3泰勒公式

3泰勒 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ?3泰勒公式 教学目的与要求: 会求带有Peano型余项初等函数的Maclaurin掌握带有Peano型余项的Taylor公式; 公式;掌握带有Lagrange型余项的Taylor公式;会求初等函数的带有Lagrange型余 项的Maclaurin公式;Taylor公式在近似计算中的应用。 教学重点，难点: Peano型余项;带有Lagrange型余项的Taylor公式 教学内容: 导数刻画了函数的瞬时变化率，从而描述了函数局部的变化形态. 本节将进一步说明在微分学中值定理的基础上，以导数为工具还可以成功的从整体研究函数的变化状况. 一般地说，一个函数总是容易计算它在某些特殊点处的函数值()，而在这些特殊点f x0 附近的函数值()则难以计算.在微分的应用中，我们给出了用一次线性函数计算函数值f x 的近似计算公式 , . f(x),f(x)，f(x)(x,x)000 这个公式的思想是“以直代曲”，它计算简单(一次函数)，但精度不高，关键是没给出误差估计，仅知道其误差当x?x时是比(x-x)高阶的无穷小，显然不能够满足近似计算时0 0 对误差的要求. 要将“以直代曲”的思想深度推广，就是“以曲代曲”，但要求近似曲线函数必须计算简单，否则毫无价值. 根据这个要求什么样的曲线可以进入我们的视线呢, 由于多项式是一种只涉及到加、减、乘三种运算的，也是比较简单的函数，借助于多项式来研究函数的近似问题无疑会给计算带来很大的方便. 本节探讨的Taylor中值定理提供了用多项式逼近函数的一条途径，并且可以估计误差，从而在理论上和应用中都起着重要的作用. ) 的我们现在的问题是: 是否存在一个关于 (x - xn次多项式 0 2nP(x),a，a(x,x)，a(x,x)，？，a(x,x)， n00200n1 n 使得f (x) 与P(x) 仅相差一个比 (x - x)高阶的无穷小，即 n 0 nf(x),P(x)，,(x,x). 0n 先分析一下——如果存在这样的多项式P(x)，它应是什么样的,关键是确定多项式Pn n (x) 的系数a. 要想让函数f (x) 与多项式P(x) 近似，首先他们在点x处的值应相等，k n 0即 () = (); 其次由于它们的弯曲程度应尽量一致，这要求在点附近它们的各f xPxx0n 00级变化率应一致，因而猜想应有 ()()kkf(x),P(x)(k,1,2,？,n) . 00n 因为 (n),,,,,P(x),a,P(x),a,P(x),2a,P(x),3!a,？,P(x),n!a， n000102030nnnnn 所以 ()n()fx,f(x)00n,(),(),,,afxafxaa,,,？,n00102 n2!! n(),,f(x)f(x)00n2,,P(x)f(x)，f(x)(x,x)，(x,x)，？，(x,x) (*) ,,n00000n2!! 也就是说，在函数f (x) 在含x的某开区间内具有直到n阶的导数的条件下，f (x)的近似0 多项式就应形如公式(*)，我们称公式(*)为函数f(x)的在点x处的泰勒多项式. 0 显然，只要函数f (x) 在含x的某开区间内具有直到n阶的导数，就可以得到其泰勒0 多项式P(x). n 现在的问题是: 可以用函数f(x)的泰勒多项式P(x)来近似表达函数自己吗,f(x) n 这个问题的等价说法是什么, 它等价于问，用泰勒多项式()来近似表达函数，Pxf(x)n 其余项是什么, 一 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 x我们在学习导数和微分概念时已经知道，如果函数在点可导，则有 f0 f(x),f(x)，f'(x)(x,x)，o(x,x) 0000 f(x)，f'(x)(x,x)(x,x)x即在点附近，用一次多项式逼近函数f(x)时，其误差为00000 的高阶无穷小量。然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二 no((x,x))n次的多项式去逼近，并要求误差为，其中为多项式的次数，为此，我们考察0 n任一次多项式 2nP(x),a，a(x,x)，a(x,x)，？，a(x,x). (1) 010200nn x逐次求它在点处的各阶导数，得到 0 (n),,P(x),a,p'(x),a,p(x),2!a,？,p(x),n!a,. n00n01n02n0n即 ()n,,p'(x)p(x)p(x)000nnnap(x),a,a,,a,,,？, 0012nn1!2!n! p(x)x由此可见，多项式的各项系数由其在点的各阶导数值所唯一确定。 