第三模块:机械能守恒定律
『夯实基础知识』
(一)重力做功的特点与重力势能。
1、重力做功的特点:重力做功与路径无关,只与始末位置的竖直高度差有关,当重力为
的物体从A点运动到B点,无论走过怎样的路径,只要A、B两点间竖直高度差为
,重力所做的功均为
2、重力势能:
(1)概念:物体由于被举高而具有的能叫重力势能。
(2)其
表
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达式为:
(3)重力势能具有相对性。
其中h为物体所在处相对于所选取的零势能面的竖直高度,而零势能面的选取可以是任意的,一般是取地面为重力势能的零势能面。
由于零势能面的选取可以是任意的,所以一个物体在某一状态下所具有的重力势能的值将随零势能面的选取而决定,但物体经历的某一上过程中重力势能的变化却与零势能面的选取无关。
(4)重力势能是标量
重力势能是标量,但有正负之分,正负不表示方向,表示大小,若物体在参考平面以上,则重力势能为正
;若物体在参考平面以下,则重力势能为负
3、重力做功与重力势能变化间的关系:重力做的功总等于重力势能的减少量,即
(二)弹性势能
(1)概念:所谓弹性势能指的是物体由于发生弹性形变而具有的能。
(2)其表达式为:
(三)机械能守恒定律。
(1)机械能:动能和势能的总和称机械能。而势能中除了重力势能外还有弹性势能。
(2)机械能守恒守律:
表述一:只有重力做功时,动能和重力势能间相互转换,但机械能的总量保持不变,这就是所谓的机械能守恒定律;只有弹力做功时,动能和弹性势能间相互转换,机械能的总量也保持不变,这也叫机械能守恒定律。
表述二:如果没有摩擦和介质阻力,物体只发生动能和重力势能的相互转化时,机械能的总量保持不变
(3)机械能守恒定律的各种表达形式
⑴
即
⑵
;
用⑴时,需要规定重力势能的参考平面。用⑵时则不必规定重力势能的参考平面,因为重力势能的改变量与参考平面的选取没有关系。尤其是用ΔE增=ΔE减,只要把增加的机械能和减少的机械能都写出来,方程自然就列出来了
(4)机械能守恒的条件:只有重力和系统内弹力做功,则系统的机械能总量将保持不变。
① 只受重力;
② 受别的力,但别的力不做功;
③ 受别的力,别的力也做功,但做功的代数和为零。
(5)对机械能守恒定律的理解:
①守恒的含义:机械能时时刻刻不变才叫守恒,如中间某时刻有变化,不叫守恒,只能说前后不变,另外,机械能时时刻刻不变,但没有动能和势能的相互转化,也不能叫机械能守恒。
②机械能守恒定律的研究对象一定是系统,至少包括地球在内。通常我们说“小球的机械能守恒”其实一定也就包括地球在内,因为重力势能就是小球和地球所共有的。另外小球的动能中所用的v,也是相对于地面的速度。
③当研究对象(除地球以外)只有一个物体时,往往根据是否“只有重力做功”来判定机械能是否守恒;当研究对象(除地球以外)由多个物体组成时,往往根据是否“没有摩擦和介质阻力”来判定机械能是否守恒。
④“只有重力做功”不等于“只受重力作用”。在该过程中,物体可以受其它力的作用,只要这些力不做功
(6)一旦物体系所受的其他力对物体系做功,物体系的机械能就不守恒了,就是说机械能与其他形式的能发生转化,但总能量守恒。当其他力对物体系做正功,则其他形式能转化为系统机械能,系统机械能增加;反之系统机械能转化为其他形式能,系统机械能减小。并且,其他力做功的数值等于机械能的变化。即:除了重力和弹力外,其他力(可分为动力和阻力)对物体系做功与物体系机械能变化数值相等。这一规律也叫功能原理
(6)解题步骤
① 必须准确地选择系统;
② 必须由守恒条件判断系统机械能是否守恒;
③ 必须准确地选择过程,确定初、末状态;
④ 写守恒等式时应注意状态的同一性
『题型解析』
类型题: 能判断机械能是否守恒
【例题】 如图物块和斜面都是光滑的,物块从静止沿斜面下滑过程中,物块机械能是否守恒?系统机械能是否守恒?
类型题: 机械能守恒定律与圆周运动综合
当系统内的物体都在做圆周运动,若机械能守恒,则可利用机械能守恒定律列一个方程,但未知数有多个,因此必须利用圆周运动的知识补充方程,才能解答相关问题。
【例题】如图所示,质量分别为2 m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B,直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴。AO、BO的长分别为2L和L。开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方。让该系统由静止开始自由转动,求:⑴当A到达最低点时,A小球的速度大小v;⑵ B球能上升的最大高度h;⑶开始转动后B球可能达到的最大速度vm。
类型题: 机械能守恒定律与动量守恒定律综合
若系统的机械能和动量均守恒,则可利用动量守恒定律和机械能守恒定律求解相关问题。
【例题】如图所示,长为L的轻绳,一端用轻环套在光滑的横杆上(轻绳和轻杆的质量都不计),另一端连接一质量为m的小球,开始时,将系球的绳子绷紧并转到与横杆平行的位置,然后轻轻放手,当绳子与横杆成θ时,小球速度在水平方向的分量大小是多少?竖直方向的分量大小是多少?
