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矩阵可交换的条件及其性质.doc

矩阵可交换的条件及其性质

郑繁林
2017-11-15 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《矩阵可交换的条件及其性质doc》,可适用于高等教育领域

矩阵可交换的条件及其性质中文摘要特殊矩阵在矩阵分析和矩阵计算中占有十分重要的地位它们在计算数学、应用数学、经济学、物理学等方面都有着广泛的应用对特殊矩阵的研究取得的实质性的进展都将会对计算数学的发展起着重要的推动作用随着矩阵应用程度的不断加深矩阵的可交换性越来越被学者和技术人员所重视矩阵的可交换性不仅在矩阵计算中起着重要作用而且在卫星通讯等等许多领域也有着直接的应用关键词:矩阵交换矩阵可交换特殊矩阵上三角矩阵数量矩阵ABSTRACTSpecialmatricesplayanimportantroleinmatrixanalysisandmatrixcomputationandhavewideapplicationsincomputationalmathematics,economics,physics,biology,appliedmathematicsandetcGreatprogressobtainedintheresearchersonspecialmatriceswillgiveimprovementsincomputationalmathematicsWiththeapplicationsofmatricesaremoreandmoreabroad,thecommutativityofmatrixismoreandmorerecognitionbyscholarandtechnologyworkerThecommutativityofmatrixnotonlyplaysanimportantpartinthematrixcomputation,butalsointhesecondaryplanet,communicationandotherfieldsKeywords:thecommutantofmatrix,mathematics,exchangeable,specialmatrices,uppertrianglematrices,scalarmatrices矩阵的可交换性在各类矩阵的运算中应用十分重要特别是在现在这种信息时代在卫星通讯、网络安全方面、解码器以及电路系统镇定性问题、路由交换处理器等等都有着不可替代的作用本文主要介绍了矩阵的可交换性质和可交换条件的研究以及矩阵交换的相关概念和基本定义对矩阵可交换的基本定理和一些优美性质进行了叙述和总结以及对一些特殊的矩阵例如数量矩阵、上三角矩阵等等满足可交换条件的矩阵进行了探究在高等代数及线性代数的教学中矩阵是一个重要的教学内容。由矩阵的理AB论可知矩阵的乘法不同于数的乘法矩阵的乘法不满足交换律即当矩阵BAABBA有意义时矩阵未必有意义即使矩阵、都有意义时它们也未必相等。ABBA由于矩阵的乘法不满足满足交换律所以对于研究与的关系有重要意义。AAAB,BABB我们知道若对阶实方阵、如果满足则称、可交换。可n交换矩阵有许多良好的性质研究矩阵可交换的条件及可交换矩阵的一些性质对矩阵理论的研究具有重要的意义(文中的矩阵均指阶实方阵)。n一(基本定义和相关概念以下定义到定义均来自参考文献AAAB,BABB定义若同阶矩阵、有则称与为可交换矩阵AA,a定义阶方阵中若元素a,,i,j,i,j,,,,n称为nijijnn阶对角矩阵记na,,,,a,,A,,,?,,,,ann,,定义主对角线上的元素都是其余元素全是的矩阵nn?,,,,?,,,,????,,,,?,,EE称为阶单位矩阵记为或者在不致引起含混的时候简写为显然有nnAE,AsnnsnEA,AssnsnA定义在阶对角阵中若称此时的a,a,,a,,,,,RnnnAE为数量阵记其中为阶单位阵nA,,E,TTAAAA定义若阶方阵满足其中为的转置阵则称为对A,A,n称阵T,A,AA,a定义若阶方阵满足即nijnnTAAA其中为的转置阵则称为反对称阵a,,ai,j,,,,nijjiEAB,BA,E定义若同阶方阵满足,其