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蝴蝶定理.doc蝴蝶定理.doc 一、蝴蝶定理的发展历程简介: 蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题,刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶,便以此命名,定理内容:圆O中的弦PQ的中点M,过点M任作两弦AB,CD,弦AD与BC分别交PQ于X,Y,则M为XY之中点。 如图,过圆中弦AB的中点作M引任意两弦CD和EF,连结CF和ED,分别交AB于P、Q,则PM,QM 由于此图形似只蝴蝶飞舞,故此定理因此而得名:蝴蝶定理。此定理早在1815年在英国杂志《男士日记》上见刊,征求证明,有意思...

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蝴蝶定理.doc 一、蝴蝶定理的发展历程简介: 蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ,刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶,便以此命名,定理内容:圆O中的弦PQ的中点M,过点M任作两弦AB,CD,弦AD与BC分别交PQ于X,Y,则M为XY之中点。 如图,过圆中弦AB的中点作M引任意两弦CD和EF,连结CF和ED,分别交AB于P、Q,则PM,QM 由于此图形似只蝴蝶飞舞,故此定理因此而得名:蝴蝶定理。此定理早在1815年在英国杂志《男士日记》上见刊,征求证明,有意思的是,迟到1972年以前,人们的证明都并非初等,且十分繁琐。然近些年来,证明者不乏其人,使得这只翩翩起舞的蝴蝶栖止不定,变化多端。笔者结合自己的证明和收集别人的研究,整理证法十种,以飨读者。 证法1 (证?POM,?QOM) 作CF、DE的弦心距OG、OH,连OM,则OM?AB且OGPM四点共圆。 ??POM,?PGM…?。同理,?QOM,?QHM…? ??MFC?MDE,?MF:FC,MD:DE ?MF:2FG,MD:2DH,?MF:FG,MD:DH ?F,?D ??MFG??MDH,??MGF,?MHD…? 由???得:?POM,?QOM ?PM,QM 证法2 (作?PMD′??QMD) 作C关于直线OM的对称点C,连C,M交?O于D,,则AC弧,BC,弧,MD,,MD, ?PMD,,?QMD ?CPM,0.5AF弧,0.5BC,C弧,0.5AF弧,0.5AC弧,0.5CC,弧,0.5FCC,弧,?FD,M 从而PFD’M四点共圆。 ??PD’M,?PFM,?D ?在?PD’M与?QDM中 ?PD’M,?D MD’,MD ?PMD’,?QMD ??PMD’??QMD ?PM,QM 证法3 (利用梅氏定理) 延长CF、ED相交于G点。 ?直线CD截三角形GPQ三边于C、M、D三点 证法4 (面积法) 证法5 (面积比的积为1) 如图,设四个三角形的面积分别为a、b、c、d 证法6(利用正弦定理) 证法7 (引用例题结论) 7(1)ABCDACBDM 如图圆内接四边形的对角线、交于点,则 (右边比中的前项为有公共顶点的弦的端点与对角线交点的线段) AMEABCBEMCABCCDAAME 证明:作?,?,则、、、四点共圆。???, CE123456CDACME 连,则?,?,?,?,?,?,????,? 两式相乘得: AP/PBBQ/AQAM/BM 下面我们引用此例题的结论,以,,建立比例 CAAFFBBCAFBC 连、、、得圆内接四边形,则 证法8 (解析法) 如图,建立平面直角坐标系 设?O的方程为 222x,(y,a),R 设CF:y,mx, ED:y,nx 于是?O和直线CF、ED组成了二次曲线系 其方程为: 222μ[x,(y,a),R],λ[(y,mx)(y,nx)],0 令y,0,知P、Q两点的横坐标x、x满足方程: 12222(μ,λmn)x,μ(a,R),0 ?x的一次项系数为0,?x,x,0 12 ?MP,MQ 证法9(三角函数与相似综合) 证法10 (解析法) 如图10建立平面直角坐标系. 222设CD:y,mx,EF:y,nx,圆:(x,a),y,R 蝴蝶定理: 如图,点P为圆O的弦AB的中点,过点P任意作两条弦CD,EF,又连接CF,ED分别 交AB于点M,N.则:PM=PN. 证明:如图,作点C的对称点K,连结EK,OP则:OP?MN,CK?AB,又?CPO=?KPO, ??NPK=90?-?KPO=90?-?CPO =?MPC=?PCK=?DCK=?DEK=?NEK,?点PEKN四点共圆, ??PKN=?PEN=?FED=?DCF=?PCM, 又PK=PC, ?NPK=?MPC,??NPK??MPC(ASA),?PM=PN.证毕~ 1990全国冬令营数学选拔赛试题 1969年,查克里恩从订立的定理考虑,给出蝴蝶定理的逆定理: 任何具有蝴蝶性质的凸闭曲线必定是椭圆。 1985年,蝴蝶定理传入中国。 接着,中国科学院成都分院的杨路教授在论文中指出:将蝴蝶定理的弦AB的中点M推广到弦AB上任一点,有蝴蝶定理的坎迪形式。 