高考数列题

高考数列题 n,,aS22((本小题满分14分)已知数列的前项和满足. nS,2a，(,1),n,1nnnn ,,a)写出数列的前三项a,a,a; (1n123 ,,a(2)求数列的通项公式; n 22(本小题主要考查数列的通项公式，等比数列的前n项和以及不等式的证明.考查灵活运 用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分. (?)解:由a,S,2a,1,得a,1. 1111 2a，a,S,2a，(,1),得a,0.由 12222 3由 a，a，a,S,2a，(,1),得a,2.123333 (?)解:当时，有 n,2 nn,1 a,S,S,2(a,a)，2，(,1),a,2a，2，(,1),nnn,1nn,1nn,1 n,2a,2a,2. …… a,2a，2，(,1),21n,1n,2 n,1n,1n,22n,1所以 a,2a，2，(,1)，2，(,1)，？，2，(,1)n1 n,1nn,1n,2,2，(,1)[(,2)，(,2)，，(,2)]？ n,12[1,(,2)]n,1n,2,(,1) 3 2n,2n,1,[2，(,1)].3 2n,2n,1经验证a也满足上式，所以 a,[2，(,1)],n,1.1n3 a,2.(?)证明:由通项公式得 4 11311，,[，]当且n为奇数时， n,3n,2n,1aa2，,2121nn，1 n,1n,232，2,，2n,3n,1n,222，2,2,1 n,1n,232，2311,，,(，).2n,3n,2n,122222 111，，？，当为偶数时， m,4且maaa45m 1111113111,，(，)，？，(，),，(，，？，) 34m,4aaaaa22222456m,1m 1311137 ,，，，(1,),，,.m,42242882 11111117当为奇数时，，，？，,，，？，，,. m,4且maaaaaaa845m45mm，1 1117所以对任意整数m>4，有，，？，,. aaa845m22((本小题满分14分) Kk已知数列，且a=a+(,1), a=a+3, 其中k=1,2,3,……. {a}中a,1,2k2k12k+12kn1 (I)求a, a; 35 (II)求{ a}的通项公式. n 14分. 1 解:(I)a=a+(,1)=0, 211 a=a+3=3. 322 a=a+(,1)=4, 432 a=a+3=13, 54 所以，a=3,a=13. 35k (II) a=a+3 2k+12kkk = a+(,1)+3, ,2k1kk 所以a,a=3+(,1), ,2k+12k1,,k1k1 同理a,a=3+(,1), ,,2k12k3 …… a,a=3+(,1). 31 所以(a,a)+(a,a)+…+(a,a) ,,,2k+12k12k12k331,,kk1kk1 =(3+3+…+3)+[(,1)+(,1)+…+(,1)], 31kk 由此得a,a=(3,1)+[(,1),1], 2k+1122 k，131k，(,1),1. 于是a= 2k+122 kk3131,kk1kk，， a= a+(,1)=(,1),1+(,1)=(,1)=1. ,2k2k12222 {a}的通项公式为: n 1n，1n,2312 当n为奇数时，a= n，(,1)，,1;22 nn2312 当n为偶数时， a,，(,1)，,1.n22 22 )(本小题满分,,分) nSa 设数列,,的前项和为，且方程nn 2Sn,,1,1,2,3,... 有一根为xaxa,,,0nnn aa,;I ()求12 aII 的通项公式()求,,n 222(解:(?)当n,1时，x,ax,a,0有一根为S,1,a,1， 1111 12于是(a,1),a(a,1),a,0，解得a,( 111112 12当n,2时，x,ax,a,0有一根为S,1,a,， 22222 1112于是(a,),a(a,),a,0，解得a,( 22221226 2(?)由题设(S,1),a(S,1),a,0， nnnn2即 S,2S，1,aS,0( nnnn 当n?2时，a,S,S，代入上式得 ,nnn1 SS,2S，1,0 ? ,n1nn 1112由(?)知S,a,，S,a，a,，,( 112122263 3由?可得S,( 34 n由此猜想S,，n,1，2，3，…( ……8分 nn，1 下面用数学归纳法证明这个结论( (i)n,1时已知结论成立( k(ii)假设n,k时结论成立，即S,， kk，1 k，11当n,k，1时，由?得S,，即S,， ，，k1k12,Sk，2k故n,k，1时结论也成立( n综上，由(i)、(ii)可知S,对所有正整数n都成立( ……10分 nn，1 n,1n1于是当n?2时，a,S,S,,,， ,nnn1nn，1n(n，1) 11又n,1时，a,,，所以 121×2 n,a,的通项公式a,，n,1，2，3，…( ……12分 nnn，1 21((本小题满分12分) 3,an,1{}a设数列的首项( aan,,,(01)234，，，，，，…n1n2 {}a(1)求的通项公式; n bb,(2)设，证明，其中为正整数( baa,,32nnn，1nnn 3,an,121(解:(1)由 an,,，，，，234…，n2 1 整理得 ( ,,,,aa1(1)nn,12 11,a10,,a{1},a 又，所以是首项为，公比为的等比数列，得 ,1n12 n,11,, aa ,,,,1(1),,n12,, (2)方法一: 3b,0 由(1)可知，故( ,,a0nn2 22bb, 那么， nn，1 22,,,,aaaa(32)(32)nnnn，，11 233,,aa,,,,2nn ,,，,,32(32)aann,,,,22,,,, 9a2n,,(1).an4 22bb,,0a,0a,1 又由(1)知且，故， nn，1nn bbn,， 因此 为正整数( nn，1 方法二: 3由(1)可知， ,,,aa，01nn2 3,an因为， a,，1n2 (3),aannbaa,,,32所以 ( nnn，，，1112 33,a,,na,1由可得， aa(32),,nnn,,2,, 23,a,,2n即 aaa(32),,nnn,,2,, 3,an两边开平方得 ( aaa32,,nnn2 bbn,，即 为正整数( nn，1 20((本小题满分12分) *nSaa,设数列的前项和为(已知，，( nn,NaaS,，3,,n1n，1nn nbS,,3(?)设，求数列的通项公式; b,,nnn *aa?(?)若，，求的取值范围( an,Nnn，1 【解析】 nn(?)依题意，，即， SSaS,,,，3SS,，23，，11，1nnnnnn nn，1由此得( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分 SS,,,32(3)nn，1 因此，所求通项公式为 nn,1*bSa,,,,3(3)2，(? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分 n,Nnn nn,1*Sa,，,3(3)2(?)由?知，， n,Nn 于是，当时， n,2 nnnn,,,112nn,,12aSS,,,，,，,,,，3(3)23(3)2aa,，，,23(3)2a， nnn,1 n,2，，3,,n,2nn,,12,，,2123a， aaa,,，，,43(3)2,,,,nn，12,,,,，，当时， n,2 n,23,,aaa??( ,，,1230,,a?9,,nn，12,, aaa,，,3又( 211 综上，所求的的取值范围是( ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分 a,，,9，，,