n0 xnnf对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数。同这些导数构造一个次多项式 0 ,,f'(x)f(x)200T(x),f(x)，(x,x)，(x,x)，？ n0001!2! (n)f(x)n0，(x,x), (2) 0n! ()kf(x)0T(x)(k,1,2,？,n)xf称为函数在点处的泰勒(Taylor)多项式，的各项系数称n0k! T(x)x为泰勒系数。由上面对多项式系数的讨论，易知与其泰勒多项式在点有相同f(x)n0 的函数值和相同的直至n阶导数值，即 ()()kkf(x),T(x),k,0,1,2,？,n (3) 00n nf(x),T(x),o((x,x))下面将要证明，即以(2)式所示的泰勒多项式逼近时，f(x)n0 n(x,x)其误差为关于的高阶无穷小量。 0 nf(x),T(x)，o((x,x))xn定理6.8 若函数在点存在直至阶导数，则有，即 fn00 ,,f(x)20 f(x),f(x)，f'(x)(x,x)，(x,x)，？00002! (n)f(x)nn0，(x,x)，o((x,x)), (4) 00n! nf(x),T(x),o((x,x))(析) 要证明(4)式成立, 只需证明 n0 设 nR(x),f(x),T(x),Q(x),(x,x)， 0nnn 则只需证 R(x)nlim,0 ,xx0Q(x)n 由关系式(3)可知， ()nR(x),R'(x),？,R(x),0, 000nnn 并易知 (1)()n,nQ(x),Q'(x),？,Q(x),0,Q(x),n! 0000nnnn n()f(x)xU(x)f因为存在，所以在点的某邻域内存在阶导函数。于是，当n,1000 ,x,U(x)x,x且时，允许接连使用洛必达法则次，得到 n,100 (n,1)R(x)R'(x)R(x)nnn limlimlim,,？,(n,1)x,xx,xx,x000Q(x)Q'(x)Q(x)nnn (1)(1)()n,n,nf(x),f(x),f(x)(x,x)000 ,limx,x0n(n,1)？2(x,x)0 (1)(1)nn,,，，,f(x)f(x)1()n0 ,,limf(x)0,,xx,0,n!xx0，， =0 ? R(x),f(x),T(x)注1x 定理所证的(4)式称为函数在点处的泰勒公式，称fnn0 no((x,x))为泰勒公式的余项，形如的余项称为佩亚诺(Peano)型余项。所以(4)式又0 称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式。 x注2 若在点附近满足 f(x)0 nf(x),p(x)，o((x,x)), (5) n0 p(x)np(x)其中为(1)式所示的阶多项式，这时并不意味着必定就是的泰勒多项式fnnT(x).例如 n ，n1f(x),xD(x),n,N, ， 其中D(x)为狄利克雷函数。不难知道，f(x)在处除了f'(0),0外不再存在其他任x,0 T(x)何阶导数(为什么,)。因此无法构造出一个高于一次的泰勒多项式, 但因 n f(x), lim,limxD(x),0nx,0x,0x nf(x),o(x)即，所以若取 2np(x),0，0,x，0,x，？，0,x,0 n n,N时，(5)式对任何恒成立。 ， np(x)注3 满足(5)式要求(即带有佩亚诺型误差)的次逼近多项式是唯一的。 n f注4 综合定理6.8 和上述注2，若函数满足定理6.8的条件时，满足(5)式要求 T(x)p(x)f的逼近多项式只可能是的泰勒多项式。 nn x,0注5 以后用得较多的是泰勒公式(4)在时的特殊形式: 0 (n),,f(0)f(0)2nnf(x),f(0)，f'(0)x，x，？，x，o(x). (6) 2!n!它也称为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林(Maclaurin)公式。 例1 验证下列函数的麦克劳林公式: 2nxxxne,1，x，，？，，o(x);(1) 2!n! 352m,1xxxm12m,sinx,x,，，？，(,1)，o(x);(2) 3!5!(2m,1)! 242mxxxm2m，1cosx,1,，，？，(,1)，o(x)(3); 2!4!(2m)! 23nxxxn,1nln(1，x),x,，，？，(,1)，o(x);(4) 23n (,1)(,1)(,n，1),,,,？,,2nn(5) (1，x),1，x，x，，x，o(x);？,2!n! 12nn(6)。 ,1，x，x，？，x，o(x)1,x 证 这里只验证其中两个公式，其余请读者自行证明。 k,(k)(2)设，由于，因此 f(x),sinx(),sin(，),fxx2 (2k)(2k,1)k,1f(0),0,f(0),(,1),k,1,2,？