高考数学圆锥曲线知识点
总结
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方程的曲线:
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线。
,点与曲线的关系:若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上f(x0,y 0)=0;点P0(x0,y0)不在曲线C,上f(x0,y0)?0。
f(x,y),0100
f(x,y),0,200两条曲线的交点:若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1，C2的交点{方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点;方程组没有实数解，曲线就没有交点。 二、圆:
1、定义:点集,M,,OM,=r,，其中定点O为圆心，定长r为半径.
2、方程:(1)
标准
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方程:圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2
圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2+y2=r2
DE(,,,)22(2)一般方程:?当D2+E2-4F,0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为半
22DEDE-4F422，D，E,F
2224。配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+)2+(y+)2= 径是
DE
22?当D2+E2-4F=0时，方程
表
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示一个点(-,-);
?当D2+E2-4F,0时，方程不表示任何图形.
,,点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0)，则,MC,,r点M在圆C内，,MC,=r
22(x-a)，(y-b)00,点M在圆C上，,MC,,r点M在圆C内，其中,MC,=。
,直线和圆的位置关系:?直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系:直线与圆相交有两个公共点;直线与圆
,,相切有一个公共点;直线与圆相离没有公共点。
Aa，Bb，Cd,22A，B?直线和圆的位置关系的判定:(i)判别式法;(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离与半径r的大小关系来判定。
三、圆锥曲线的统一定义:
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e,0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。当0,e,1时，轨迹为椭圆;当e=1时，轨迹为抛物线;当e,1时，轨迹为双曲线。
四、椭圆、双曲线、抛物线:
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椭圆、双曲线、抛物线性质对比
椭圆 双曲线 抛物线
1(到两定点F1,F2的距离之1(到两定点F1,F2的距离之差和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的绝对值为定值的轨迹 与定点和直线的距离相等的定义 2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹 2(与定点和直线的距离之点的轨迹. 2(与定点和直线的距离之比为比为定值e的点的轨迹.定值e的点的轨迹.(e>1) (0
0) (a>0,b>0) 程
,,x,acosx,asec2,,,x,2pt参数,,,,y,bsiny,btan, ,,y,2pt方程 ,(t为参数) (参数,为离心角)(参数,为离心角)
范围 ?a,x,a，?b,y,b |x| , a，y,R x,0
中心 原点O(0，0) 原点O(0，0)
(a,0), (?a,0), (0,b) , (0,?(0,0) 顶点 (a,0), (?a,0) b)
x轴，y轴; x轴，y轴; 对称轴 x轴 长轴长2a,短轴长2b 实轴长2a, 虚轴长2b.
pF(,0)焦点 F1(c,0), F2(?c,0) F1(c,0), F2(?c,0) 2
22paa
2cc x=-x=? x=? 准 线
准线垂直于长轴，且在椭圆准线垂直于实轴，且在两顶点的准线与焦点位于顶点两侧，
外. 内侧. 且到顶点的距离相等.
2222 焦距 a,ba，b2c (c=) 2c (c=)
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cce,(0,e,1)e,(e,1)e=1 离心率 aa
【备注1】双曲线:
222y,,xx,y,,ae,2?等轴双曲线:双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.
22yx,,,22ab?共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与
2222yxyx,,0,,,,2222abab互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线:.
22yxyyxx,,,(,,0),,0,,022ababab?共渐近线的双曲线系方程:的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它
22yx,,(,0),,22ab. 的双曲线方程可设为
【备注2】抛物线:
pp22yy22(1)抛物线=2px(p>0)的焦点坐标是(,0)，准线方程x=- ，开口向右;抛物线=-2px(p>0)的焦点坐标是pppp
2x2222(-,0)，准线方程x=，开口向左;抛物线=2py(p>0)的焦点坐标是(0,)，准线方程y=- ，开口向上;
pp
2x22抛物线=-2py(p>0)的焦点坐标是(0,-)，准线方程y=，开口向下.
pMF,x，220yy2(2)抛物线=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离;抛物线=-2px(p>0)上的点M(x0,y0)
pMF,,x02与焦点F的距离
pp2y22(3)设抛物线的标准方程为=2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为，顶点到准线的距离，焦点到准线的距离为p.
2y(4)已知过抛物线=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，
22ppp,AB,xx,AF,x，21212ABAFyy,,px，x42sin,1212则弦长=+p或(α为直线AB的倾斜角)，，(叫做焦半径).
五、坐标的变换:
(1)坐标变换:在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程. (2)坐标轴的平移:坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。
(3)坐标轴的平移公式:设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ′O′y′中
x',x,hx,x'，h
''y,y'，ky',y,k(x,y)的坐标是.设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则 或
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叫做平移(或移轴)公式.
