§71假设检验的基本思想与概念

§71假设检验的基本思想与概念 第七章 假设检验 ?7.1假设检验的基本思想与概念 1. 假设检验的基本思想及推理方法 X对总体的概率分布或分布参数作某种假设，然后根据抽样得到的样本观测值，运用数理统计的分析方法，检验这种假设是否正确，从而决定接受或拒绝假设. 这样的统计推断过程就是假设检验。 例7.1.0 某工厂在正常情况下生产电灯泡的使用寿命(单位:小时)服从正态分布 2N(1600,80)。某天从该厂生产的一批灯泡中 x,1548随机抽取10个，测得它们的寿命均值小时。如果灯泡寿命的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 差不变，能否认 ,,1600为该天生产的灯泡寿命均值小时, 解:已知该天生产的灯泡的寿命 2,,80XN~(,),,，且，要求检验下面的假设 00 ,,H:,,H:1600,,,, 1000 H称假设为原假设(或零假设)，称假0 H设为备择假设。假设检验的目的就是要在1 原假设与备择假设之间选择其一: 第七章 假设检验 HH若拒绝原假设，则接受备择假设;否则01 H就接受。 0 为此，我们必须先从样本出发，构造一 tW个合适的检验统计量与拒绝域，然后根 (,,,)xxx据样本观测值作判断: 12n H(,,,)xxxW,当时拒绝原假设，接受备择012n HH假设;否则(暂时)接受原假设。 01 ,X我们知道，样本均值是总体均值的 X“好”的估计，可以选取作为检验统计量; 根据备择假设，拒绝域应该形如 WXC,,,{||},C，其中临界值由下式确定: 0 PXCH{||},,,,,， 00 ,这里为给定的显著性水平. 由?5.4定理5.4.1(2)知， H0X,,0~(0,1)uN,，于是 /n,0 ,,||X,,C,,0PXCHPH{||},,,,,,,,,000， //nn,,,,00,, ,C0,uCu,,,1,1,因此，故。 22,/nn0 第七章 假设检验 ,,0.05取显著性水平，拒绝域为 ,,||X,,,,0WXCuu{||}||1.96,,,,,,,,,,,0,1。 2/n,,,0,, 现在抽样检查的结果是 |15481600|, ||2.061.96u,,,，即样本观测值落80/10 H入拒绝域，因此，应当拒绝原假设，接受0 H备择假设，即认为该天生产的灯泡的寿命1 ,,1600均值小时。 注:(1) 假设检验是根据小概率事件的实际不可能性原理来进行推断的。在原假 (,,,)xxxW,H设成立时，是小概率事件。12n0 若小概率事件竟然发生，我们就有理由怀疑 H前提假设，从而作出拒绝原假设的判断。 0 (2) 假设检验的结论与选取的显著性 ,水平有关。上例中，若改取显著性水平,,0.01，则拒绝域变为 ,,||X,,,,0Wuu||2.58,,,,,,,,1， 2/n,,,0,, H此时没有充分理由拒绝原假设，即可0 ,,1600认为该天生产的灯泡寿命均值小时. 第七章 假设检验 2. 假设检验的两类错误 总体 HH 01 (,,,)xxxW,样犯第一类, 12n 本 错误 (,,,)xxxW,犯第二类, 12n 错误 H(1) 第一类错误 ——“拒真” ，即原假设0 H实际是正确的，但却错误地拒绝了。 0犯第一类错误的概率为 PxxxWH((,,,)|),,,120n; H(2) 第二类错误——“受伪”，即原假设实0 H际是不正确的，但却错误地接受了。 0犯第二类错误的概率记为 PxxxWH((,,,)|),,,121n. 犯两类错误的概率当然是越小越好，但 ,,,当样本容量固定时，不可能同时把都减到很小。 第七章 假设检验 3. 显著性假设检验问题 Neyman-Pearson原则: ,在控制犯第一类错误的概率的条件 W下，寻找检验法则(或拒绝域)，使得 ,犯第二类错误的概率达到最小。 于Neyman-Pearson原则的最优检验基 不一定存在。 ,如果只控制犯第一类错误的概率，而 ,不考虑犯第二类错误的概率，那么寻找拒 HHW绝域只涉及原假设，而与备择假设01无关，这种统计假设检验问题称为显著性检 ,验问题，此时又称为检验的显著性水平。 4. 