[doc] 对称性原理及其在电磁学中的应用

[doc] 对称性原理及其在电磁学中的应用 对称性原理及其在电磁学中的应用 第25卷第3期 2005年6月 黄冈师范学院 JournalofHuanggangNormalUniversity VO1.25NO.3 ILIn.2005 对称性原理及其在电磁学中的应用 李新, (武汉科技大学理学院,湖北武汉430081) 摘要:对称性是物理学中一个重要的概念,也是现代物理理论的重要组成部分.本文从普通物 理教学的角度简要地介绍了对称性的概念和原理,并结合对称性原理在电磁学中的若干应用 举例,比较详细地阐述了应用对称性原理解 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的一般思路和方法. 关键词:对称性原理;电磁学;场强;网络电路 中图分类号:O441文献标识码:A文章编码:1003—8078(2005)03—0074—03 Symmetryprincipleanditsapplicationinelectromagnetics LIXin (ScienceSchool,WuhanUniversityofScienceandTechnology,Wuhan430081,China) Abstract:Weintroducedtheconceptandtheoryofsymmetryingeneralphysics,andgivesomepracti— calexamplesofapplyingsymmetryprincipleinelectromagnetics. Keywords:symmetryprinciple;electromagnetics;electricfieldintensity;networkcircuit 日常生活中常说的对称,是指物体或一个系统各部分之间比例适当, 平衡,协调一致,从而产生一种 简单性和美感.这种美来源于几何确定性,来源于群体与个体的有机 结合.数学,物理中的对称性是比具 体事物的对称性更深层次的对称.物理学中的对称性观念可以概括 为:如果某一现象或系统在某一变换 下不改变,则说该现象或系统具有该变换所对应的对称性.因此物理 定律中的对称性又可以称为不变 性. 对称性原理是由皮埃尔?居里首先提出来的,所包含的内容为:(1)原 因中的对称性必反映在结果 中,即结果中的对称性至少有原因中的对称性那样多;(2)结果中的不 对称性必在原因中有所反映,即原 因中的不对称性至少有结果中的不对称性那样多;(3)在不存在唯一 性的情况下,原因中的对称性必反 映在全部可能的结果的集合中,即全部可能的结果的集合中的对称性至少有原因中的对称性那样多. 这个原理指出,自然规律反映了事物之间的因果关系,即:”等价的原因”导致”等价的结果”,”对称 的原因”导致”对称的结果”. 例如:根据对称性原理论证抛体运动为平面运动. 原因:重力和初速决定一个平面,无偏离该平面的因素,对该平面镜像对称; 结果:质点的运动不会偏离该平面,轨道一定在该平面内. 再如:利用对称性分析长直密绕载流螺线管内磁感应线的形状. 原因:螺线管对任意垂直于轴的平面镜象对称平行于轴的直线上的点具有平移对称性,所以营只有 垂直于镜面的分量. 结果:B是轴矢量,镜象变换后垂直分量不变,平行分量反向. 对称性与守恒律是密切联系的.在力学中,由时空平移转动对称可以导出相应的守恒定律(能量守 恒,动量守恒和角动量守恒等).在电磁学中,对称性也有着广泛的作用.以下将从几个方面分述对称性 收稿日期:2005一o.一O2. 作者简介:李新,女,湖北襄樊人,硕士研究生,助教 第3期李新:对称性原理及其在电磁学中的应用 在电磁学中的若干具体的应用. 首先,利用对称性我们可以得到一些直观的结论,从而简化求解的问 题. 例1求一段长为2,线电荷密度为的带电细棒在中心轴线处P 点所产生的场强.设Jp点与带电细棒的垂直距离为,如图1. 分析一般而言,场强是矢量,求场强需要解出每个分量的大小.不 过此题有一个显着的特点,就是带电细棒关于其中垂线对称,因此我们可 以建立如图所示坐标系.则细棒上微元dy在P点产生的电场在轴方 J CLr,.dE, ,,.’’’’?., () /... d dx 图1例l题图 向上的分量(我们记做dE)必然会与dy(与dy关于轴线对称)在P点产生电场的相应分量抵消.因此 我们只需考虑沿z轴方向上的电场分量dE,对其求积分即可.易得 .一一 dz?cosOdxdE . 一d也.一_一干 rL】r 所以E—E一J—LdEx一稀 其次,可以用对称性结合静电场高斯定理求解电场强度以及利用对称性结合磁场的环路定理求解 磁场强度,这部分内容是电磁学教学中的重点,也是学生学习和理解的难点. 