,n 把它们代入公式(6)，便得到的麦克劳林公式。需要说明的是:由于这里有sinx 2m,12mT(x),T(x)o(x)o(x)，因此公式中的余项可以写作，也可以写作。关于公式2m,12m (3)中的余项可作同样说明。 (4)设f(x),ln(1，x)。由于 1(k)k,1,k，因此 f'(x),,？,f(x),(,1)(k,1)!(1，x),k,1,2,？,n.1，x (k)k,1f(0),(,1)(k,1)!,k,1,2,？,n 把它们代入公式(6)，便得的麦克劳林公式。 ? 注 利用上述麦克劳林公式，可间接求得其他一些函数的麦克劳林公式或泰勒公式，还 可用来求某种类型的极限。 2x,(98)(99)2f(0)f(0)例, 写出的麦克劳林公式或泰勒公式，并求与 f(x),e 2x(,)x解 用替换公式(1)中的，便得 2 2x242n,xxxn2n2e,1,，，？，(,1),，o(x) 2n22,2!2n! 根据定理6.8注2，知道上式即为所求的麦克劳林公式。 9998f(x)由泰勒公式系数的定义，在上述的麦克劳林公式中，x与x的系数分别为 111(98)49(99)f(0),(,1),f(0),0. 4998!99!2,49! 98!(98)(99)由此得到 f(0),,,f(0),0.492,49! 例3 求处的泰勒公式( lnx在x,2 x,2解 由于 ,,lnx,ln2，(x,2),ln2，ln(1，),因此2 1112n,1nnlnx,ln2，(x,2),(x,2)，？，(,1)(x,2)，o((x,2))2n 22,2n,2 根据与例,的相同的理由，上式即为所求的泰勒公式( ? 2x,2cosx,e例, 求极限 lim40x,x 解 本题可用洛必达法则求解(较繁琐，)在这里可应泰勒公式求解，考虑到极限式的 4分母为，我们用麦克劳林公式表示极限的分子(取，并利用例,): xn,4 24xx5cosx,1,，，o(x), 224 2x24,xx52e,1,，，o(x), 28 2x4,x52cosx,e,,，o(x) 12 因而求得 21x45,xo(x),，2cosxe1,12 limlim,,,44x,x,0012xx 二 带有拉格朗日型余项的泰勒公式 n上面我们从微分近似出发，推广得到用次多项式逼近函数的泰勒公式(4)。它的佩亚 n(x,x)x,x诺型余项只是定性地告诉我们:当时，逼近误差是较高阶的无穷小量，现00 在我们将泰勒公式构造一个定量形式的余项，以便于对逼近误差进行具体的计算或估计。 nf[a,b](a,b)定理6.9(泰勒定理)若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存 x,x,[a,b](n，1),,(a,b)在阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点，使得 0 ,,f(x)20f(x),f(x)，f'(x)(x,x)，(x,x)，？ 00002! (n)(n，1)f(x)f(,)nn，10，(x,x)，(x,x) (7) 00n!(n，1)! (析) 作辅助函数 (n)f(t)nF(t),f(x),[f(t)，f'(t)(x,t)，？，(x,t)]， n! n，1G(t),(x,t) 所要证明的(7)式即为 (1)n，(n，1),f()F(x)f(),0F(x)G(x),或 ,00(n，1)!G(x)(n，1)!0 x,x[x,x](x,x)不妨设，则F(t)与G(t)在上连续，在内可导，且 000 (n，1)f(t)nF'(t),,(x,t), n! nG'(t),,(n，1)(x,t),0 又因F(x),G(x),0，所以由柯西中值定理可证得结论成立. 注1(7)式同样称为泰勒公式，它的余项为 (n，1)f(,)n，1R(x),f(x),T(x),(x,x), nn0(n，1)! ,,x，,(x,x)(0,,,1)， 00 称为拉格朗日型余项。所以(7)式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式。 注2 注意到时，(7)式即为拉格朗日中值公式 n,0 f(x),f(x),f'(,)(x,x) 00 所以，泰勒定理可以看作拉格朗日中值定理的推广。 x,0注3 当时，得到泰勒公式 0 (n),,f(0)f(0)n2f(x),f(0)，f'(0)x，x，？，x 2!n! (n，1),f(x)n，1，x(0,,,1) 。 (8) (n，1)! (8)式也称为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式。 