直线和坐标轴围成的三角形面积问题

直线和坐标轴围成的三角形面积问题直线和坐标轴围成的三角形面积问题北京十一学校张留杰在学习《直线的方程》时大家曾遇到过这样一道题: lyx引例:直线经过点且与轴正半轴和轴正半轴分别交 P(3,2) ABl 于、两点，当?面积最小时求直线的方程。 AOB 此题主要是考查直线方程的几种形式的应用和有关最小值问题，首先要考虑设直线方程的哪种形式,其次如何求?面积最小值, AOB k】直线经过一定点，自然想到设直线的点斜式方程，然后用直线的斜率分【分析1P(3,2) k别表示线段、的长，于是构造出?面积与的函数关系，然后求出当取最OAOBAOB...

直线和坐标轴围成的三角形面积问题北京十一学校张留杰在学习《直线的方程》时大家曾遇到过这样一道题: lyx引例:直线经过点且与轴正半轴和轴正半轴分别交 P(3,2) ABl 于、两点，当?面积最小时求直线的方程。 AOB 此题主要是考查直线方程的几种形式的应用和有关最小值问题，首先要考虑设直线方程的哪种形式,其次如何求?面积最小值, AOB k】直线经过一定点，自然想到设直线的点斜式方程，然后用直线的斜率分【分析1P(3,2) k别表示线段、的长，于是构造出?面积与的函数关系，然后求出当取最OAOBAOBSS k小值时的即可。 l〖解法1〗设直线的方程为，?的面积为 y,2,k(x,3)AOBS 2yx ?直线与轴正半轴交点A(3,,0), 轴正半轴交点 B(0,2,3k) k 11212S,|OA|,|OB|,|3,|,|2,3k|,(3,)(2,3k) ? 22k2k k ,显然不是的二次函数～根据关系式特点想到重要不等式, S 1414S,[12，(,9k,)],6，(,9k,) 即 2k2k ,注意重要不等式成立的条件不可忽视:, lyx ?直线与轴正半轴、轴正半轴分别相交 44(,9k),(,),36 ? ?,9k,0,,,0，又为定值 k,0,kk 14S,6，，2(,9k)(,),12 ? 2k 42,9k,,k,, 当且仅当即时，等号成立 k3 2ly,2,,(x,3) ??面积最小值为12，此时直线的方程为 AOB3 即 2x，3y,12,0 kk(此外，在设斜率为时，还可以构造关于的一元二次方程，利用判别式?解得，,0S,12所求方程仍为，这里从略) 2x，3y,12,0 yx【分析2】由直线与轴正半轴和轴正半轴分别相交，可设截距式方程且两截距为正值，然后利用均值定理求?面积最小值，从而求出截距的值。 a,bAOB xyl，,1〖解法2〗设直线的方程为 ( a,0,b,0)ab 1 32 又直线过点， ? ，,1P(3,2) ab 232,,，,,32321ab,,，,, ? ? ? ,0,,0ab,24ab24,,ab,,,, 321,, 当且仅当即时取等号 a,6,b,4ab2 1S,ab ??面积最小值为=12， AOB2 xyl，,1 此时直线的方程为即 2x，3y,12,064 比较两种解法可知解法1在用均值定理时必须注意隐含条件否则就会出现k,0, 323249k，,236,12“”这样的错误;解法2则利用，,1且,0,,0求出了kabab面积的最小值。 ,对问题的解决过程进行回顾与反思, 细心的同学是否已发现所求结果和已知条件之间的必然联系呢,经过观察发现 2，2,4lyx且直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，即点S,2，3，2,122，3,6 PABP为线段的中点，而已知条件中唯一的数据就是点的坐标，由此可见这并非偶然，下 ll面不妨将引例中的条件“直线经过点”引申为“直线经过点”看结论P(3,2)P(m,n)如何,于是得 lyx问题1. 直线经过点且与轴正半轴和轴正半轴分别 P(m,n) ABl 交于、两点，当?面积最小时求直线的方程。 AOB 【分析】由题意可知，所以设直线的截距式方程较方便. m,0,n,0 xyl，,1 解:设直线的方程为 ( a,0,b,0)ab mn，,1 又直线过点， ? P(m,n) abmn ,0,,0 由题意可知 ? m,0,n,0 ab 2mn,,，,,mn1ab,,，,, ? ? ab,4mnab24,,,,,, 11S,|OA|,|OB|,ab,2mn ? ,AOB22 2 mn1 当且仅当,, 即时以上等号成立. a,2m,b,2nab2 l ??面积最小值为，此时直线的方程为 S,2mnAOBmin xy，,1 即 . nx，my,2mn,02m2n 由此可得: Plyx结论1:已知第一象限内任一点，过点的直线交轴正半轴和轴正半轴分别P(m,n) ABPAB交于、两点，则当且仅当点为线段的中点时?面积最小值为，S,2mnAOBmin l此时直线的方程为。 nx，my,2mn,0 ,结论1的得出一定会引起同学们的进一步思考, ABy 如果我们将条件中的点、点、点关于轴做对称点，则直线在第二象限P(m,n) 内与坐标轴所围成的?面积取得最小值的条件是否发生变化,面积最小值又为多少, AOB P?面积最小时的直线方程又是什么,若点在第三、第四象限呢, AOB 于是可引申出: Pll问题2. 已知直线过点，求直线在点所在象限内与两坐标 (mn,0)P(m,n) 轴围成的三角形面积的最小值，并求此时的直线方程。 P【分析】由于题目中没有给出点所在象限，所以若设直线的截距式方程进行求解分类比较复杂;如果设点斜式方程，则可按斜率和两种情况分类。 k,0k,0 l 解:由题意可知直线的斜率存在，设所求直线的方程为: ， y,n,k(x,m) PAl直线在点所在象限内与两坐标轴围成的三角形是?，其中点在 AOB nByxA(m,,0),B(0,n,mk)轴上，点在轴上， ? k 11n ??面积S,|OA|,|OB|,|m,|,|n,mk| AOB22k l (1)当时，所求直线在两坐标轴上的截距异号， k,0 2nn112S,,m,n,mk,,mn，mk，()()() ? kk22 2n2mk,0,,0 又由题意可知当时，又 k,0mn,0 k 21n2S,,mn，，2mk，,,mn，|mn|,,2mn,2|mn| ? 2k 2nn2,mkk,, 当且仅当即时等号成立 km 3 l ? ?面积最小值为，此时直线的方程为 S,2|mn|AOBmin n y,n,,(x,m) 即 . nx，my,2mn,0m l (2)当时，所求直线在两坐标轴上的截距同号， k,0 2nn112S,m,n,mk,mn，,mk,()()() ? kk22 2n2,mk,0,,,0 又由题意可知当时，又 k,0mn,0 k 21n2S,mn，，2,mk，(,),mn，|mn|,2mn,2|mn| ? 2k 2nn2,,,mkk,,当且仅当即时等号成立 km l ??面积最小值为，此时直线的方程为 S,2|mn|AOBmin ny,n,,(x,m) 即 . nx，my,2mn,0m nPPABk,,综上所述，无论点在第几象限，当且仅当直线的斜率(或为线段 m l 的中点)时，?面积最小值为，此时直线的方程为 S,2|mn|AOBmin 。 nx，my,2mn,0 所以可得 PPl结论2:已知不在坐标轴上的任一点，则直线过点，且在点所在象限内与两P(m,n) nlk,,坐标轴围成的三角形面积最小的充要条件是直线的斜率，此时三角形面积最小值m l为，直线的方程为。 nx，my,2mn,0S,2|mn|min 4

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