中为同阶单位阵则A,B,,A,BB,AAB称与互为逆方阵记逆矩阵或者TTAA,AA,EAE定义若阶方阵满足其中为同阶单位阵则nA称为正交矩阵nnAA,a,Ca定义若阶方阵满足,则称n,,i,j,,,,nijij为正矩阵,ABC定义若对于矩阵、矩阵存在可逆矩阵使得则CAC,B,,TCAC,B,CACCAB称矩阵和矩阵相似这里对于置换矩阵有二(矩阵可交换的充分条件AABB定理设、至少有一个为零矩阵则、可交换AABB定理设、至少有一个为单位矩阵则、可交换AABB定理设、至少有一个为数量矩阵则、可交换AABB定理设、均为对角矩阵则、可交换AABB定理设、均为准对角矩阵则、可交换**AAAA定理设是的伴随矩阵则与可交换,AAA定理设是可逆矩阵则与可交换AAB,EB推论设则、可交换AA,A证明:对任意矩阵均有:表示零矩阵AAE,EAE对任意矩阵均有:表示单位矩阵Ak对任意矩阵均有:为任意实数A(kE),(kE)A、显然成立**AA,AA,A,E,,AA,AA,EAAB,E当时、B均可逆且为互逆矩阵AA是对角元为的对角阵为与同阶定理设B,bai,,,,nijiA的方阵如果则与B可交换ab,ba,i,j,,,,niijijjA定理设,其中为非零实数则、B可交换AB,,A,B,,,证明:由可得AB,,A,B(A,,E)(B,,E),,,E,(A,,E)(B,,E),E即,,(B,,E)(A,,E),E故依推论得,,,BA,,A,,B,,E,,,E于是,所以BA,,A,B,ABmA定理设其中为正整数为非零实数则、m,A,AB,EB可交换m证明:由得A,AB,Em,,A(A,B),Em,故依定理得,(A,B)A,Em于是A,BA,EAB,BA所以可得AAA,ABA,BABAB,定理设可逆若或或则、可交换,,AB,证明:若由可逆得,从而B,(AA)B,A(AB),AB,BABA,故,,A,ABAB,BA若同理可得,故B,(AA)B,A(AB),E,,A,BAAB,BA若,则,故B,B(AA),(BA)A,EABk定理设、均可逆若对任意实数均有则A,(A,kE)BA、B可交换A证明:因、均可逆故由得可逆且BA,kEA,(A,kE)B,,B,(A,kE)A'''',AB,,,,,(A,kE)B(A,kE)A则,'''',,,B(A,kE)A(A,kE)''''',,B(AA,kA)(A,kE)'''',,BA(A,kE)(A,kE)'',BA',(AB)AB,BA两边取转置可得,,,,,,,,,AB,(A,kE)B(A,kE)A或由,,,,B(A,kE)A(A,kE),,,B(A,kA)(A,kE),,,,,B(A,kE)A(A,kE),,,BAAB,BA两边取逆可得定理设阶方阵nA?,,,,A?,,A,,,,?,,,,?AS,,si,,,,s,m其中A为m阶方阵阶方阵n,iii,iBB?B,,s,,BB?B,,s,,????,,,,BB?Bssss,,AABAB,BA,(i,j,,,,s),是与分块方法相同是矩阵若则与可交换iijijj三(矩阵可交换的充要条件A定理下列均是、B可交换的充要条件:)(A,B,(AB)(A,B),(A,B)(AB)()(A,B),A,ABB'''()(AB),AB***()(AB),AB证明:()由及(AB)(A,B),A,ABBA,B可证得(A,B)(AB),AAB,BA,B()由可证得(A,B),A,AB,baB'''AB,BA()分别由两边取转置可证得(AB),AB***AB,BA()分别由两边取伴随可证得(AB),ABAAB定理设阶矩阵、其中有个互不相同的特征根则nnAAB,BAB的充分必要条件是、可同时对角化。AT证明:必要性由于有个互不相同的特征根则存在可逆矩阵n,使得?,,,,,?,,,,TAT,,???,,,,?,n,,AB,BA因为,,,,所以有(TAT)(TBT),(TBT)(TAT),?,,,,,?,,而与可交换的矩阵只能是对角矩阵,,???,,,,?,n,,,TBT故为对角矩阵ATB即存在可逆矩阵使得、同时对角化T充分性由已知存在可逆矩阵使得,,??,,,,,,,,,,??,,,,,,,,,,ATTBTT,,,,??????,,,,,,,,?,?,ns,,,,,,?,,,,,,?,,,AB,TT,BA那么有,,???,,,,?,,nn,,SSS扩展:设是一个矩阵集合中每个矩阵都与对角矩阵相似那么中PS任意两个矩阵是可交换的存在可逆矩阵使得对中所有矩阵,,PZP为对角阵证明:必要性S()先证明当为有限集时结论成立设,,,S,A,A,?,Am用数学归纳法当m,时结论成立当m,时仿定理的必要性易证得T设m,k时成立考虑m,k时:因为可对角化从而存在可逆矩阵A,使得E?,,n,,,E?,,n,TAT,,,,???,,,,?,Enns,,k其中各不相同,,E为阶单位矩阵,,,,?,,nn?n,nkss?AA,AA(i,j,,,?,k)ijji,,,?