函数值域的求法
北中
数学
数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划
例谈函数值域的求法 1(配
方法
快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载
主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题(
xx，1例1(设，求函数的值域( 02??xfx()4321,,，
xxx，12解:， fx()4321(23)8,,，,,,
x???,24，( ???02x
xx21,23,?,4当时，函数取得最小值;当时，函数取得最大值， ,8
[84],,，?函数的值域为(
评注:配方法往往需结合函数图象求值域(
2(单调性法
单调性法是求函数值域的常用方法，就是利用我们所学的基本初等函数的单调性，再根据所
给定义域来确定函数的值域(
12(1)x?,例2(函数，的值域是 ( fxx(),，x
12(1],,,，解析:函数和在上都是减函数，所以，所以函数yf,,,(1)0yx,y,minx
fx()[0)，，,的值域为(
3(数形结合法
对于一些函数(如二次函数、分段函数等)的求值域问题，我们可以借助形象直观的函数图
象来观察其函数值的变化情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定函数值域，
用数形结合法，使运算过程大大简化(
2,xxx，,,,23(20) ?，,fx(),例3(求函数的,2xxx,,23(03) ??,,
值域(
分析:求分段函数的值域可作出它的图象，则其函数值的整体变化情况就一目了然了，从而可以快速地求出其值域(
解:作图象如图所示(
?ff(1)(1)4,,,,f(2)3,,,f(3)0,，，，
f(0)3,,，
[40],，?,4函数的最大值、最小值分别为0和，即函数的值域为(
4(判别式法
北中数学
2axbxc，，111对于形如(，不同时为)的函数常采用此法，就是把函数转化0aay,122axbxc，，222
成关于的一元二次方程(二次项系数不为时)，通过方程有实数根，从而根的判别式大0x
于等于零，求得原函数的值域(
21，，xx例4(求函数的值域( y,21，x
2解:原函数化为关于的一元二次方程( (1)10yxxy,,，,,x
132y,1(1)当时，，，解得; x,R,,,,,,(1)4(1)(1)0yy???y22
13，，y,11,，(2)当时，，而( x,0,,22，，
13，，，故函数的值域为( ,,22，，
评注:?在解此类题的过程中要注意讨论二次项系数是否为零;?使用此法须在或仅x,R有个别值(个别值是指使分母为的值，处理方法为将它们代入方程求出相应的值，若在y0
21，，xxy,求出的值域中则应除去此值)不能取的情况下，否则不能使用，如求函数，y21，xx,(23)，的值域，则不能使用此方法(
5(换元法
有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法(在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域(
例5(求的值域( fxxx()1,，,
2解:令，则， xtt,,1(0)?10,,,xt
2155,,22， fxftttt()(1)1,,,,，,,，?,,244,,
5,，,,，所以函数值域为( ,,4,，
评注:利用引入的新变量，使原函数消去了根号，转化成了关于的一元二次函数，使问tt
题得以解决(用换元法求函数值域时，必须确定新变量的取值范围，它是新函数的定义域(
北中数学
6(反解法
就是用来表示，利用其变形形式求得原函数的值域( yx
x,3例6(求函数的值域( y,x，1
y，3x,3y,1x,解:函数可化为，可得， y,1,yx，1
yy,,R1所以原函数的值域为( ,,
7(分离常数法
对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，因为分子分母都有变量，利用函数单调性确定其值域较困难，因此，我们可以采用凑配分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，而此时的分式，只有分母上含有变量，进而可利用函数性质确定其值域(
x2y,例7(求函数的值域( x21，
xx，,2(21)11y,,,,解:1( xxx，，，212121
1,xx?,，,11?20,，，，， ?,,,101?,,,,xx，2121，
1( ?,,,,11x，21
(01)，?函数的值域为(
浙公网安备 33021202002483