【例题】长为2L的轻杆上端及正中央固定两个质量均为m的小球,杆竖直立在光滑的水平面上,杆原来静止,现让其自由倒下,没杆在倒下过程中下端始终不离开地面,则A球着地时速度为( D )
A.
B.
C.
D.
【例题】如图,长木板ab的b端固定一档板,木板连同档板的质量为M=4.0kg,a、b间的距离S=2.0m。木板位于光滑水平面上。在木板a端有一小物块,其质量m=1.0kg,小物块与木板间的动摩擦因数μ=0.10,它们都处于静止状态。现令小物块以初速V0=4m/s沿木板向前滑动,直到和档板相撞。碰撞后,小物块恰好回到a端而不脱离木板。求碰撞过程中损失的机械能。
类型题: 机械能守恒定律与绳连问题综合
若系统内的物体通过不可伸长的细绳相连接,系统的机械能守恒,但只据机械能守恒定律不能解决问题,必须求出绳连物体的速度关联式,才能解答相应的问题。
【例题】在水平光滑细杆上穿着A、B两个刚性小球,两球间距离为L,用两根长度同为L的不可伸长的轻绳与C球连接(如图20所示),开始时三球静止二绳伸直,然后同时释放三球。已知A、B、C三球质量相等,试求A、B二球速度V的大小与C球到细杆的距离h之间的关系。
第四模块:功能关系
『夯实基础知识』
深刻理解功能关系,掌握能量守恒定律。
力做功时,必然伴随着能量的转化,而且功与能量转化的量值是相等的。这一等量关系不仅提供了计算功的大小的另一种途径(既适于恒力功也适于变力功),而且涉及功、能的其他物理量也可能在这一等量关系中求出,因此我们对做功的认识应提高到明确是什么力对哪个研究对象做功,引起哪些能量的变化。
1.做功的过程是能量转化的过程,功是能的转化的量度。
能量守恒和转化定律是自然界最基本的规律之一。而在不同形式的能量发生相互转化的过程中,功扮演着重要的角色。本章的主要定理、定律都可由这个基本原理出发而得到。
需要强调的是:功是一个过程量,它和一段位移(一段时间)相对应;而能是一个状态量,它与一个时刻相对应。两者的单位是相同的(都是J),但不能说功就是能,也不能说“功变成了能”。
高中常涉及以下几种力的功引起的相应的能量变化的等量关系
(1)力的做功与运动路径无关,只取决于初始和终止位置,如万有引力、重力、弹簧的弹力、静电力和分子力等力的做功特点都是这样的,这些力都有对应的势能,并且,万有引力(重力、弹簧的弹力、静电力和分子力)等各力对物体所做的功等于各自对应的势能变化数值相等
以上各力做功时,力对物体做正功,则物体对应的势能减少;力对物体做负功(或物体克服力做功),则物体对应的势能增加。
(2)力的做功与实际运动路径有关,如摩擦力、阻尼力和粘滞力等力做功特点都是这样的,这些力在做功时往往要消耗物体系的机械能。如一对摩擦力在两物体之间做功时有:两物体间的滑动摩擦力对物体系做的功与物体系中生成的热(减少的机械能)数值相等。即:
(公式中
是物体之间的相对位移,
为物体系所产生的热,
为物体系损失的机械能)
2.复习本章时的一个重要课题是要研究功和能的关系,尤其是功和机械能的关系。突出:“功是能量转化的量度”这一基本概念。
①物体动能的增量由外力做的总功来量度:W外=ΔEk,这就是动能定理。
②物体重力势能的增量由重力做的功来量度:WG= -ΔEP,这就是势能定理。
③物体机械能的增量由重力以外的其他力做的功来量度:W其=ΔE机,(W其表示除重力以外的其它力做的功),这就是机械能定理。
④当W其=0时,说明只有重力做功,所以系统的机械能守恒。
⑤一对互为作用力反作用力的摩擦力做的总功,用来量度该过程系统由于摩擦而减小的机械能,也就是系统增加的内能。Q=fd(d为这两个物体间相对移动的路程)
(五)、能的转化和守恒定律
(1)能量守恒定律的具体表现形式
高中物理知识包括“力学、热学、电学、光学、原子物理”五大部分内容,它们具有各自的独立性,但又有相互的联系性,其中能量守恒定律是贯穿于这五大部分的主线,只不过在不同的过程中,表现形式不同而已,如:
在力学中的机械能守恒定律:
在热学中的热力学第一定律:
在电学中的闭合电路欧姆定律:
,法拉第电磁感应定律
,以及楞次定律。
在光学中的光电效应方程:
在原子物理中爱因斯坦的质能方程:
(2)利用能量守恒定律求解的物理问题具有的特点:
①题目所述的物理问题中,有能量由某种形式转化为另一种形式;
②题中参与转化的各种形式的能,每种形式的能如何转化或转移,根据能量守恒列出方程即总能量不变或减少的能等于增加的能
『题型解析』
类型题: 各力做功引起相应的能量变化
重力做功与重力势能的改变量相等
【例题】在水平地面上铺n块砖,每块砖的质量为m,厚度为h。如将砖一块一块地叠放起来,至少做多少功?