(TAT)(TAT),(TAT)(TAT),(i,,,?,k)ii()i,,B?,,()iB?,,,TAT,由知为准对角阵i,,????,,()i,,?Bs,,(i)EB且与是同阶矩阵(i,,,?,k)nkk(i)B因为A可对角化那也可对角化由得ki(i)(j)(j)(i)(i,j,,,?,k,l,,,?,s)BB,BBllll,i()QBQ从而由归纳假设知存在可逆矩阵Q,(l,,,?,s)使得llll为对角阵(i,,,?,k)Q?,,,,Q?,,令,,则P可逆且使得P,TRR,,,????,,,,?QS,,i(),,,,,,,,(),,PAPRTAR?为对角阵,,iii,,(),n,,,,,,,,QQE,,n,,,,,,,,PAP,(TAT)?,??也为,,,,,,,,,,,,,,EQQ对角阵snSS,,s,,,,此即时也成立m,knnnnPSSS再考虑为无限集时由于而包含于从而中必存dim(P),n在一个极大无关组其中A,A,?,Am,nm,,,Z,SP则由()知存在使得都是对角阵任意,PAP,PAP,?,PAPm有Z,kAkA?kAmm,,,,为对角阵得证PAP,k(PAP)k(PAP)?k(PAP)mm充分性:利用数学归纳法易证得A,BA,BAB定理均为实对称矩阵则可交换的充分必要条件是、可同时正交对角化A,BA,B证明:必要性由于均为实对称矩阵。则可对角化,,,E?k,,,PAP???,AP所以存在正交矩阵使得其中,是的特征,,i,,?,E值sks,,kk?k,ns,,,,PAP,PBP,PBP,PAPAB,BA由得B?,,,,B?,,,为准对称矩阵PBP?,,,????,,,,?Bs,,由于B可对角化则它的初等因子都是一次的'的初等因子也是一次的所以存在使得RBR为对角R?Biiiii阵令,R???B,,,,,,,,,,,,,??R?B,,,,,,',RR则R,,,,,,,????????????,,,,,,,,,,,,??,B?RSn,,,,S,,为对角阵,,,E?k,,,TAT???,T令,则为正交阵且为对角阵T,PR,,,,?,Esks,,,?,,,,,?,,',TBT,,????,,,,?,n,,A,BT充分性由可同时正交对角化则存在正交阵使得,,??,,,,,,,,,,??,,,,',,,,ATTBTT,,,,????????,,,,,,,,?,?,nn,,,,,,?,,,,,,?,,,AB,TT,BA所以,,???,,,,?,,nn,,,,,AB定理可逆矩阵、可交换的充要条件是(AB),AB,,,AB,BA,证明:分别由两边取逆可证得(AB),ABAABB定理()设、均为(反)对称矩阵则、可交换的充要AB条件是为对称矩阵AA()设、B有一为对称矩阵另一为反对称矩阵则、B可交换的充要条件是AB为反对称矩阵A证明()必要性设、B均为对称矩阵那么有'''AB,因此为对称矩阵(AB),BA,BA,AB'''AAB若、B均为反对称矩阵则,因此也为(AB),BA,(,B)(,A),BA,AB对称矩阵'''AB充分性设、均为对称矩阵则AB,(AB),BA,BA'''A、B均为反对称矩阵则若AB,(AB),BA,(,B)(,A),BA仿()可证()AB定理设、为正定矩阵那么AB,BA,AB正定'''AB,BA证明:必要性由得即是实(AB),BA,BA,AB对称矩阵ABT由于、都是正定的从而都可对角化所以存在可逆阵使得,,??,,,,,,,,,,??,,,,,,,,,,TATTBT,,,,????????,,,,,,,,?,?,nn,,,,其中大于零,,,ii,,?,,,,,,?,,,?,TABT且大于零即为正定,,,ii,,???,,阵,,?,,nn,,