-等腰直角三角形

-等腰直角三角形 全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com 等腰直角三角形 1、(2013•衢州)将一个有45?角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上(另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30?角，如图，则三角板的最大边的长为( ) A(3cm B(6cm C( D( cm cm 考点:含 30度角的直角三角形;等腰直角三角形( 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 :过另一个顶点 C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30?角所对的 边等于斜边的一半，可求出有45?角的三角板的直角直角边，再由等腰直角三角形求 出最大边( 解答:解:过点 C作CD?AD，?CD=3， 在直角三角形ADC中， ??CAD=30?， ?AC=2CD=2×3=6， 又三角板是有45?角的三角板， ?AB=AC=6， 22222=AB+AC=6+6=72， ?BC ?BC=6， 故选:D( 点评:此题考查的知识点是含 30?角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先由求得 直角边，再由勾股定理求出最大边( 2、(2013•内江)已知，如图，?ABC和?ECD都是等腰直角三角形，?ACD=?DCE=90?，D为AB边上一点(求证:BD=AE( 考点:全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形( 专题:证明题( 分析:根据等腰直角三角形的性质可得 AC=BC，CD=CE，再根据同角的余角相等求出 ?ACE=?BCD，然后利用“边角边”证明?ACE和?BCD全等，然后根据全等三角形对 应边相等即可证明( 全国中考网 www.zhongkao.com 版权所有 谢绝转载 全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com 解答:证明: ??ABC和?ECD都是等腰直角三角形， ?AC=BC，CD=CE， ??ACD=?DCE=90?， ??ACE+?ACD=?BCD+?ACD， ??ACE=?BCD， 在?ACE和?BCD中，， ??ACE??BCD(SAS)， ?BD=AE( 点评:本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及等角的余角相等 的性质，熟记各性质是解题的关键( 3、(2013•常德压轴题)已知两个共一个顶点的等腰Rt?ABC，Rt?CEF，?ABC=?CEF=90?， 连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME( (1)如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证:MB?CF; (2)如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长; (3)如图2，当?BCE=45?时，求证:BM=ME( 考点: 三角形中位线定理;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形(3718684 分析:( 1)证法一:如答图1a所示，延长AB交CF于点D，证明BM为?ADF的中位线即可; 证法二:如答图1b所示，延长BM交EF于D，根据在同一平面内，垂直于同一直线的 两直线互相平行可得AB?EF，再根据两直线平行，内错角相等可得?BAM=?DFM，根 据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明?ABM和?FDM全等，再根据全等三 角形对应边相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，从而得到?BDE是等腰直角三角形，根 据等腰直角三角形的性质求出?EBM=45?，从而得到?EBM=?ECF，再根据同位角相 等，两直线平行证明MB?CF即可， (2)解法一:如答图2a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线; 解法二:先求出BE的长，再根据全等三角形对应边相等可得BM=DM，根据等腰三角形 三线合一的性质可得EM?BD，求出?BEM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的 性质求解即可; (3)证法一:如答图3a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线:BM=DF，ME=AG; 然后证明?ACG??DCF，得到DF=AG，从而证明BM=ME; 证法二:如答图3b所示，延长BM交CF于D，连接BE、DE，利用同旁内角互补，两 直线平行求出AB?CF，再根据两直线平行，内错角相等求出?BAM=?DFM，根据中点 全国中考网 www.zhongkao.com 版权所有 谢绝转载 全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com 定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明?ABM和?FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，BM=DM，再根据“边角边”证明?BCE和?DFE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DE，全等三角形对应角相等可得?BEC=?DEF，然后求出?BED=?CEF=90?，再根据等腰直角三角形的性质证明即可( 解答:( 1)证法一: 如答图1a，延长AB交CF于点D，则易知?ABC与?BCD均为等腰直角三角形， ?AB=BC=BD， ?点B为线段AD的中点， 又?点M为线段AF的中点， ?BM为?ADF的中位线， ?BM?CF( 证法二: 如答图1b，延长BM交EF于D， ??ABC=?CEF=90?