例5 把例1中六个麦克劳林公式改写为带有拉格朗日型余项的形式。 x(n，1)xf(x),e,f(x),e,解 (1)由得到 2n,xxxexn，1,1，，，，，ex？x ， 2!!(，1)!nn 0,,,1,x,(,,,，,) 2m，1,,(2m，1)mf(x),sinx，,,(,1)cosx,(2)f(x),sinx，由 ,,2,,得到 352m,1xxxm,1sinx,x,，,？，(,1) 3!5!(2m,1)! ,cosxm2m，1，(,1)x,0,,,1,x,(,,,，,) (2m，1)!(3)类似于，可得 sinx 242mxxxmcosx,1,，，？，(,1) 2!4!(2m)! ,cosxm，12m，2，(,1)x,0,,,1,x,(,,,，,) (2m，2)! (n，1)n,n,1f(x),(,1)n!(1，x)f(x),ln(1，x)(4)，由，得到 23nxxx,n1xxln(1，),,，，？，(,1) n23 n，1xn，(,1),0,,,1,x,,1 n，1(n，1)(1，x), ,(n，1),,n,1f(x),(1，x)f(x),,(,,1)？(,,n)(1，x),(5),由 得到 (1)(1)(n1),,,,,,？,,，,2n (1x)1xxx，,，，，？，,2!n! ,,,(,1)(,n)？,,n,1n，1，(1，,x)x , 0,θ,1,x,-1. (n，1)! 1(n，1)!(n，1)(6)f(x)=,由f(x)=,得到 n，21,x(1,x) n，11x2n， ,1，x，x，,,,，x，n，21,x(1,,x) 0,θ,1,x,1. ? 注 泰勒公式的拉格朗日型余项和佩亚诺型余项具有以下不同特点: xn从定理的条件看, 泰勒公式的佩亚诺型余项成立的条件是函数f在点存在直至阶0 n导数; 而拉格朗日型余项成立则要求函数f[a,b]在上存在直至阶的连续导函数，在(a,b)(n，1)内存在阶导函数; 后者所需条件比前者强. no((x,x)) 从余项形式看,佩亚诺型余项是以高阶无穷小量的形式给出的,是一种定0 (n，1)性的描述;而拉格朗日型余项是用阶导数形式给出的,利用这类余项对用泰勒多项式逼近函数时产生的误差可以给出定量的估计. 从证明 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 看,佩亚诺型余项是用洛必达法则证明的;而拉格朗日型余项是用柯西中值定理证明的. 从应用方面看,佩亚诺型余项在求极限时用得较多;而拉格朗日型余项在近似计算估计误差时用得较多. f在适当加强的条件下,可由拉格朗日型余项推得佩亚诺型余项的结论, 即: 若函数 x(n，1)在点的某个邻域上存在阶连续导函数, 则由泰勒公式的拉格朗日型余项可推导出0 佩亚诺型余项公式. 三 在近代似计算上的应用 这里只讨论泰勒公式在近似计算上的应用。在?4，?5两节里还要借助泰勒公式这一 工具去研究函数的极值与凸性。 -6例6 (1)计算e的值，使其误差不超过10; (2)证明数e的无理数。 解 (1)由例5公式(1)，当x=1时有 ,e111e,1，1，，，？，，(0,,,1). (9) nn2!3!!(，1)! ,e3R(1),,故，当n=9时，便有 n(n，1)!(n，1)! 33,6。 R(1),,,10910!3628800 R(1)而求得e的近似值为 从而略去9 111e?1+1+. ，，？,2.7182852!3!9! (2)由(9)式得 ,en!e,(n!，n!，3,4？n，？，n，1),.. n，1 ,pe倘若e=(为正整数)，则当时，为正整数，从而上式左边为整数，因为p,qn,qn!eqn，1 e3，，，所以当n?2时右边为非整数，矛盾，从而e只能是无理数。 n，1n，1 ,3例7 用泰勒多项式逼近正弦函数(例5中的(2)式)，要求误差不超过，试以10sinxm,1 x和两种情形分别讨论的取值范围。 m,2 解(?)时，,使其误差满足 m,1sinx,x 3cos,x|x|3,3|R(x)|,x,,10。 23!6 ,,,,x|x|,0.1817只须(弧度)，即大约在原点左右102440范围内以近似,其误差不超sinx ,3过10。 3xx,x,sin(?)时, ,使其误差满足: m,26 5x||cosx, 5,3|R(x)|=||R(x)|,|x|,,10.445!5! ,,,,|x|,0.6543只需(弧度)，即大约在原点左右372938范围内，上述三次多项式逼近的误 ,3差不超过。 10 如果进一步用更高次的多项式来逼近,x能在更大范sinx围内满足同一误差，图6-6就是正弦函数与其泰勒多项式(m=1,2,3,4,5)在原点附近的逼近差异情况。 复习思考题、作业题: 1(2),2(1)(2),3(1)