中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表:
方 程 焦 点 焦 线 对称轴
222a(x-h)(y-k)x=h (?c+h,k) 22y=k cab+h x=?+=1
椭圆
222a(x-h)(y-k)x=h (h,?c+k) 22y=k cba+k y=?+ =1
222a(x-h)(y-k)x=h (?c+h,k) 22y=k cab+k x=?-=1
双曲线
222a(y-k)(x-h)x=h (h,?c+h) 22y=k cab+k y=?-=1
pp(y-k)2=2p(x-h) y=k 22(+h,k) x=-+h
pp(y-k)2=-2p(x-h) y=k 22(-+h,k) x=+h
抛物线
pp(x-h)2=2p(y-k) x=h 22(h, +k) y=-+k
pp(x-h)2=-2p(y-k) x=h 22(h,- +k) y=+k 六、椭圆的常用结论:
点P处的切线PT平分?PF1F2在点P处的外角.
PT平分?PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个
端点.
以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
22xxyyxy00，,1，,12222Pxy(,)P0000abab若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.
22xy，,122Pxy(,)P0000ab若在椭圆外，则过作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是
xxyy00，,122ab.
22xy，,122，,FPF,12ab椭圆 (a,b,0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形
,2Sb,tan,FPF122的面积为.
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22xy，,122||MFaex,，||MFaex,,Fc(,0),Fc(,0)Mxy(,)10201200ab椭圆(a,b,0)的焦半径公式,( ,). 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF?NF.
过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF?NF.
2222bx0xybK,,，,1kk,,,AB2OMAB222(x,y)ay00aba0AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。
2222xxyyxyxy0000，,1，,，222222Pxy(,)000ababab若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是; 【推论】:
222222xxyyxyxyxy00，,1，,1，,，22222222Pxy(,)000abababab1、若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是。椭圆(a
Aa(,0),Aa(,0)12,b,o)的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程
22xy,,122ab是.
22xy，,122Axy(,)00ab2、过椭圆 (a,0, b,0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线
2bx0k,BC2ay0BC有定向且(常数).
22xy，,122，,PFF,，,PFF,1221ab3、若P为椭圆(a,b,0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则ac,,,tantco,ac22，.
22xy，,122ab4、设椭圆(a,b,0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在?PF1F2中，
sin,c,,e，,FPF,，,PFF,，,FFP,，sinsina,,121212记, ,，则有.
22xy，,12221,ab5、若椭圆(a,b,0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0,e?时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
22xy，,122ab6、P为椭圆(a,b,0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则2||||||2||aAFPAPFaAF,,，,，AFP,,2112,当且仅当三点共线时，等号成立.
22()()xxyy,,00，,122AxByC，，,0ab7、椭圆与直线有公共点的充要条件是
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22222AaBbAxByC，,，，()00.
22xy，,122OPOQ,ab8、已知椭圆(a,b,0)，O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.(1)
222211114abab，,，22222222S||||OPOQab,OPQab，ab，;(2)|OP|2+|OQ|2的最大值为;(3)的最小值是.
22xy，,122ab9、过椭圆(a,b,0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，||PFe,||2MN则.
22xy，,122Px(,0)0ab10、已知椭圆( a,b,0) ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,
2222abab,,,,,x0aa则.
22xy，,122，,FPF,12ab( a,b,0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则11、设P点是椭圆
22b,2,||||PFPFSb,tan12,PFF12,，1cos2(1).(2) .
22xy，,122，,PAB,ab12、设A、B是椭圆( a,b,0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，,
22|cos|ab,||PA,2222，,PBA,，,BPA,,tantan1,,,,eaccos,,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3)
222ab,,Scot,PAB22,ba.
22xy，,122labEF13、已知椭圆( a,b,0)的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B
ClBCx,两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.
14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)
椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 17、
18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
七、双曲线的常用结论:
1、点P处的切线PT平分?PF1F2在点P处的内角.
2、PT平分?PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P在右支;外切:P在左支)
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22xxyyxy00,,1,,12222Pxy(,)P0000abab5、若在双曲线(a,0,b,0)上，则过的双曲线的切线方程是.
22xy,,122Pxy(,)000ab6、若在双曲线(a,0,b,0)外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦
xxyy00,,122abP1P2的直线方程是.
22xy,,122，,FPF,12ab7、双曲线(a,0,b,o)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲
,2Sbco,t,FPF122线的焦点角形的面积为.
22xy,,122Fc(,0),Fc(,0)Mxy(,)1200ab8、双曲线(a,0,b,o)的焦半径公式:( , )当在右支上时，||MFexa,，||MFexa,,Mxy(,)||MFexa,,，||MFexa,,,1020001020,;当在左支上时，,。 9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF?NF.
10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF?NF.
222bx0xyKK,,,,1OMAB222(x,y)ay00ab011、AB是双曲线(a,0,b,0)的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，
2bx0K,AB2ay0即。
2222xxyyxyxy0000,,1,,,222222Pxy(,)000ababab12、若在双曲线(a,0,b,0)内，则被Po所平分的中点弦的方程是.