【例题】如图所示,劲度系数为k1的轻质弹簧两端分别与质量为m1、m2的物块1、2拴接,劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块2拴接,下端压在桌面上(不拴接),整个系统处于平衡状态,现施力将物块1缓慢地竖直上提直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面,在此过程中,物块2的重力势能增加了____________,物块1的重力势能增加了___________。
弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等
【例题】如图所示,质量m为2千克的物体,从光滑斜面的顶端A以v0=5米/秒的初速度滑下,与处于原长的弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零,已知从A到B的竖直高度h=5米,求弹簧的弹力对物体所做的功。
摩擦力与该力对应的物体间相对位移的乘积数值上等于系统机械能的损失
两个物体相互摩擦而产生的热量Q(或说系统内能的增加量)等于物体之间滑动摩擦力f与这两个物体间相对滑动的路程的乘积,即
。利用这结论可以简便地解答高考试题中的“摩擦生热”问题。下面就举例说明这一点。公式:
证明:质量为m的子弹以水平速度 v1 射入以速度 v2 沿同一方向运动的木块中,木块质量为过程M,当子弹进入木块深度为 d 时,子弹和木块的速度分别为v1′ 和v2′,若木块和子弹的相互作用力恒为f,求这一过程中子弹和木块组成的系统损失的动能。
【例题】如图所示,在一光滑的水平面上有两块相同的木板B和C。重物A(A视质点)位于B的右端,A、B、C的质量相等。现A和B以同一速度滑向静止的C,B与C发生正碰。碰后B和C粘在一起运动,A在C上滑行,A与C有摩擦力。已知A滑到C的右端面未掉下。试问:从B、C发生正碰到A刚移动到C右端期间,C所走过的距离是C板长度的多少倍?
摩擦力做的负功应为物体受到的摩擦力与物体路程的乘积
【例题】下图所示,一个质量为m的小球自高为h的地方,由静止落下,空气阻力为小球重力的0.02倍。小球与地面碰撞无机械能损失,小球多次弹起落下,最后静止于地面。小球从下落开始到最后停下来运动的总路程为多少?
【例题】如图15所示,AB与CD为两个对称斜面,其上部都足够长,下部分分别与一个光滑的圆弧面的两端相切,圆弧圆心角为1200,半径R=2.0m,一个物体在离弧底E高度为h=3.0m处,以初速度V0=4m/s沿斜面运动,若物体与两斜面的动摩擦因数均为μ=0.02,则物体在两斜面上(不包括圆弧部分)一共能走多少路程?(g=10m/s2)。
【例题】如图所示,一质量为M的小车停放在光滑水平面上,车上放着一个质量为m的物块,物块与车面的动摩擦因数为μ,现给m一水平向右、大小为
的瞬时冲量,则物块在车上滑行的路程s=?。(设物块与车挡板碰撞时没有能量损失)
各种力做功综合考虑
【例题】如图所示,一物体从斜面上A点开始沿斜面向下运动,初动能为40J,经过B点时动能减少10J,机械能减少了30J,到达C点时恰好停止。如果从C点开始沿斜面向上运动,恰好到达A点停止,则它在C点时的动能为___________J。
【例题】一个物体从斜面底端的A点冲上斜面,滑到B点时,其动能减少100J,机械能减少30J。当它再次返回A点时,动能为100J,那么当它刚冲上斜面通过A点时具有动能为___________J。
类型题: 会解用功能关系分析解答相关问题
【例题】如图所示,一根轻弹簧下端固定,竖立在水平面上。其正上方A位置有一只小球。小球从静止开始下落,在B位置接触弹簧的上端,在C位置小球所受弹力大小等于重力,在D位置小球速度减小到零。小球下降阶段下列说法中正确的是:
A.在B位置小球动能最大
B.在C位置小球动能最大
C.从A→C位置小球重力势能的减少大于小球动能的增加
D.从A→D位置小球重力势能的减少等于弹簧弹性势能的增加