显著性假设检验的一般步骤 H(1) 根据实际问题提出原假设与备择假0 H设，即说明要检验的假设的内容; 1 t(2) 选取适当的检验统计量，并在原假设Ht成立的条件下确定该检验统计量的分0 布; (3) 根据问题的需要适当选取检验的显著 ,W性水平(一般较小)，确定拒绝域; 第七章 假设检验 t(4) 根据样本观测值计算检验统计量的 H值，从而对是否拒绝原假设作出判断。 0 例7.1.1 某厂在正常情况下生产的合金强度 N(,16),,服从正态分布，其中不低于110(Pa)。某天随机抽取25块合金，测得它 x,108们的强度均值(Pa)。试问当日生产是否 ,,0.05正常,(显著性水平) XN~(,16),解:已知总体，要检验假设 HH:110:110,,,,, 01 X,110u,可选取检验统计量 ; 4/n ,,0.05在显著性水平下的拒绝域为 Wuu,,,,1.645,,。 , 现在抽样检查的结果是 108110,u,,,,,2.51.645， 4/25 即样本观测值落入拒绝域，因此，应当拒绝 HH原假设，接受备择假设，即:在显著性01 ,,0.05水平时可认为当日生产不正常。 第七章 假设检验 ?7.2 正态总体参数的假设检验 (,,,)XXX12n设样本取自总体 2 XN~(,),,，样本均值及样本方差分别 nn1122SXX,,()XX,,,ii为，. n,1n,,11ii 1.关于正态总体均值的假设检验 表 1 原 备择 检拒绝域 检验统计 假设假设验条件 量 W HH法 0 1 u X,,|u|,u,,,,,,000 1,,2 u, 检,n0,,, 0,,,,,,u,u00 H验 1,,0 ~(0,1)N ,,,,,,u,,u0 0 1,, |t|,t(n,1),1,2, t ,,,,,,X,,00 0 t,检未知 Snt,t(n,1),,,,,,1,,0 0 验 H0 t,,t(n,1)~(1) 1,,tn,,,,,,,00 第七章 假设检验 例1 已知某种电子元件的平均寿命为3000小时。采用新技术后抽查20个，测得电子元件寿命的样本均值 x,3100s,170小时，样本标准差小时。设电子元件的寿命服从正态分布，试问采用新技术后电子元件的平均寿命是否有显著提高,(取显著性水平,,0.01) 解:设采用新技术后电子元件的寿命 2XN~(,),,，依题意，要检验的假设是 ,,H:,,H:3000,,,,1000 , 因为未知，所以应选取检验统计量 H0X,,0 ~(1)ttn,, ; Sn ,,0.01在显著性水平下的拒绝域为 ,,W,t,t(n,1),t(19),2.541,,0.99。 计算检验统计量t的观测值得: 第七章 假设检验 ,,x31003000,0t,,,2.63 。 sn17020 t,t(n,1)1,,因为，所以在显著性水平 H,,0.01下，拒绝原假设，接受备择假0 H设，即可认为采用新技术后电子元件1 的平均寿命有显著提高。 例2 从甲地发送讯号到乙地，甲地 ,发送的真实讯号值为，而乙地收到的 2N(,),,讯号值是服从正态分布的随机变量。现甲地重复发送同一讯号9次， 8.15乙地收到的讯号平均值为，标准差 0.2为，试问乙地是否有理由猜测甲地发送的讯号值为8,如果已知 ,,,,0.220，结论又该如何呢,(取显著 ,,0.05性水平) 解 设乙地收到的讯号值 2XN~(,),,，依题意，要检验的假设是 第七章 假设检验 HH:8:8,,,,,,,001 ,(1)因未知，故应选取检验统计量 H0X,,0~(1)ttn,, ; Sn ,,0.05在显著性水平下的拒绝域为 ,,W,|t|,t(n,1),t(8),2.3061,,20.975。 计算检验统计量t的观测值得: |8.158|, ||2.25t,,||2.306t,。因为，所以0.29 ,,0.05在显著性水平下，没有充分理由 H拒绝原假设，即可猜测甲地发送的讯0 号值为8。 ,,,,0.22(2)如果已知，则应选取0 检验统计量 H0X,,0~(0,1)uN, 2; n,0 ,,0.05在显著性水平下的拒绝域为 ,,W,|u|,u,1.961,2,。 第七章 假设检验 计算检验统计量的观测值得: ||x,,|8.158|,0||2.05u,,, 22。 