2222xxyyxyxy00,,1,,,222222Pxy(,)000ababab13、若在双曲线(a,0,b,0)内，则过Po的弦中点的轨迹方程是. 【推论】:
22xy,,122Aa(,0),Aa(,0)12ab1、双曲线(a,0,b,0)的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时
22xy，,122abA1P1与A2P2交点的轨迹方程是.
22xy,,122Axy(,)00ab2、过双曲线(a,0,b,o)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则
2bx0k,,BC2ay0直线BC有定向且(常数).
22xy,,122，,PFF,12ab3、若P为双曲线(a,0,b,0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, ,
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caca,,,,,,tantcotantco,,，,PFF,21ca22ca22，，，则(或).
22xy,,122ab4、设双曲线(a,0,b,0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在?PF1F2
sin,c,,e，,FPF,，,PFF,，,FFP,,,(sinsin)a,,121212中，记, ,，则有.
22xy,,12221，ab5、若双曲线(a,0,b,0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1,e?时，可在双
曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
22xy,,122||2||||AFaPAPF,,，21ab6、P为双曲线(a,0,b,0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则,AFP,,AF,22P当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立.
22xy,,12222222AxByC，，,0AaBbC,,ab7、双曲线(a,0,b,0)与直线有公共点的充要条件是.
22xy,,122OPOQ,ab8、已知双曲线(b,a ,0)，O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.
222211114abab，,,22222222S||||OPOQab,OPQba,ba,(1);(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为;(3)的最小值是.
22xy,,122ab9、过双曲线(a,0,b,0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交||PFe,||2MNx轴于P，则.
22xy,,122Px(,0)0ab10、已知双曲线(a,0,b,0),A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 2222ab，ab，x,x,,00aa则或.
22xy,,122，,FPF,12ab11、设P点是双曲线(a,0,b,0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则
22b,2,||||PFPFSb,cot12,PFF12,,1cos2(1).(2) .
22xy,,122，,PAB,ab12、设A、B是双曲线(a,0,b,0)的长轴两端点，P是双曲线上的一点，,
22|cos|ab,,||PA222，,PBA,，,BPA,,|s|acco,,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1).
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222ab,,Scot2,PAB22tantan1,,,,e，ba(2) .(3) .
22xy,,122labEF13、已知双曲线(a,0,b,0)的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交
ClBCx,于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点. 14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
抛物线的常用结论:
2ac,bb4,()2ay，by，c,xaa42?顶点.
PPPF,x，PF,y，22y,2px(p,0)x,2py(p,0)22?则焦点半径;则焦点半径为. ?通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.
2,x2pt,,x,2pt,,222y,2pty,2pty,2pxx,2py,,t?(或)的参数方程为(或)(为参数).
2222 y,2pxy,,2pxx,2pyx,,2py
??yy??yy
x图形 xxxOOOO
ppppF(,0)F(0,)F(,,0)F(0,,)焦点 2222
ppppy,,y,x,x,,准线 2222
x,0,y,Rx,0,y,Rx,R,y,0x,R,y,0范围
yx对称轴 轴 轴
顶点 (0,0)
e,1离心率
ppppPF,，yPF,，xPF,，xPF,，y焦点 11112222 圆锥曲线的性质对比
圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线
(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 a>b>0 (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 a>0,b>0 y^2=2px p>0 标准方程
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范围 x?[-a,a] y?[-b,b] x?(-?,-a]?[a,+?) y?R x?[0,+?) y?R 对称性 关于x轴,y轴,原点对称 关于x轴,y轴,原点对称 关于x轴对称
(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0),(-a,0) (0,0) 顶点
(c,0),(-c,0) (c,0),(-c,0) (p/2,0) 焦点
【其中c^2=a^2-b^2】 【其中c^2=a^2+b^2】
x=?(a^2)/c x=?(a^2)/c x=-p/2 准线
—————————— y=?(b/a)x ————— 渐近线
e=1 离心率 e=c/a,e?(0,1) e=c/a,e?(1,+?)
焦半径 ?PF1?=a+ex ?PF2?=a-ex ?PF1?=?ex+a??PF2?=?ex-a?PF?=x+p/2
?
p=(b^2)/c p=(b^2)/c p 焦准距
(2b^2)/a (2b^2)/a 2p 通径
x=a?secθ 参数方程 x=a?cosθ y=b?sinθ，θ为参数 x=2pt^2 y=2pt,t为
y=b?tanθ,θ为参数 参数
(x0?x/a^2)+(y0?y/b^2)=1 (x0x/a^2)-(y0?y/b^2)=1 y0?y=p(x+x0) 过圆锥曲
线上一点 (x0,y0)的切线方程
y=kx??[(a^2)?(k^2)+b^2] y=kx??[(a^2)?(k^2)-b^2] y=kx+p/2k 斜率为k
的切线方
程
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浙公网安备 33021202002483