同年,我国数学教育者马明在论文中指出,将蝴蝶定理弦AB上的M点,拓广到弦AB外,蝴蝶定理仍然有成立之处。 接下来,蝴蝶定理的研究出现了一个高潮,人们发现,不仅仅是圆,任何二次曲线中蝴蝶定理都有适用的形式,例如,椭圆中的蝴蝶定理。 1990年,出现了筝形蝴蝶定理,并发现,蝴蝶定理在退化的二次曲线中仍然适用。 关于蝴蝶定理的证明,仅在初等几何的范围内,就有多达50多种证法,譬如综合法、面积法、三角法、解析法、相似法、向量法、全等三角形法等等。 至于高等几何的证明方法也有很多种,其中最为简洁的,当推用射影几何的方法,在下文中将会给予介绍。 蝴蝶定理的60多种证明方法,而且,还给出了蝴蝶 定理的各种变形与推广.令人欣喜的是这只美丽的 蝴蝶 终于在2003年飞到我国的高考(北京)试卷里: M(0,r)18((本小题满分15分)如图,已知椭圆的长轴与轴平行,短轴在轴上,中心yAABBx1212( b,r,0 (?)写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率; (?)设直线与椭圆交于,(),直线与椭圆次于,G(x,y)y,kxC(x,y)D(x,y)y,0y,kx331112222 kkxxxx134112()(求证:; ,H(x,y)y,0444x,x,xx1234 C,D,G,HQ|OP|,|OQ|P(?)对于(?)中的在,设交轴于点,交轴于点,求证:(证CHGDxx 或垂直于轴的情形) 明过程不考虑CHGDx y B2H D M AA21QPxO CB1 18(本小主要考查直线、椭圆和双曲线等基本知识,考查分析问题和解决问题的能力.满分15分. 22x(y,r),,1 (?)解:椭圆方程为 22ab 2222F(,a,b,r)F(a,b,r) 焦点坐标为, 21 22,ab,e 离心率 a 22x(y,r),,1(?)证明:证明:将直线CD的方程代入椭圆方程,得 y,kx122ab 222222 bx,a(kx,r),ab1 整理得 222222222 (b,ak)x,2karx,(ar,ab),011 根据韦达定理,得 22222ar,ab2kar1 ,, xx,x,x,1212222222b,akb,ak11 22xxr,b12 所以 ? ,x,x2kr121 22x(y,r) 将直线GH的方程代入椭圆方程,,1,同理可得 y,kx222ab 22xxr,b34 ? ,x,x2kr342 22kxxkxxrb,234112 由 ?、?得 = ,x,xxx2r,3412 新疆王新敞奎屯 所以结论成立 (p,0)(q,0)(?)证明:设点P,点Q x,pkx111 由C、P、H共线,得 , x,pkx424 (k,k)xx1214p, 解得 kx,kx1124 x,pkx212, 由D、Q、G共线,同理可得 x,pkx323 (k,k)xx1223q, kx,kx1223 kxxkxx234112 由 = 变形得 x,xx,x3412 (k,k)xx(k,k)xx12231214, = kx,kxkx,kx11241223 p,q 所以 OP,OQ 即 3(简评 本小题主要考查直线与椭圆等基本知识,考查分析问题和解决问题的能力。试题入门容易,第(?)问考查椭圆方程、待定系数法、坐标平移和椭圆性质:焦点坐标、离心率、看图说话即可解决问题,但考查的却都是重点内容。 第(?)问是典型的直线与椭圆的位置关系问题。待证式子中含有x1x2,x1+x2,x3x4,x3+x4这样的对称式,式子结构对称优美,和谐平衡,使人很容易联想起一元二次方程根与系数关系的韦达定理,启示了证明问题的思路。这里用到了解析几何最根本的思想和最根本的方法。解两个联立的二元二次方程组,用代入消元法得到一元二次方程,分离系数利用韦达定理给出关于x1x2,x1+x2,x3x4,x3+x4的 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式,再分别代入待证式两边运算即达到证明目的。证明的过程中,由两个联立方程组结构的相似性运用了“同理可得”,整个证明过程也令人赏心悦目,感受到了逻辑证明与表达的顺畅、简约的美的魅力。 第(?)问证明中用到了三点共线的充要条件,用到了过两点的直线的斜率 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ,分别解出p,q以后,|OP|=|OQ|等价转化成了p= -q(或p+q=0。)此时分析前提条件(?)及待证结论p= -q,关键在于沟通k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)与x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)的联系。参考解答中的表述略去了一些变形的中间过程,使人不易看出沟通的线索,以及命题人变形的思路,因此读者理解起来感到困难。如果将两式做如下变形,则思路就显然顺畅自然。 设:k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)为?