静电场的高斯定理是电磁学中一个重要定理,虽然定理本身并不涉及场源(带电体)的对称性,但是 用它来求解对称分布的带电体的场强却是学生必须掌握的内容.在这一类题目中,仔细分析带电体的对 称性是问题的关键,因为我们需要根据带电体的对称性选取适当高斯面.比如,对球对称带电体系一般 选球形高斯面,对柱对称带电体一般选取柱形高斯面,对平面对称带电体(包括带电薄板)一般选取封闭 长方体形高斯面. 有的题目故意让带电体的对称性发生”残缺”,这时就需要灵活处理了,如下例. 例2如图2,在一半径为R,带电体密度为』D的均匀带电球体内 挖去一个半径为尺的球形空腔(2R<尺).设空腔中心O与带电球体 的球心o之间的距离为L,求空腔内任一点P处的场强. 分析对于球对称体系的处理我们很熟悉,不过这里由于空腔的 存在,体系不再具有”球对称性”,但是我们可以通过”补偿法”将不对称 条件化为对称条件,从而简化问题. 先用体密度为lD,半径为尺的均匀带电小球填充空腔,使球体变 为一完整的带电球(记为球1);再用体密度为一』D,半径为尺的均匀带 电小球(记为球2)置于空腔中,使得电荷分布与实际情况相同.这样,图2例2题图 腔中任何一点的场强可用球1,球2所产生的场强叠加来求解,即:一雹+.设O到P的位矢为 一 r,由高斯定理得.ds—E4不r}一4不,.; JJ1’0J 解之可得:E一篆.考虑方向:一等. 同理,设o到P的位矢为一r,由高斯定理可以解得球2在尸点产生的场强为 E.一一(大小)一二(矢量形式) 可以得到:一邑+雹一(一)一艺. 因此在空腔内是匀强电场,大小是譬,方向与相同. 磁场的安培环路定理与静电场高斯定理一样,本身的内容不涉及电流体系的对称性,但是具体到计 算则必定与一定对称分布的电流体系相联系. 黄冈师范学院第25卷 例3一无限大载流导体薄板.单位宽度的电流为,求导体板周围磁感应强度的大小. 分析如果我们先从场强叠加考虑,导体板可以视为无穷多个小线电流,任一点尸处的磁感应强 度是这些小线电流产生的磁感应强度的矢量叠加.但是,这样一来我们的计算就显得十分繁琐,尽管我 们的想法是正确的(也可以得出正确结果). 由于导体板是无限长的,使得我们可以从空间对称的角度来考察问题. 显然,如果我们做一个矩形回路abcda(如图3),使6与关于薄板对称, 那么6,c上的磁感应强度大小处处相等,方向分别沿6,c方向,并且 bc,da上的磁感应强度方向分别与bc,da垂直. dPC a,, 由安培环路定理,考虑沿abcda的回路积分有图3例3示意图 中言?d7一.?f言?d+I营?d7+f,言?d7+I,营?d7一BI+0+BI+0一/1oIfJJu0JKJcdJdn ,,, 解得:B一. 当然,用安培环路定理时也可能遇到电流体系对称性”残缺”的情况,对这一类问题我们完全可以用 类似例2的补偿法来操作,这里不在赘述. 此外,在处理电路计算的问题中,对称性也有相当的应用,举一例以示之. 例4如图4所示无限的电路网络中,每个电阻均为尺,求a,b两点间的等效电阻. 分析:在a,b两点间加上电压己,,我们假设在a点有电流流入(不考 虑电流的来源),根据对称性,从a点流人连接点的四个电阻的电流应该 均为0.25,同样,若在b点有电流流出(不考虑电流的终点),与b相邻 的四个电阻流入b点的电流也都是0.25I. 于是根据叠加原理,通过a,b之间那个电阻的电流就应为: 0.25+0.25:0.5 因此U—U.一0.5IR 于是尺—u/f一0.5R图4网络电路 再如:立方体每条棱之间的电阻均为R,求立方体体对角线两顶点,间的电阻. 图5立方体电路图6立方体电路的简化 分析:利用对称性可知b,f,d等势,Y,g,h等势,等势点间分别用导线连接则原电路可简化为图6. 可求出a,e间的电阻为:一r/3+r/6+r/3—5r/6. 综述,由上面的一些应用举例我们可以加深对对称性概念的一些理解,事实上,对称性已经广泛地 应用物理学及相关学科的各个方面,它不仅是现代物理理论的重要组成部分,更是人们认识自然的一个 重要理论工具.在普通物理这一层次的教学中,鉴于对称性在电磁学解题中的重要作用,我们在教授相 关内容时要特别重视引导学生从对称性的角度思考问题.”一定的对称性必定会产生相应的效果”,如果 学生们能够充分理解和掌握对称性思考,一定能够如鱼得水,学好电磁学. 参考文献: [1]廖耀发,张立刚,等.大学物理[M].武汉:武汉大学出版社,2001. [2]王宝泉.物理学的对称性和守恒定律[M].烟台师范学院,1998,5. [-33廖耀发,陶佳瑞,等.大学物理学习指导[-m3.武汉:武汉大学出版社,2OOl