AB充分性由是正定阵从而是实对称阵所以'''AB,(AB),BA,BAA,BA定理为阶矩阵且有个互不相同的特征根nnn,BAB,BA,那么是的线性组合E,A,A,?,A证明充分性:显然T必要性:由定理知存在使得,?,,,,,?,,,,TAT,,???,,,,?,n,,,?,,,,,?,,,,,TBT,,???,,,,?,n,,又由拉格朗日内插法知存在唯一的次多项式使得n,f(x)f(,),,,i,,,?,nii,f()?,,,,,f()?,,,于是Tf(A)T,,,????,,,,?f(,)n,,,?,,,,,?,,,,TBT,,,????,,,,?,n,,n,B所以即是的线性组合E,A,A,?,AB,f(A)A,B定理是阶矩阵那么AB,BA,存在nA,A,B,B,,TATTBTT可逆矩阵使得与均为对角阵A,AAP证明必要性:由得可对角化设使得E,,r,,,,PAP,,,,,,,,PAP,PBP,PBP,PAPAB,BA由得,即EE,,,,rr,,所以有,PBP,,,,PBP,,,,,,,,B,,,PBP,,,为阶子块,rB,,B,,BB,,,,,,,,,,,B,B,B,B故即(PBP),PBP,,,,BB,,,,于是存在使得Q,SQEB,,,,,,St,,令T,PR,,,,,,,,,R,,,,SBSQBQ,,,,,,S,,,,,,E,,s,,E,,,,r,,A,B则即可同时对化,,TBT,,,,TAT,,,,Et,,,,,,,,充分性:同定理充分性的证明四(可交换矩阵的一些性质A,B设可交换则有mmkkkllm,k,l性质其中都是正整AB,BA,(AB),AB,AB,BA,数AB,BA证明:由可得mm????AB,ABB,BABB,,BBA,BA,,,,,,,,,个,个个mmmkkkll同理可证(AB),AB,AB,BAAf(B),f(B)AABB性质,其中是的多项式即与的多项f(B)式可交换由性质可证mmm,m,m,性质A,B,(A,B)(AAB?B)m,m,m,,(AAB?B)(A,B)mmkmkk,(AB),CAB)性质(矩阵二项式定理),mk,性质、性质对用数学归纳法可证得mABAB,BA性质设、是阶方阵则存在一个阶可逆矩nn,,PAPPBPP阵使得与同为上三角矩阵性质型如akx,,,,A,,,xa,,的二阶方阵的可交换阵为二阶方阵bky,,,,(其中为任意实数)B,a,b,k,x,y,,yb,,性质型如aa,,,,(且)A,a,a,,a,,的二阶上三角形矩阵的可交换矩阵仍是二阶上三角阵bb,,,,(且其中为a,bi,,j,,B,b,bijij,,b,,任意实数)性质型如aaa,,,,Aaa(且),a,a,a,,,,a,,的三阶上三角形矩阵的可交换矩阵仍是三阶上三角阵bbb,,,,abBbb(且其中为任意实,a,bi,,j,,,b,b,b,,ijijab,,b数),,性质型如bx,,,,A,bx的三阶方阵的可交换矩阵仍是三,,,,b阶方阵,,k,,,,(其中为任意实数)B,kb,k,x,,,,,,性质到是关于比较特殊的二阶、三阶上三角矩阵可交换的性质下边给出的是更一般的关于特殊的阶上三角矩阵可交换的性质naaa?a,,n,,aa?a,,n,,,A,?????型如,,?a,,,,?a,,的上三角形矩阵若约定矩阵的对角线从主对角线向右数起则第一条对角线上的元素皆为第二条对角线上的元素皆为,针对型如aa的矩阵有如下结论:引理与阶方阵n?,,,,?,,,,D,??????,,?,,,,?,,的可交换矩阵型如A阶方阵能同一切型如的阶方阵可交换的充要条性质nnA件是也是型如的阶方阵nA证明:必要性:设方阵能同一切型如的阶方阵可交换则与n?,,,,?,,,,D,??????,,?,,,,?,,A也可交换由引理知为型如的阶方阵n充分性:设bbb?baaa?a,,,,nn,,,,bb?baa?a,,,,n,n,,,,,B,?????A,?????,,,,?b?a,,,,,,,,?a?b,,,,ABBA中是任意数通过矩阵的乘法比较和易证得a,bi,,,,niiAB,BAA性质第一行为的型如的矩阵是可a,a,,a,a,n,逆的且它的逆矩阵仍为主对角线上的元素皆为的型如的矩阵a,Ai,jA,bb,证明:易证是可逆的设其中当时因ijij,,AA,AA由引理及逆矩阵的唯一性得bbb?