， ?AB?CE，EF?CE， ?AB?EF， ??BAM=?DFM， ?M是AF的中点， ?AM=MF， ?在?ABM和?FDM中， ， ??ABM??FDM(ASA)， ?AB=DF， ?BE=CE,BC，DE=EF,DF， ?BE=DE， ??BDE是等腰直角三角形， ??EBM=45?， 全国中考网 www.zhongkao.com 版权所有 谢绝转载 全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com ?在等腰直角?CEF中，?ECF=45?， ??EBM=?ECF， ?MB?CF; (2)解法一: 如答图2a所示，延长AB交CF于点D，则易知?BCD与?ABC为等腰直角三角形， ?AB=BC=BD=a，AC=AD=a， ?点B为AD中点，又点M为AF中点， ?BM=DF( 分别延长FE与CA交于点G，则易知?CEF与?CEG均为等腰直角三角形， ?CE=EF=GE=2a，CG=CF=a， ?点E为FG中点，又点M为AF中点， ?ME=AG( ?CG=CF=a，CA=CD=a， ?AG=DF=a， ?BM=ME=×a=a( 解法二: ?CB=a，CE=2a， ?BE=CE,CB=2a,a=a， ??ABM??FDM， ?BM=DM， 又??BED是等腰直角三角形， ??BEM是等腰直角三角形， ?BM=ME=BE=a; (3)证法一: 如答图3a，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知?ABC与?BCD均为等腰直角三角 形， ?AB=BC=BD，AC=CD， ?点B为AD中点，又点M为AF中点，?BM=DF( 全国中考网 www.zhongkao.com 版权所有 谢绝转载 全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com 延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知?CEF与?CEG均为等腰直角三角形， ?CE=EF=EG，CF=CG， ?点E为FG中点，又点M为AF中点，?ME=AG( 在?ACG与?DCF中， ， ??ACG??DCF(SAS)， ?DF=AG， ?BM=ME( 证法二: 如答图3b，延长BM交CF于D，连接BE、DE， ??BCE=45?， ??ACD=45?×2+45?=135? ??BAC+?ACF=45?+135?=180?， ?AB?CF， ??BAM=?DFM， ?M是AF的中点， ?AM=FM， 在?ABM和?FDM中，， ??ABM??FDM(ASA)， ?AB=DF，BM=DM， 全国中考网 www.zhongkao.com 版权所有 谢绝转载 全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com ?AB=BC=DF， ?在?BCE和?DFE中， ， ??BCE??DFE(SAS)， ?BE=DE，?BEC=?DEF， ??BED=?BEC+?CED=?DEF+?CED=?CEF=90?， ??BDE是等腰直角三角形， 又?BM=DM， ?BM=ME=BD， 故BM=ME( 点评:本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质， 作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难 点( 4、(2013•湖州)一节数学课后，老师布置了一道课后练习题: 如图，已知在Rt?ABC中，AB=BC，?ABC=90?，BO?AC，于点O，点PD分别在AO和BC上，PB=PD，DE?AC于点E，求证:?BPO??PDE( (1)理清思路，完成解答(2)本题证明的思路可用下列框图 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示: 根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程( (2)特殊位置，证明结论 若PB平分?ABO，其余条件不变(求证:AP=CD( (3)知识迁移，探索新知 若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系((不必写解答过程) 考点:全等三角形的判定与性质( 分析:( 1)求出?3=?4，?BOP=?PED=90?，根据AAS证?BPO??PDE即可; (2)求出?ABP=?4，求出?ABP??CPD，即可得出答案; 全国中考网 www.zhongkao.com 版权所有 谢绝转载 全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com (3)设OP=CP=x，求出AP=3x，CD=x，即可得出答案( 解答:( 1)证明:?PB=PD， ??2=?PBD， ?AB=BC，?ABC=90?， ??C=45?， ?BO?AC， ??1=45?， ??1=?C=45?， ??3=?PBO,?1，?4=?2,?C， ??3=?4， ?BO?AC，DE?AC， ??BOP=?PED=90?， 在?BPO和?PDE中 ??BPO??PDE(AAS); (2)证明:由(1)可得:?3=?4， ?BP平分?ABO， ??ABP=?3， ??ABP=?4， 在?ABP和?CPD中 ??ABP??CPD(AAS)， ?AP=CD( (3)解:CD′与AP′的数量关系是CD′=AP′( 理由是:设OP=PC=x，则AO=OC=2x=BO， 则AP=2x+x=3x， 由(2)知BO=PE， PE=2x，CE=2x,x=x， ??E=90?，?ECD=?ACB=45?， ?DE=x，由勾股定理得:CD=x， 即AP=3x，CD=x， 全国中考网 www.zhongkao.com 版权所有 谢绝转载 全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com ?CD′与AP′的数量关系是CD′=AP′ 点评:本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，等腰三角形性质等知识 点的综合应用，主要考查学生的推理和计算能力( 全国中考网 www.zhongkao.com 版权所有 谢绝转载