式,两边同取倒数,得 1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3 ?’ 设:x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)为 ?式,两边同取倒数,得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3,移项得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4 ?’ 将?’两边同乘以k1?k2,即得 k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4 它与?’完全一样。这里利用两式同时变形的方法可以较容易实现目的,有分析、有综合,有思维,有运算。思路的选择有赖于对式子特征的观察联想。 综观这道题的题目特征及解答过程,我们看到了用代数方程但方法处理几何问题的作用与威力。 4(赏析: 上面我们看到,试题的结构及其解答都令人感到赏心悦目,至此,我们不禁要追问一句:试题是怎么命制出来的,它的背景是什么,它对我们的数学学习与教学、高三复习与备考有什么启示, 关于圆,有一个有趣的定理: 蝴蝶定理 设AB是圆O的弦,M是AB的中点。过M作圆O的两弦CD、EF,CF、DE分别交AB于H、G。则MH=MG。 这个定理画出来的几何图,很像一只翩翩飞舞的蝴蝶,所以叫做蝴蝶定理(图2)。 盯着试题的图1仔细看,它像不像椭圆上翩翩飞舞的蝴蝶, 像,而且像极了。试题的证明过程及结果告诉我们,椭圆中蝴蝶定理依然成立,而且是用解析方法证明的。如果令椭圆的长轴,短轴相等,即a=b,则椭圆就变成了圆,椭圆中的蝴蝶定理就变成了圆上的蝴蝶定理,上面的证明一样适用。由于椭圆也可以看作将一个圆经“压缩变换”而得,故圆上的蝴蝶定理经“压缩变换”也可以变成椭圆上的蝴蝶定理。“翩翩蝴蝶舞椭圆,飞落高考数学花。”读者诸君欣赏至此,是否体会到了数学命题几何专家命制高考试题的“高招”及良苦用心, [关于“椭圆上的蝴蝶”,张景中院士在其献给中学生的礼物一书《数学家的眼光》“巧思妙解”一节中有着精妙的论述,有兴趣的读者请参阅该书P54-59]。 5(启示 椭圆上的蝴蝶翩翩飞舞,飞落到了北京数学高考试题的百花(草)园,令人欣喜异常。它虽然有着竞赛数学、仿射变换、数学名题的背景,然而这里证明它,却只用到了教科书里反复提到的三点共线问题和斜率公式,用到了解析几何最基本的方法。高级中学课本《平面解析几何》全一册(必修)数处提到三点共线问题,如P13习题一第14题:已知三点A(1,-1)、B(3,3)、C(4,5)。求证:三点在一条直线上:P17练习4:证明:已知三点A、B、C,如果直线AB、AC的斜率相等,那么这三点在同一条直线上;P27习题二第9题:证明三点A(1,3)、B(5,7)、C(10,12)在同一条直线上;P47复习参考题一第3题:用两种方法证明:三点A(-2,12)、B(1,3)、C(4,-6)在同一条直线上。你看,课本上的练习、习题、复习参考题,反复提到了三点共线的证明,并且强调用不同的方法来证明。为什么,你(老师、学生)关注到了它吗, 实际上,三点共线的不同证明,可以把解析几何第一章的重点基础知识充分调动起来,组织起来。你可以用基本公式——平面上两点间的距离公式 证明,AC,=,AB?+?BC?;你也可以应用定比分点公式x=(x1+λx2)/(1+λ),y=(y1+λy2)/(1+λ)去证λ=(x1-x)/(x-x2)=(y1-y)/(y-y2);你可以用过两点的直线的斜率公式Kp1p2=(y2-y1)/(x2-x1),去证KAB=KAC;你还可以先建立直线AB的方程f(x,y)=0,然后验证点C的坐标适合直线AB的方程即f(x,y)=0;你也可以在建立直线AB的方程之后,利用点到直线的距离公式 证明d=0;你还可以计算?ABC的面积,去证,?ABC=0。你看,有五、六种方法c-AB 可以解决同一个问题,当然难度有高有低。一题多解中选择方法、优化方法也是能力(洞察、观察)的体现,从比较中才可以鉴别方法的优劣。据说考试下来,有一些重点中学的尖子生对自己没能解答出第(?)问很懊悔,一些老师也说这个题目“运算量太大难以完成”~不知读者诸君欣赏至此,能不能发现上述问题的症结究竟发生在哪里,北京市有许多重点中学的师生,对高中数学课本的习题不屑一顾,很少去钻研教材中的例题、习题,去寻求与发现知识之间的内在联系,去 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 解题的原则、思路与规律。各种各样的复习资料,几十套几十套的各地模拟试卷,使高三学生跳进题海做得昏天黑地而难以自拔,这哪里还谈得上素质教育与培养能力,我们应当从欣赏“翩翩飞舞的椭圆蝴蝶”中去用心体会“精选题目充分利用题目的“营养”价值”在数学教学与复习中的重要作用,从而解放思想,勇敢大胆地摒弃“题海战术”。而要使学生跳出题海,老师就必须首先跳入题海,“题海探珠”,感悟数学教育改革的真谛。——注重基础、注重理解、注重联系、注重能力。
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