Laplace变换在求解线性微分及积分方程中的应用

Laplace变换在求解线性微分及积分方程中的应用 第 34卷 第 3期 2009年 6月 昆明理工大学学报 理工版 / /. kustjourna l. com / Journal of Kunm ing University of Science and Technology Science and Technology Vol. 34 No. 3 Jun. 2009 收稿日期 : 2008 - 12 - 18. 作者简介 :施晓红 1962 - ,女 ,副教授 . 主要研究方向 :随机过程. E - ma il: xiaohongshi@ sina. com doi: 10. 3969 / j. issn. 1007 - 855x. 2009. 03. 028 Laplace变换在求解线性微分及积分方程中的应用 施晓红 昆明学院 数学系 ,云南 昆明 650118 摘要 : 应用 Lap lace变换的概念和性质 ,阐述了 Lap lace变换在微分方 程 组 、积分方程的求解方 面的应用 ,并寻找到一种求反常积分的简捷方法. 关键词 : Lap lace变换 ;线性常 偏 微分方程 ;延迟核积分方程 中图分类号 : O177. 6 文献标识码 : A 文章编号 : 1007 - 855X 2009 03 - 0121 - 04 Study on Solution s of L inear D ifferen tia l and In tegra l Equa tion s by Laplace Tran sforma tion SH I Xiao 2ho ng Department ofMathematics, Kunm ing College, Kunm ing 650118, China Abstract: Based on the concep ts and the p roperties of Lap lace transformation, its app lications to ordinary differ2 ential equations and integral equations is discussed in this paper. Key words: Lap lace transformation; linear ordinary /partial differential equations; retard kernel integral equa2 tions 0 引 言 在电路理论和自动控制的研究中 ,线性微分方程 组 的求解占有重要地位 , Lap lace变换能大大简化 一类微 积 分方程 组 的求解 ,尤其是带有初值条件的微分方程 组 的求 解 ,将复杂繁冗的微积分计算 简化为初等代数运算 ,更显 Lap lace变换的优越性 [ 1 ] . 1 Lap lace变换在求解延迟核积分方程中的应用 积分方程求解是十分困难的 ,对第一类积分方程而言 , Votera积分方程 [ 3 ] : y x g x + ? x 0 k x, t y t d t 含延迟类积分核 k x, t k x - t 时 ,可用 Lap lace变换 ,方便地给 出解析解 : y x g x + ? x 0 k x - t y t d t g x + k x 3 y x 两边取 Lap lace变换得 : L [ y x ] L [ g x ] + L [ k x ]L [ y x ] y x g x + ? x 0 h x - t g t d t g x + h x 3 y x h x L - 1 [L [ k x ] / 1 - L [ k x ] ] 例 1 求解积分方程 1 - 2 sin t y t + ? t 0 e 2 t-τ y τ dτ 解 由定义可知上述方程的复合积分核 : h x L - 1 1 2 - s / 1 - 12 - s - e x 由上式知 y t 1 - 2 sin t - et 3 1 - 2 sin t 2 - 3 sin t - cost 即为所求的解. 用同样的方法还可以 求出方程形如 y′ t + 2 ? t 0 y τ dτ u t - 1 , y 0 1以及 f t a t + ? t 0 sin t - τ f τ dτ的解. 2 L aplace变换在求解线性偏微分方程中的应用 在求解线性偏微分方程中 ,若其中一个变量为半无界 如时间变量 ,可用拉氏变换将该变量的偏微 分、边界条件并涵盖该变量的边界条件 即初刻条件 ,变为代数方程 ,减少了方程的变量元数 ,大大降低 了求解难度. 在求拉氏变换与逆变换中 ,其他变元 如 x 作为参数对待 ,要求象函数在定义域内连续有界 , 对任意其他变元值下 , lim s?? f x, s ? 0. 求解理想流体流动问题. 在无限均匀可压缩理想流体中 ,放置一半径为 a 的固体球 ,球边界存在径向 速度脉动 : V V0 cosωt. 流体运动速度不大 ,可视为无旋运动 ,存在速度势υ r ,满足 : Δυ V 则流体动力学欧拉方程变为 : Δ2υ r, t - 1 c 2 92υ r, t9t2 0 边界条件为 : 9υ r, t9t r a V0 cosωr 初刻条件为 : υ r, 0 9υ r, 09t 0 在球对称边界条件下 ,υ r, t 与方向无关 ,因为 : 1 r 2 99r r2 9υ9r 1r2 2 r 9υ9r + r2 92υ9r2 1r 2 9υ9r + r 92υ9r2 1r r 92υ9r2 + 9υ9r + 9υ9r 1r 929r2 rυ 因此欧拉方程转变为行波方程 : 929r2 rυ 1c2 92 rυ9t2 作拉氏变换并计入初刻条件得 :92 rυ r, s 9r2 s2c2 rυ r, s , r, s ? [ 0, ?9υ a, s9r V a, s V0 ss2 +ω2 V r, s 9υ r, s / 9r 一般解为 : rυ r, s A e- sr/ c + B esr/ c s为任意正值时要求 rυ在 r ??