n0.229,0 ||1.96u,，所以在显著性水平因为 H,,0.050下，拒绝原假设，接受备择H假设，即可认为甲地发送的讯号值不1 。 为8 第七章 假设检验 续 表 1 检备择 原假检验统 W验条件 拒绝域假设 H设 计量 0 H法 1 ,,,,,, 0 X,,0|u|,u01,,2u, ,nu 0 ,,,,,,,,, 00 0u,u检1,, ,,,,,,验 0 0u,,u1,, ,|t|,t(n,1),,,,,, 1,2 , 0 X,,00t, Sn,,,,,,未知 t 0 0t,t(n,1)1,, 检 ,,,,,,t,,t(n,1) 0 01,, 验 ,,,证明第二行:(1)若，则统计量0 ,X,0u~N(0,1),P(u,u),,，故; ,,n0 第七章 假设检验 ,X, ~N(0,1),,,(2) 若，因为，故0,n0 ,X, P(,u),,,，于是n,0 ,,X,X,0P(u,,u),P(,u),,,,。 nn,,00 第七章 假设检验 注:假设检验与置信区间的一一对应关系: ,,,,,,1(时关于正态总体均值00 ,的双侧检验问题的(显著性)水平为的(显著性)检验的接收域为 ,,,X,,,0W|u| u,,,,,1,,2 ,n,,0,, ,,,,00,,,,，XuXu,,,1,,201,,2 nn,, ,,，，00,，Xu,Xu,而正是正态总体均值1,21,2,,,,nn，， 1,,的置信水平为的置信区间。 ,,,,2(未知时关于正态总体均值0 ,的双侧检验问题的(显著性)水平为的(显著性)检验的接收域为 ,,,X,,,0,,,,W|t| t(n1) ,,1,2, Sn,,,, SS,,,,,,,，,Xt(n1),Xt(n1),,1,,201,,2 nn,, SS，，,,，,Xt(n1),Xt(n1)而正是正态总体1,,21,,2,,nn，， ,1,,均值的置信水平为的置信区间。 第七章 假设检验 2.关于正态总体方差的假设检验 表 2 检验原假备择 检验统计 W 拒绝域 HH法 设 假设 量 01 222222,,,,,,,,,(n,1) ,002 22或(1)nS,2, ,, 222,,,,(n,1)0 ,,12检验 222222,,,,,,,,,(n,1) ,,001 222222,,,,,,,,,(n,1) ,00 第七章 假设检验 例3 自动车床加工的某种零件的直 2XN~(,),,径(单位:)服从正态分布，原来的加工精度。经过一段时间后，需要检验是否保持原有加工精度，为此，从该车床加工的零件中抽取30个，测得数据如下: 零件9.2 9.4 9.6 9.8 10.0 10.2 10.4 10.6 10.8 直径 频数 1 1 3 6 7 5 4 2 1 问加工精度是否变差(显著性水平,=0.05)? 解:要检验的假设是 2222 H:,,0.09,H:,,,,,0010 应选用检验统计 22,,,022(1)nS,2,~,(n,1),量 2。 ,0 ,,0.05在显著性水平下的拒绝域为 222W,{,,,(n,1),,(29),42.6},,。 10.95 2s,0.1345 由样本观测值计算得，从而检验统计量的观测值 第七章 假设检验 (30,1)，0.134522,,,43.3,42.6,为: 。因为，0.09 ,,0.05下，应拒绝原假所以在显著性水平 HH设，接受备择假设，即可认为该自01 动车床的加工精度变差了。 第七章 假设检验 二、两个正态总体参数的假设检验 2X,？,XN(,),,设样本取自正态总体，样1m11 2Y,？,YN(,),,本取自总体，两样本相互独1n22 m X,X,i立，它们的样本均值分别为， i,1 nm22Y,YS,(X,X),j,xi，样本方差分别为，j,1i,1 22n(m,1)S，(n,1)Sxy222S,S,(Y,Y),wyj， ， (m,1)，(n,1)j,1 22SSy2x(，) mnl,44(四舍五入取整)。 SSyx，22m(m,1)n(n,1) 1.关于两个正态总体方差的假设检验 表 3 检 原假备择 检验统 W验 拒绝域 HH设 假设 计量 01 法 2222F,F(m,1,n,1),,,,,,或 ,21212 2F,F(m,1,n,1)SF 1,,2xF,2 2222SF,F(m,1,n,1),,,,,,y检 1,,1212 2222F,F(m,1,n,1),,,,,,验 ,1212 第七章 假设检验 2.