b,,n,,bb?b,,n,,,,A,?????,,?b,,,,?b,,,,,,AAA,Ib,a,a又因所以故为主对角线上元素皆为的型如的矩阵五(举例设A与所有的阶矩阵均可交换则A一定是数量矩阵例njA,a证明:记用E将第行第列的元素表示为而iijijnnA其余元素为零的矩阵因与任何矩阵均可交换所以必与nnE可交换由得AE,EAa,a(i,j,,,?,n)ijijijiijjA及故是数量矩阵a,(i,j,i,j,,,?,n)iji,j例()设矩阵为对角矩阵其中时A,diag(a,a,?,a)nA,B则可交换的充要条件是为对角矩阵a,a(i,j,,,?,n)Biji,j()设为准对角矩阵其中其中A,diag(aE,aE,?,aE)rrrn,nA,B时是阶单位矩阵则a,a(i,j,,,?,r)nE,iijii,i可交换的充要条件是B为准对角矩阵A,BA,B证明:()若均为对角矩阵则由定理()可知可交i,j换若B与可交换时设a,a(i,j,,,?,n)A,diag(a,a,?,a)ijnAB,(b)AB,(C),BA,(d)因为为对角矩阵ijnnijnnijnn(i,j,,,?,n)AB,BA所以a,ab,d,ab(i,j,,,?,n)由,即C,d得ijiijijjijijiji,j(i,j,,,?,n)(i,j,,,?,n)(a,a)b,而时a,a,故b,ijijijij所以B为对角矩阵仿()不难证明()结论本文针对一般的矩阵不可交换这一性质进行了深入研究对一些特殊的矩阵(如上三角矩阵、数量矩阵等)给出了一些可交换的性质、充分条件和必要条件本文主要参考一些特殊的公式和通过一些特殊的矩阵如对焦矩阵、数量矩阵、上三角矩阵等的研究来对矩阵可交换性的充分条件、充要条件的探讨和总结以及矩阵可交换性的一些优美性质的探讨Inthisthesis,wefocusonthemostmatricesthatcannotbesatisfyingthecommutativityWegivesomequalityandsufficiencyconditionsforsomespecialmatrices,scalarmatricesandsomeuppertrianglematricesInthisthesis,bythestudyofsomespecialformula,matrixsuchas,diagonalmatrixuppertrianglematrixetc,wegetsomesufficiencyconditionsforthecommutantofthematrix,andsomebeautifulqualityaboutcommutativity致谢历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍都在同学和老师的帮助下度过了。尤其要强烈感谢我的论文指导老师王宽小老师他对我进行了无私的指导和帮助不厌其烦的帮助进行论文的修改和改进。另外在校图书馆查找资料的时候图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助。在此向帮助和指导过我的各位老师表示最中心的感谢~感谢这篇论文所涉及到的各位学者。本文引用了数位学者的研究文献如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发我将很难完成本篇论文的写作。感谢我的同学和朋友在我写论文的过程中给予我了很多你问素材还在论文的撰写和排版灯过程中提供热情的帮助。由于我的学术水平有限所写论文难免有不足之处恳请各位老师和学友批评和指正~参考文献倪国熙常用的矩阵理论和方法上海:科学技术出版社王松桂杨振海广义逆矩阵及其应用北京:工业大学出版社高丽一类上三角形矩阵可交换的充要条件滨州师范学院学报():金辉矩阵可交换的充要条件沈阳师范大学学报():周颐等域上方阵乘积可交换的充要条件东北电力学院学报():北京大学数学系高等代数:第二版北京:高等教育出版社,:AB,BA韩锦扬矩阵乘法成立的两个充要条件与一个充分条件J工科数学,,():赵锡英等可交换矩阵兰州工业高等专科学校学报():

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