时有界 ,必然有 B 0. V r, s 9υ9r - Ar 1r + sc e- sr/ c V r, s 必须满足边界条件 ,由此可得 : V r, s aV0 r s s + c / r s + c / a s2 +ω2 e - r- a s c 由拉氏逆变换得其解为 V V0 a 2 / r2 c 2 + a 2ω2 c 2 + arω2 cosω t - r - a c - cω r - a sinω t - r - a c + c 2 a r - a e- c a t- t- a c h t - r - a c h t 1 t 0 0 t 0 为阶跃函数 通过拉氏变换求出理想流体动力学方程的精确解析解的方法 ,与其他方法相比简单快捷. 221 昆明理工大学学报 理工版 / /. kustjourna l. com / 第 34卷 3 L aplace变换在求解线性常微分方程 组 中的应用 Lap lace变换在求解含初始条件常微分方程的特解时 ,非常简便快捷. 方程 组 中的已知函数属于正 则或分段正则函数 , Lap lace象函数存在 [ 2 ] ,方程 组 均可由 Lap lace变换来求解. 如图 1描述了这一求解 过程具体流程. 3. 1求解线性常系数微分方程 组 例 1 求解微分方程 y? + 3y〃+ 3y′+ y 6e- t , y 0 y′0 y〃0 0 解 方程两边取拉氏变换 ,设 L [ y t ] Y s 利用拉氏变换的微分性质并结合初始条件有 : s3 + 3s2 + 3s + 1 Y s 6 s + 1 所以 Y s 6 s + 1 4 对象函数取拉氏逆变换 , 由 Heaviside展开式得 到方程的解为 : y t L - 1 [ Y s ] y t Re s Y s est , - 1 13! lims? - 1 d3 ds3 6est t3 e- 1 例 2 求方程组 y〃- x〃+ x′- y et - 2 2y〃- x〃- 2y′+ x - t满足初始条件 y 0 y′0 0 x 0 x′0 0 的解. 解 方程组两边取拉氏变换 ,设 L [ y t ] Y s , L [ x t ] X s , 利用拉氏变换的微分性质并 结合初始条件有 : s 2 Y s - s2 X s + sX s - Y s 1 s - 1 - 2 s 2s2 Y s - s2 X s - 2sY s + X s - 1 s 2 解此方程组得 : Y s 1 s s - 1 2 X s 2s - 1 s 2 s - 1 2 象函数分别取拉氏逆变换 ,由 Heaviside展开式有 : L - 1 [ Y s ] y t Re s Y s est , 0 + Re s Y s est , 1 lim s?0 e st s - 1 2 + lims?1 d ds 1 s e st 1 + t - 1 et L - 1 [ X s ] x t Re s X s est , 0 + Re s X s est , 1 lim s?0 d ds 2s - 1 s - 1 2 e st + lim s?1 d ds 2s - 1 s 2 e st lim s?0 te st 2s - 1 s - 1 2 - 2s s - 1 3 e st + lim s?1 te st 2s - 1 s 2 + 2 1 - s s 3 e st - t + te t y t 1 - et + tet x t - t + tet 即为所求方程组的解. 3. 2 求解变系数线性微分方程 例 3 求微分方程 ty〃 t - 2y′ t + ty t 0满足于 y 0 0的解. 解 方程两边取拉氏变换 ,设 L [ y t ] Y s 利用拉氏变换的微分性质并结合初始条件有 : 321第 3期 施晓红 : Lap lace变换在求解线性微分及积分方程中的应用 - [ s2 Y s - sy 0 - y′0 ]′- 2 [ sY s - y 0 ] - Y′ s 0 所以 Y s c1 + s2 2 该方程的解为 : y t L - 1 [ Y s ] c sin t3 sin t c2 sin t - tsin t 4结 论 本文通过对 Lap lace变换在一元和多元函数微、积分方程解析求解中的应用分析 ,可得出如下结论 : 1 对延迟型核 Vo tera积分方程求解 , Lap lace变换将之转换为非齐次函数与组合延迟型核的卷积 : y x g x + ? x 0 h x - t g t d t g x + h x 3 g x ; 2 对含时间的线性偏微分方程 ,通过 Lap lace变换可降低变元数量 ,同时将初始条件、边界条件一并 加以考虑 ,大大简化方程求解 ; 3 Lap lace变换在线性常微分方程 组 求解中 ,可将方程 组 、初始条件、非齐次项 源项 一并纳入 框架 ,变换为初等代数运算. 参考文献 : [ 1 ] 南京工学院数学教研组. 积分变换 [M ]. 北京 :高等教育出版社 , 1982: 46 - 81. 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