关于两个正态总体均值的假设检验 表 4 检备择 原假检验统计 W验条件 拒绝域假设 H设 量 0 H法 1 |t|,t(m，n,2),,,,,, 1,,2 X,Yt 1212t, 112,,,t,t(m，n,2),,,,,, (，)S检 1,,121212wmn t,,t(m，n,2),,,,,, 验 1,,1212 |u|,um,n,,,,,,XY, 1,,2 大样1212u,2 2SSyxu,u,,,,,, 本u 充分 1,,，1212 mn u,,u,,,,,, 检验 大 1,,1212 |t|,t(l)XY,,,,,,, 1,,2 近似 1212t,2 2SSyxt,t(l),,,,,, t 1,,，1212 mn t,,t(l),,,,,, 检验 1,,1212 注:通常，两个正态总体的分布参数 22,,,,,,,都是未知的，为了检验两个正1212 态总体的均值是否有显著差异，应当先检验它们的方差是否有显著差异。在是否接受两个正态总体的方差相等的条件下，再进一步检验均值是否相等。 第七章 假设检验 例1 某灯泡厂在采用一种新工艺的前后，分别抽取10个灯泡进行寿命(单位:小时)检测，计算得到:采用新工艺前灯泡寿命的样本均值为2460，样本标准差为56;采用新工艺后灯泡寿命的样本均值为2550，样本标准差为48。设灯泡的寿命服从正态分布，是否可以认为采用新工艺后灯泡的平均寿命有显著提高(取显著性水平,=0.01)? 解:设采用新工艺前、后灯泡的寿命 22Y~N(,,,)X~N(,,,)分别为、。 2211 22,,因为未知及，为此先检验假设 21 2222H:,,,,H:,,, 012112 2H0SxF,~F(m,1,n,1)2选用检验统计量;Sy 对显著性水平,=0.1，拒绝域为 1 W,{F,}:{F,F(m,1,n,1),F(9,9),3.18}1,,20.95 3.18 第七章 假设检验 由样本观测值得检验统计量F的观 22s56xF,,,1.3622测值为，未落入拒绝域，s48y 22H,,所以可接受原假设，即认为与无012显著差异。 22,,,下面在假定的条件下检验假设 12 ,,H:,,,,H:,,, 012112 ,H0X,Y t,~t(m，n,2)选用检验统计量 ;112(，)Swmn对显著性水平,=0.01，拒绝域为W,{t,,t(18),,2.55}。 0.99 229，56，9，482S,,2720w由样本观测值计算得,18从而检验统计量t的观测值为 2460,2550 t,,,3.86 ，落入拒绝域，所11 (，)，2720 1010 ,H以有充分理由拒绝原假设，接受备择0 ,H假设，即在显著性水平α=0.01下，可1 第七章 假设检验 认为采用新工艺后灯泡的平均寿命有显著提高。 莅螈螈芇莅袀肄膃莄蕿袇聿莃蚂肂莈莂螄袅芄蒁袆肀膀蒀薆袃肆葿蚈聿肂葿袁羂莀蒈薀膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅肈蒅袇羈莇薄薇螁芃薃虿羆腿薃螂蝿膅薂薁肅肁薁蚄袈荿薀螆肃芅蕿袈袆膁薈薈肁肇蚇蚀袄莆蚇螂肀节蚆羅袂芈蚅蚄膈膄芁螇羁肀芁衿膆荿芀蕿罿芅艿蚁膅膁莈螃羇肇莇袆螀莅莆薅羆莁莅螈螈芇莅袀肄膃莄蕿袇聿莃蚂肂莈莂螄袅芄蒁袆肀膀蒀薆袃肆葿蚈聿肂葿袁羂莀蒈薀膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅肈蒅袇羈莇薄薇螁芃薃虿羆腿薃螂蝿膅薂薁肅肁薁蚄袈荿薀螆肃芅蕿袈袆膁薈薈肁肇蚇蚀袄莆蚇螂肀节蚆羅袂芈蚅蚄膈膄芁螇羁肀芁衿膆荿芀蕿罿芅艿蚁膅膁莈螃羇肇莇袆螀莅莆薅羆莁莅螈螈芇莅袀肄膃莄蕿袇聿莃蚂肂莈莂螄袅芄蒁袆肀膀蒀薆袃肆葿蚈聿肂葿袁羂莀蒈薀膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅肈蒅袇羈莇薄薇螁芃薃虿羆腿薃螂蝿膅薂薁肅肁薁蚄袈荿薀螆肃芅蕿袈袆膁薈薈肁肇蚇蚀袄莆蚇螂肀节蚆羅袂芈蚅蚄膈膄芁螇羁肀芁衿膆荿芀蕿罿芅艿蚁膅膁莈螃羇肇莇袆螀莅莆薅羆莁莅螈螈芇莅袀肄膃莄蕿袇聿莃蚂肂莈莂螄袅芄蒁袆肀膀蒀薆袃肆葿蚈聿肂葿袁羂