算曲面面积的公式,输入S,zzdxdyzy,,DxyClearz,zz=x^y^z=SqrtDz,x^Dz,y^输出为xy,因此,利用极坐标计算再输入z=Simplifyz{x>r*Cost,y>r*Sint}Integratez*r,{t,,Pi},{r,,}Simplify则输出所求曲面的面积,,在zz平面内有一个半径为的圆,它与轴在原点相切,求它绕轴旋转OxzO一周所得旋转体体积先作出这个旋转体的图形因为圆的方程是xz,x,z它绕轴旋转所得的圆环面的方程为,(xyz),(xy)所以圆环面的球坐标方程是输入r,sin,SphericalPlotDSint,{t,,Pi},{s,,Pi},PlotPoints>,ViewPoint>{,,}输出为图这是一个环面,它的体积可以用三重积分计算(用球坐标)输入Integrater^*Sint,{s,,Pi},{t,,Pi},{r,,Sint}得到这个旋转体的体积为,(教材例)求fx,y,z,xy,,其中积分路径为f(x,y,z)ds,LL:x,t,y,t,z,t,,y,注意到,弧长微元,将曲线积分化为定积分,输入ds,xyzdttttClearx,y,zluj={t,t^,t^}Dluj,t则输出x,y,zt对的导数{,t,t}再输入ds=SqrtDluj,tDluj,tIntegrate(Sqrtx^y{x>t,y>t^,z>t^})*ds,{t,,}则输出所求曲线积分的结果:(教材例)求,其中Fdr,LF,xyix(xy)j,r(t),costisintj,,t,,输入vecf={x*y^,x*(x*y^)}vecr={*Cost,Sint}Integrate(vecfDvecr,t){x>Cost,y>Sint},{t,,Pi}则输出所求积分的结果,求锥面xy,z,z,xy,x与柱面的交线的长度先画出锥面和柱面的交线的图形输入g=ParametricPlotD{Sinu*Cosv,Sinu*Sinv,Sinu},{u,,Pi},{v,,Pi},DisplayFunction>Identityg=ParametricPlotD{Cost^,Cost*Sint,z},{t,,Pi},{z,,},DisplayFunction>IdentityShowg,g,ViewPoint>{,,},DisplayFunction>$DisplayFunction输出为图输入直接作曲线的命令ParametricPlotD{Cost^,Cost*Sint,Cost},{t,Pi,Pi},ViewPoint>{,,},Ticks>False输出为图为了用线积分计算曲线的弧长,必须把曲线用参数方程表示出来因为空间曲线的投影曲线的方程为xy,x,它可以化成,y,costsint,再代入锥面方程x,costxy,z,得,,z,costt,,,,,因为空间曲线的弧长的计算公式是t,,,,s,xtytztdt,t因此输入Clearx,y,zx=Cost^y=Cost*Sintz=Costqx={x,y,z}IntegrateSqrtDqx,tDqx,tSimplify,{t,Pi,Pi}输出为Elliptice这是椭圆积分函数换算成近似值输入N输出为(教材例)计算曲面积分,(xyyzzx)dSz,xy,其中为锥面被,,,柱面所截得的有限部分xy,x注意到,面积微元,投影曲线的极坐标方程为xy,xdS,zzdxdyxy,,r,cost,,,t,,将曲面积分化作二重积分,并采用极坐标计算重积分输入Clearf,g,r,tfx,y,z=x*yy*zz*xgx,y=Sqrtx^y^mj=SqrtDgx,y,x^Dgx,y,y^SimplifyIntegrate(fx,y,gx,y*mj{x>r*Cost,y>r*Sint})*r,{t,Pi,Pi},{r,,Cost}则输出所求曲面积分的计算结果计算曲面积分,xyx,a其中为球面xdydzydzdxzdxdy,,,,的外侧可以利用两类曲面积分的关系,化作对曲面面积的曲面积分这里Ands,,,,,,,A,x,y,z,n,x,y,zadv,rsin,drd,d,,因为球坐标的体积元素注意到在球,面r,a上,取后得到面积元素的表示式:dr,ds,asin,d,d,,,,,,,,,,把对面积的曲面即直接化作对的二重积分输入,,,ClearA,fa,dsA={x^,y^,z^}fa={x,y,z}ads=a^*SinuIntegrate(Afa{x>a*Sinu*Cosv,y>a*Sinu*Sinv,z>a*Cosu})*dsSimplify,{u,,Pi},{v,,Pi}输出为a,如果用高斯公式计算,则化为三重积分,,其中为xyz,axyzdv,,,,采用球坐标计算,输入<<Calculus`VectorAnalysis`执行后再输入SetCoordinatesCartesianx,y,z(*设定坐标系*)diva=DivA(*求向量场的散度*)Integrate(diva{x>r*Sinu*Cosv,y>r*Sinu*Sinv,z>r*Cosu})*r^Sinu,{v,,Pi},{u,,Pi},{r,,a}输出结果相同,,计算ysinx,xsinydydx,,计算下列积分的近似值:,,xy()cosx,ydydx()sinedydx,,,,计算下列积分xxzx()ey,zdydzdxarctan(xy)dydx(),,,,,z,x交换积分次序并计算下列积分x()xcosydydxedxdy(),,,,xy用极坐标计算下列积分:yyy()dydx()dxdy,,,,xyxy,xy用适当方法计算下列积分:z,z,z,xy其中是由与围成dv,,,,()xyz,()(xyz)dv,,其中是xyz,,,,,求fx,y,z,xy,的近似值其中,路径fx,y,zds,LL:,z,t,,t,x,t,y,t求F,ij,rt,costisintj,,t,,,其中Fdr,Lxy用柱面坐标作图命令作出z,xy被柱面所围部分的图形,并求出其面积xy,,xyzdxdy,求曲面积分其中为球面的下半部分的下侧xyz,a,,,求曲面积分xyzdS,,其中为球面上的部分xyz,az,h(,,a),,,

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